О подгрупповом функторе res_F



В статье изучаются свойства подгруппового функтора для расслоенной формации конечных групп. Установлены условия, при которых для расслоенной формаций с -направлением подгрупповой функтор является субнормальным функтором Виландта.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация, расслоенная формация, подгрупповой функтор, субнормальный функтор Виландта.

Рассматриваются только конечные группы и классы конечных групп. Важную роль в теории классов конечных групп играют подгрупповые функторы Виландта (см., напр., [4]). Многие важные результаты о подгрупповых функторах Виландта получены Дж. Ленноксом, C. Cтоунхьюером, Л.А. Шеметковым, С.Ф. Каморниковым, Л.П. Авдашковой и др. (см., напр., [1, 11-13]).

В монографии [4] рассматривается подгрупповой функтор , выделяющий в каждой конечной группе ее

-корадикал. Для композиционной формации в [4] установлены условия, при которых подгрупповой функтор является субнормальным функтором Виландта. Понятие расслоенной формации, введенное в рассмотрение В.А. Ведерниковым в 1999 году (см., напр., [3]), является естественным обобщением понятия композиционной формации. Целью данной работы является установление условий, при которых подгрупповой функтор является субнормальным функтором Виландта в случае, когда является расслоенной формацией.

Используемая терминология стандартна (см., напр., [2–4]).

Запись ( ) означает, что – нормальная (субнормальная) подгруппа группы . Класс групп – совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные. Для непустого множества групп

через обозначается класс групп, порожденный , в частности, – класс всех групп, изоморфных группе ; – класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы ; – объединение классов для всех [3]. Класс групп называется формацией , если выполняются два условия:

1) из и следует ;

2) из и следует [8].

Формация называется нормально наследственной , если она содержит все нормальные подгруппы своих групп [8]. Пусть – класс всех групп,

– класс всех абелевых групп, – класс всех простых групп, . Тогда – класс всех групп , для которых , – класс всех групп, у которых нет композиционных факторов изоморфных , – класс всех групп, у которых каждый главный -фактор централен [3]. Пусть – классы групп. Произведением классов

называется класс групп, обозначаемый , следующего вида:

[10].

Пусть – непустая формация. Тогда – ‑корадикал группы , т.е. наименьшая нормальная подгруппа группы , фактор-группа по которой принадлежит [8].

Определение 1. (1) Функция непустые формации Фиттинга , принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из , называется формационно-радикальной функцией или, коротко, ‑функцией.

(2) Функция формации групп , принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из области определения, называется формационной функцией или, коротко, ‑функцией [3].

Определение 2. Формация называется расслоенной , если

,

где и – ‑функция и ‑функция соответственно, и обозначается . Функцию называют спутником , а функцию – направлением расслоенной формации [3]. Направление

расслоенной формации называется ‑направлением , если для любой группы [2]. Расслоенная формация с направлением называется:

свободной , если , где – -функция, имеющая следующее строение:

для любой группы ;

канонической , если , где – -функция, имеющая следующее строение: для любой группы ;

биканонической , если , где –

-функция, имеющая следующее строение: для любой абелевой группы и для любой неабелевой группы ;

композиционной , если , где – -функция, имеющая следующее строение: для любой группы [2].

Подгрупповым функтором называется отображение , ставящее в соответствие каждой группе некоторую непустую совокупность её подгрупп, удовлетворяющее условию: для любого изоморфизма группы ; – унитарный подгрупповой функтор , если в любой группе выделяет некоторую ее характеристическую подгруппу. Субнормальным функтором Виландта называется унитарный подгрупповой функтор , удовлетворяющий условию для любых субнормальных подгрупп

и любой группы [4]. Пусть – непустая формация. Через обозначается подгрупповой функтор, ставящий в соответствие каждой группе множество [4].

Теорема 1. Пусть – расслоенная формация с -направлением и спутником

. Если и – субнормальные функторы Виландта для любой группы , то подгрупповой функтор также является субнормальным функтором Виландта.

Доказательство. Пусть и – субнормальные функторы Виландта для любой группы . Покажем, что – субнормальный функтор Виландта.

Пусть

, , . Установим справедливость равенства . Пусть , , . По теореме 7.5 [6] имеем, что . Согласно следствию 1 [3], справедливы равенства

,

,

.

Ввиду следствия 2.3.5 [4], – субнормальный функтор Виландта. Поэтому . По условию теоремы – субнормальный функтор Виландта для любой группы . Следовательно, , . Поскольку, согласно теоремам 5.11 (1) и 5.38 [6],

для любой формации и любой нормально наследственной формации , то . Так как – субнормальный функтор Виландта для любой группы , то, с учетом теорем 5.11 (1) и 5.38 [6], получаем , . Таким образом, , . И поэтому

.

Следовательно, . Тем самым установлено, что подгрупповой функтор является субнормальным функтором Виландта.

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть – свободная формация со спутником . Если – субнормальный функтор Виландта для любой группы , то также является субнормальным функтором Виландта.

Доказательство. Пусть

– субнормальный функтор Виландта для любой группы . Так как – свободная формация, то – расслоенная формация с направлением , где для любой группы . Покажем, что является субнормальным функтором Виландта. Пусть . Так как – класс простых групп, то по следствию 2.3.5 [4] – субнормальный функтор Виландта для любой группы

. Покажем, что является -направлением расслоенной формации. Действительно, поскольку справедливо для любой группы , то направление является -направлением расслоенной формации.

Таким образом, из того, что и – субнормальные функторы Виландта для любой группы и

– -направление расслоенной формации, по теореме 1 следует, что – субнормальный функтор Виландта.

Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть – каноническая формация со спутником . Если – субнормальный функтор Виландта для любой группы , то также является субнормальным функтором Виландта.

Доказательство. Пусть

– субнормальный функтор Виландта для любой группы . Так как – каноническая формация, то – расслоенная формация с направлением , где для любой группы . Покажем, что – субнормальный функтор Виландта для любой группы .

Пусть . Так как по следствию 2.3.5 [4]

и являются субнормальными функторами Виландта, то, ввиду теорем 5.11 (1) и 5.38 [6],

.

Следовательно, – субнормальный функтор Виландта для любой группы .

Покажем, что является -направлением расслоенной формации. Пусть . Так как

– нормально наследственный класс, то по теореме 5.38 [6] . Согласно теореме 5.11 (2) [6],

.

Далее, ввиду теоремы 5.38 [6],

.

Таким образом, для любой группы . Следовательно, направление является

-направлением расслоенной формации.

Поскольку и – субнормальные функторы Виландта для любой группы и – -направление расслоенной формации, то, в силу теоремы 1, также является субнормальным функтором Виландта.

Следствие доказано.

Следствие 3. Пусть – биканоническая формация со спутником

. Если – субнормальный функтор Виландта для любой группы , то также является субнормальным функтором Виландта.

Доказательство. Пусть – субнормальный функтор Виландта для любой группы . Так как – биканоническая формация, то – расслоенная формация с направлением , где для любой группы

и для любой группы . Покажем, что – субнормальный функтор Виландта для любой группы .

Пусть . Тогда, ввиду следствия 2.3.5 [4], – субнормальный функтор Виландта.

Пусть . Тогда, как и при доказательстве следствия 2, получаем

.

Следовательно, – субнормальный функтор Виландта.

Покажем, что является -направлением расслоенной формации. Для любой группы справедливо равенство . Пусть . Тогда, как и при доказательстве следствия 2, получаем . Следовательно, направление является

-направлением расслоенной формации.

Таким образом, из того, что и – субнормальные функторы Виландта для любой группы и – -направление расслоенной формации, по теореме 1 получаем, что также является субнормальным функтором Виландта.

Следствие доказано.

Следствие 4 ([4], теорема 2.3.16). Пусть – композиционная формация со спутником

. Если – субнормальный функтор Виландта для любой группы , то также является субнормальным функтором Виландта.

Литература:

1. Авдашкова Л. П., Каморников С. Ф. Радикальный дистрибутивный функтор, индуцированный формацией Фиттинга. — Препринт / Гомельский госуниверситет. Гомель, 1998, № 72. — 16 с.
2. Ведерников В. А. Максимальные спутники ‑расслоенных формаций и классов Фиттинга // Тр. ИММ УрО РАН, 2001. Т. 7, № 2. — С. 55–71.
3. Ведерников В. А., Сорокина М. М. ‑расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискрет. матем., 2001. Т. 13, № 3. — С. 125–144.
4. Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Мн. : Бел. навука, 2003. — 254 с.
5. Каморников С. Ф., Шеметков Л. А. О корадикалах субнормальных подгрупп // Алгебра и логика, 1995. Т. 34, № 5. — С. 493–513.
6. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов: учеб. пособие / В. С. Монахов. — Мн. : Выш. шк., 2006. — 207 с.
7. Нестеров А. С., Сорокина М. М. О строении -корадикала конечной группы для -расслоенной формации [Электронный ресурс] // Ученые записки Брянского государственного университета. — 2022. № 3. — С. 18–22. — Режим доступа: http://www.scim-brgu.ru, свободный (Дата обращения: 12.02.2023).
8. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. — М. : Наука, 1978. — 271 с.
9. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. — М. : Наука, 1989. — 253 с.
10. Doerk К., Hawkes Т. Finite soluble groups. — Berlin : Gruyter, 1992. — 891 p.
11. Lennox J. C., Stonehewer S. E. Subnormal subgroups of finite groups of groups. — Oxford : Clarendon Press, 1987.
12. Wielandt H. Vertauschbare nachinvariante Untergruppen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1957. Bd. 21, No. 1–2. — S. 55–62.
13. Wielandt H. Uber das Erzeugnis paarweise kosubnormaler Untergruppen // Arch. Math. 1980. V. 35, No. 1–2. — S. 1–7.