Основные понятия пределов функций
Иламанов Байрамберди Байраммырадович, преподаватель
Туркменский государственный университет имени Махтумкули (г. Ашхабад, Туркменистан)
Пределы функций — это тема, которая является фундаментальной в математике и широко используется в различных областях. Предел — это значение, к которому стремится функция, когда ее аргументы приближаются к определенному значению. В этой статье мы рассмотрим основные концепции и свойства пределов функций, а также представим несколько примеров с решением.
Основные понятия
Рассмотрим функцию f(x), заданную на некотором множестве чисел. Мы можем рассматривать предел функции в точке a, если аргументы функции f(x) приближаются к a. Функция может стремиться к определенному значению или быть неограниченной. Мы можем определить предел функции f(x) в точке a с помощью определения предела.
Предел функции f(x) в точке a определяется следующим образом: если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0, такое что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x-a| < δ, выполнено неравенство |f(x)-L| < ε, то говорят, что предел функции f(x) при x, стремящемся к a, равен L, что записывается как lim f(x) = L при x -> a.
В этом определении L называется предельным значением функции f(x) в точке a. Если предел функции не существует, то говорят, что он расходится.
Другими основными понятиями, связанными с функциями, являются непрерывность, производная и интеграл. Функция f(x) непрерывна в точке a, если предел f(x) при x -> a существует и равен f(a). Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Производная функции f(x) в точке a определяется следующим образом: f ’(a) = lim (f(x)-f(a))/(x-a) при x ->a, если этот предел существует. Производная является мерой изменения функции и может быть использована для нахождения экстремумов функции.
Интеграл функции f(x) на интервале [a,b] определяется как площадь под графиком функции f(x) на этом интервале. Это можно найти с помощью определенного интеграла: ∫ [a,b]f(x)dx, который вычисляется суммированием бесконечного количества маленьких площадок под графиком функции f(x).
Определение предела
Для того, чтобы определить предел функции f(x) в точке a, используется определение предела. Определение предела гласит, что предел функции f(x) в точке a равняется L, если для любого числа ε>0 существует число δ>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию 0<|x-a|<δ, выполняется |f(x)-L|<ε. Другими словами, это означает, что если мы хотим найти предел функции f(x) в точке a, мы должны найти число L, такое что, если мы приблизимся к точке a достаточно близко, то значения функции f(x) будут достаточно близки к числу L.
Важно отметить, что определение предела показывает только существование предела, но не даёт никаких гарантий, что предел действительно существует. Для того, чтобы убедиться в существовании предела, необходимо использовать дополнительные методы анализа функций и их свойств.
Кроме того, определение предела позволяет выявить некоторые особенности функций, например, разрывы или полюса. Если предел функции в точке a не существует, это может означать наличие разрыва или полюса в этой точке.
Определение предела является основополагающим понятием математического анализа и используется в различных областях, от теории вероятностей до физики и экономики.
Свойства пределов
Давайте рассмотрим основные свойства пределов функций:
Единственность
Предел функции в точке a, если он существует, определен единственным образом. Это означает, что если существуют два предела f(x), g(x) в точке a, то они равны между собой.
Арифметические операции
Сумма, разность, произведение и частное функций с пределами в точке a сами имеют пределы в этой точке. Другими словами, если существуют пределы f(x) и g(x), то существуют пределы f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x), кроме того, если предел g(x) не равен нулю.
Теорема о двух милиционерах
Если две функции, f(x) и g(x), имеют пределы при x, стремящимся к a, и f(x) меньше или равна g(x) для всех x, кроме, возможно некоторых значений в окрестности точки a, то предел f(x) не превосходит предела g(x).
Сравнение содержания
Если f(x) имеет предел при x, стремящемся к a, и g(x) находится между f(x) и h(x) в окрестности точки a, то если существуют пределы f(x) и h(x), то существует предел g(x).
Переход к пределу в неравенстве
Если f(x) достигает максимума или минимума при x, стремящемся к a, и если у g(x) существует предел в точке a, то предел f(x) также равен максимуму или минимуму функции.
Примеры
Рассмотрим несколько примеров решения задач на пределы функций.
Пример 1. Найдём предел функции f(x) = 2x — 1 при x, стремящемся к 3. Решение: Мы должны найти значением L, таким, что для любого ε>0 существует δ>0 такое, что если 0<|x-3|<δ, то |f(x)-L|<ε.
Давайте воспользуемся определением предела: |2x-1-L|<ε/2.
Отсюда получаем: L-ε/2<2x-1
Делим все три части неравенства на 2: (L-ε/2)/2
Теперь заменим х на 3 + δ/2 и упростим выражение: (L-ε/2)/2<2.5δ-0.5<(L+ε/2)/2.
Так как мы можем выбрать любое ε, то мы можем выбрать ε/2, а затем δ=ε/5, чтобы получить: (L-ε/2)/2<ε<2.4δ
Отсюда следует, что L=5. Таким образом, мы доказали, что предел функции f(x) при x, стремящемся к 3, равен 5.
Пример 2. Найдём предел функции g(x) = x^2 -
3x + 2 при x, стремящемся к 2.
Решение: Сначала найдём, где функция g(x) равна 0: g(x) = x^2–3x + 2 =
(x-1) (x-2)
Таким образом, функция g(x) имеет корень в точке x=1 и x=2. Возьмем предел функции g(x) при x, стремящемся к 2.
Так как нам нужно изучать окрестности точки 2, мы можем выбрать δ так, чтобы удовлетворять условию 0<|x-2|<δ.
Тогда мы можем заменить все значения функции g(x) на их пределы в точке 2: lim(x->2) (x^2–3x + 2) = lim(x->2) (x-1)(x-2) = (2–1)(2–2) = 0.
Таким образом, мы доказали, что предел функции g(x) при x, стремящемся к 2, равен 0.
Заключение
Пределы функций — это важная и широко используемая тема в математике и других областях. Определение предела является ключевым понятием, и его свойства позволяют решать различные задачи. Решение примеров показывает, как можно использовать определение и свойства пределов функций для нахождения значений приближающихся к определенным значениям.
Литература:
- Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 744 c.
- Бакушинский, А. Элементы высшей математики и численных методов / А. Бакушинский, В. Власов. — М.: Просвещение, 2014. — 336 c.
- Босс, В. Лекции по математике. Том 1. Анализ. Учебное пособие / В. Босс. — М.: Либроком, 2016. — 216 c.
- Воробьев, Н. Н. Теория рядов / Н. Н. Воробьев. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1986. — 408 c.
