Применение теоремы Безу в решении задач



Ключевые слова: многочлен, остаток, следствие, целый коэффициент, необходимое и достаточное условие, найти корень, наибольший общий делитель (НОД), алгоритм Евклида, делитель целого числа.

Keywords: polynom, residual, conslusion, integer,necessary and enough, search a root, greatest common divisor or highest common factor(GCD or HCF), factor of an integer, degree.

При изучении математики многочлены играют важную роль, а также в теореме Вейерштрасса, которая является одной из основных теорем математического анализа. Теорема Безу посвящена многочленам.

Пусть — многочлен -й степени с действительными коэффициентами:

и

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена

на двучлен равен .

Доказательство: Необходимость. Если многочлен делится на двучлен без остатка, то . Следовательно, при , имеем .

Достаточность. Пусть равен нулю, при

, т. е. . Тогда из равенства получим .

Следствия теоремы Безу (деление двучлена на двучлен ):

1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится на разность этих чисел без остатка. Потому, что по теореме Безу остаток от деления двучлена на двучлен равен , т. е. равен нулю;
2. Сумма одинаковых степеней двух чисел не делится на разность этих чисел без остатка. Потому, что по теореме Безу остаток от деления двучлена на двучлен равен , т. е. не равен нулю;
3. Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел без остатка, а нечетных степеней не делится. Потому, что по теореме Безу остаток от деления двучлена на двучлен равен , т. е. равен нулю, а остаток от деления двучлена на двучлен равен , т. е. не равен нулю;
4. Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел без остатка, а четных степеней не делится. Потому, что по теореме Безу остаток от деления двучлена на двучлен равен , т. е. равен нулю, а остаток от деления двучлена на двучлен равен , т. е. не равен нулю;

Следствие 1. Если многочлен делится на без остатка, то является корнем этого многочлена.

В общем случае верно и обратное.

Следствие 2. Если корень многочлена , то этот многочлен делится на без остатка;

Таким образом, эти два условия являются необходимыми и достаточными условиями друг для друга.

Следствие 3. Если — многочлен с целыми коэффициентами, то любой целый корень этого многочлена является делителем его свободного члена.

Следствие 4. Остаток от деления многочлена на равен сумме коэффициентов этого многочлена.

Некоторые применения теоремы Безу:

1. Нахождение корней многочлена . В общем случае эти корни могут принадлежать любому множеству .

Обычно, если отношение свободного члена многочлена к главному коэффициенту не является целым числом, то этот многочлен не имеет целых корней. В этом случае корни многочлена находятся по теореме Безу следующим образом:

1. Сначала найдем целые делители главного коэффициента многочлена .

2. Числа, которые могут иметь рациональные корни: .

3. Проверяются всевозможные числа, т. е. должно выполняться условие , чтобы найденные по теореме Безу рациональные числа были корнями.

Пример 1. Найдите корни многочлена по теореме Безу.

Решение. Вданном примере главный коэффициент отличен от 1. Поэтому сначала проверяем: . Отсюда следует, что многочлен не имеет целых корней. Теперь найдем рациональные корни многочлена, используя теорему Безу.

1. Найдем целые делители главного коэффициента многочлена

:

2.

3.

не является корнем.

является корнем.

является корнем.

не является корнем.

Ответ: Данный многочлен имеет две рациональные корни: .

2 . Напомним, что остаток от деления многочлена на

равен сумме коэффициентов этого многочлена.

Сумму коэффициентов многочлена можно определить, используя следствия, полученные из приведенной выше теоремы Безу.

Пример 2. Найти сумму коэффициентов многочлена .

Решение.

Данный многочлен делится на без остатка . Следовательно сумма коэффициентов этого многочлена равен нулю.

3. Нахождение корней многочлена эквивалентен задаче нахождения его линейных делителей. За основу берется теорема Безу при применении широко используемого метода Горнера для деления многочлена на линейный многочлен с остатком.

4. Теорема Безу может быть применена к определению, является ли число кратным корнем многочлена . В этом случае условия , является необходимым и достаточным условиям для того, чтобы было кратным корнем. Здесь — это остаток от деления

на . Если многочлен ( -й степени) делится на без остатка , но , тогда является кратным корнем степени для этого многочлена, то это означает, что каждый из оставшихся корней отличен от этого числа.

5. Применяется для выполнения алгоритм Евклида. При этом, если заданы два многочлена и , можно определить используя теорему Безу, что выполнение условия только для одного случая, т. е. .

6. Теорема Безу использовалась для решения как стандартных, так и некоторых нестандартных задач.

Пример 3. Доказать, что число делится на 9 без остатка.

Решение. Вследствии теоремы Безу мы показали, что сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел без остатка.

Отсюда следует, что двучлен делится на

без остатка. В данном примере . Отсюда получим, что тогда .

Следовательно, делится на 9 без остатка.

Пример 4. При каком значении параметра многочлен делится на двучлен без остатка

Решение. По теореме Безу для того, чтобы многочлен

делилось на без остатка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство . Следовательно, . Отсюда получим, что .

Ответ: .

Пример 5. При каком значении параметра множество решений уравнения состоит только из целых чисел

Решение. Если ввести обозначение

, то для заданных корней многочлена по теореме Безу необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие для решений.

Для данной задачи решения должны быть целые числа. Поэтому мы находим целые делители свободного члена данного многочлена и проверяем используя теорему Безу.

Здесь свободный член . Целые делители свободного члена равен: . Проверим, являются ли эти числа решениями уравнения или корнями многочлена, используя теорему Безу.:

Здесь число 17 не является корнем. Потому, что значение параметра отличен от других.

Замечание. Уравнение не имело бы трех целочисленных решений, если бы количество значений, отличных друг от друга, было больше единицы, когда проверили возможные целые значения .

В нашем случае значения параметра совпали, когда мы проверяли с помощью теоремы Безу, являются ли числа отличные от 17 корнями данного уравнения. Итак, уравнению можно разложить на следующие множители

.

Уравнение имеет целые решения тогда и только тогда, когда значение параметра равен .

Ответ: .

Пример 6: При каком значении многочлен делится на без остатка

Решение. Согласно теореме Безу, чтобы многочлен делился на без остатка, должно выполняться равенство .

Если многочлен делится на , то должно равняться нулю.

Следовательно, , отсюда получим .

Ответ: n — произвольное нечетное натуральное число.

Пример 7. Найти остаток отделения многочлена на .

Решение. Согласно теореме Безу этот остаток равен значению заданного многочлена при .

Ответ:

Пример 8. Остаток от деления многочлена на двучлен

равен 5.

Остаток от деления многочлена на равен 4.

Остаток от деления многочлена на равен 3.

Найти остаток от деления многочлена на ?

Решение. Используя теорему Безу, запишем параметры

и заданные многочлены:

.

Согласно теореме Безу остаток от деления многочлена

на двучлен равен значению этого многочлена при , т. е. . Тогда

Следовательно,

Ответ: 36.

Пример 9. Делится ли многочлен на без остатка?

Решение. Согласно теореме Безу, если корни многочлена являются также корнями многочлена , то многочлен делится на без остатка.

.

Ответ: Многочлен делится на многочлен без остатка.

Пример 10. Существует ли многочлен , такое что при и 

Решение. Согласно теореме Безу остаток от деления многочлена на равен 20, а на равен 100.

Пусть . Воспользовавшись теоремой Безу, имеем . Следовательно, . Проверяя условия задачи, имеем и .

Ответ: Да, существует. Например .

Литература:

1. Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5–88688–060–7.
2. Piotr Rudnicki (2004). «Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.
3. Andrzej Trybulec. On the sets inhabited by numbers. Formalized Mathematics, 11(4):341–347, 2003.