Приведение дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами к каноническому виду

Ключевые слова: каноническая форма, гиперболический тип, характеристическое уравнение, уравнение с постоянными коэффициентами.

Вопрос о классификации частных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя переменными и их канонической формы имеет большое значение при работе с уравнениями математической физики. Этот вопрос имеет большое значение в технике и в жизни в связи с задачами, решаемыми данным уравнением. Часто мы приводим уравнение к каноническому виду, подставляя функции одной или двух переменных. Однако в общем случае этот тип канонического представления может усложниться. Следовательно, мы должны упростить его снова. Вот несколько примеров того, что делать в такой ситуации:

Задача 1. Привести следующие уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду, затем еще раз упростить.

.(1)

,

— уравнение гиперболического типа.

Приведем данное уравнение к каноническому виду:

Характеристическое уравнение данного уравнения:

;

;

Теперь, если мы возьмем и отметим , то

;

Ставим найденные значения на соответствующие места в уравнении (1):

- мы привели его в канонический вид, теперь нам нужно еще больше упростить каноническую форму условием.

Для дальнейшего упрощения канонической формы сделаем следующую замену:

Ответ:

, здесь , .

Задача 2 . Привести следующие уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду, затем еще раз упростить.

.(1)

, , .

Приведем данное уравнение к каноническому виду:

Характеристическое уравнение данного уравнения:

;

;

Теперь, если мы возьмем и отметим

Ставим найденные значения на соответствующие места в уравнении (1):

— мы привели его в канонический вид, теперь нам нужно еще больше упростить каноническую форму условием.

Для дальнейшего упрощения канонической формы сделаем следующую замену:

Затем

Ответ:

, здесь ,

Литература:

1. Омаров А., Курбанбаев О. О., Кылышбаева Г. К., Методы решения задач математической физики, Учебное пособие для студентов вузов — 2017. -228c
2. Агошков В. И., Методы решения задач математической физики: Учебное пособие для студентов вузов, — М.:Физматлит, 2002. –320 с.
3. Бицадзе А. В.. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1982–336 с.