Вычисление стохастического интеграла по определению

Стохастические исчисления — это один из тех великолепных разделов математики. Теория стохастического интегрирования начиналась с интегрирования по броуновскому движению. Ито в 40-х гг. прошлого века вывел правила действий со стохастическими интегралами и знаменитую «формулу Ито». Но в этой статье мы научимся вычислять стохастические интегралы по определению.

Ключевые слова : стохастический интеграл, минимальная сигма-алгебра, математическое ожидание, неупреждающая функция, дисперсия, винеровский процесс, броуновское движение, борелевское множество, ступенчатые функции.

Keywords : stochastic integral, minimal sigma algebra, mathematical expectation, non-preemptive functions, dispersion, Wiener process, Brownian motion, Borel set, step functions.

Введем понятие стохастического интеграла от случайного процесса по винеровскому процессу . Это понятие пригождается для определения стохастических дифференциальных уравнений.

Далее нам пригодится обозначение сигма-алгебры, порожденной случайным процессом на множестве . Это минимальная сигма-алгебра, относительно которой измеримы все сечения на множестве

Определение. Случайная функция называется неупреждающей относительно процесса , если для любого и для любого борелевского множества выполнено .

Если говорить очень грубо, то это значит, что события, связанные с процессом в момент , связаны с событиями процесса на интервале времени до

Как обычно в теории меры, интеграл от случайной функции мы построим как предел интеграла от простых (ступенчатых, кусочно-постоянных) функций. Предел этот будем мы будем понимать в среднем квадратичном смысле. Под интегралом же простой функции , принимающей значения на интервалах разбиения интервала будет понимать просто сумму

.

и для которой существует средний квадратичной предел .

Определение. Предел в теореме выше называется стохастическим интегралом функции

.

Если сравнить это определение с интегралом от неслучайной функции по случайному процессу, то можно видеть, что все отличие состоит в паре формальностей: вместо непрерывной подынтегральной функции мы имеем дело с средним квадратичным непрерывной функцией и дополнительно требуем от нее свойство неупреждаемости. Можно доказать, что значение не зависит от выбора последовательности простых функций. Поэтому на практике интервал можно разбивать равномерно по времени.

Еще нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Пусть и пусть

в .

где, , .

Пример 1. Вычислить стохастический интеграл

Решение. Подынтегральная функция является всюду средний квадратичной непрерывной и неупреждающей функцией. Вычислять интеграл будем по определению, для этого введем равномерное разбиение отрезка , , запишем интегральную сумму

.

Для краткости обозначений введем , . Теперь заметим, что

Отсюда следует, что

.

Первое слагаемое этого выражения не зависит от и с измельчением отрезка не меняется. Найдем средний квадратичной предел второго слагаемого. Попробуем сначала найти его математическое ожидание

и дисперсию

где для расчета момента четвертого порядка можно воспользоваться теоремой Вика. Получается, что , но по определению средний квадратичной предела это значит, что . Итак, мы показали, что

,

поэтому окончательно заключаем, что

Пример 2 . Пусть — броуновское движение, . Вычислить по определению интеграл .

Решение. . Рассмотрим последовательность разбиение

такую, что при

.

Так как при , то

Здесь — ступенчатые функции.

Исходя из леммы, следующие сходимость будет правильной:

;

Для первой и второй частей суммы выполняется Лемма. То есть,

Тогда ответ таков:

.

1. Гасников А. В., Горбунов Э. А., Гуз С. А., Лекции по случайным процессам. — М, 2019.
2. Оксандель Б., Стохастические дифференциальные уравнения. — М, 2003.