Многоточечная задача для интегродифференциального уравнения Волтерра — Фредгольма



В работе (1) доказывается однозначная разрешимость и непрерывная зависимость решений следующей задачи:

В этой работе рассматривается задача:

(2)

(3)

Находятся достаточные условия однозначной разрешимости и непрерывная зависимость решений от параметров, где

произволные точки,

Уравнение (1) является частным случаем уравнения (2). Действительно, если , тогда из уравнения (2) получим уравнение (1)

1. Однозначная разрешимость

Теорема 1. Пусть функции , удовлетворяют условию:

где ,

Если существует удовлетворяющее неравенству

, (4)

то задача (2), (3) имеет единственное решение в пространстве

Доказательство. Очевидно, что задача (2), (3) эквивалентна интегрофункциональному уравнению:

Правую часть этого интегрофункционального уравнения обозначим через оператор :

Очевидно, что : . Для доказательства теоремы нам надо доказать сжимаемость оператора . . Имеем:

Используя

(5)

норму получим:

bu ýerde

Доказательство теоремы следует из принципа сжимающих операторов.

2. Непрерывная зависимость решений от параметров

Теперь рассмотрим задачу:

(6)

(7)

где параметры.

Теорема 2. Пусть, функции

удовлетворяют условию

(8)

(9)

где

Если существует

, удовлетворяющее неравенству (4), то в пространстве единственное решение непрерывно зависит от параметров.

Доказательство. Задача (6)-(7) эквивалентно интегрофункциональному уравнению.

(10)

При фиксированных однозначная разрешимость уравнения (10) доказана в теореме 1.

Для доказательства теоремы 2 достаточно доказать непрерывную зависимость решений от параметров.

Обозначим через

решение уравнения (10), соответствующее параметрам

we

т. е.

(11)

Используя условия (8), (9) из уравнения (11), имеем

Используя норму (5), получим:

Отсюда следует утверждение теоремы 2.

Литература:

1. Gurbanmämmedow N. Birinji tertipli integrodifferensial deňleme üçin köpnokatly meseläniň ýeke-täk çözüwiniň barlygy //Beýik Galkynyş eýýamynyň batly gadamlary 2011–1. Aşgabat-2011.