О формировании теории отрицательных чисел в контексте исторического развития математики

Исторические и генетические основы некоторых знаков в математике прослеживаются в их особенностях применения и обозначения. Но эти особенности не выделены и не акцентированы при изучении соответствующих разделов в школьной математике, и поэтому школьники и даже студенты не всегда их учитывают. Тем не менее появляются достаточно интересные математические и логические проблемные ситуации.

На определенном этапе изучения алгебраических преобразований необходимо обязательно отмечать конкретные значения одного и того же знака «-». Действительно, в записи «х — у» или «а — b», знак «-» выражает разность двух чисел. В записи «- 2» это обозначение отрицательного числа. В общем виде для любого числа а в обозначении «-a» роль знака «-» выражается в значении противоположного числа. Эта же роль и не в совсем обычном выражении , верном для всех отрицательных x. Еще одно толкование знака «-» появляется в записи , где «-1» определяет форму записи числа, обратного к 2.

Смысл и неоднозначность понимания этого знака обнаруживаются не сразу. Если, например, для положительных чисел из условия , очевидно, следует , то аналогичное утверждение для a и b разных знаков вызывает споры. Так для случая , положив, например, и , из условия следует . Действительно, .

Нельзя забывать про исторические особенности возникновения знака

«-», появившегося в одной из версий «долга». Если — это дважды 3, т. е. 3 взятые два раза; — это дважды (-3), то не совсем понятно, какой смысл у аналогичного похожего алгебраического выражения . Как объяснить в этом случае трактовку данного выражения: «множь убытки на убытки, враз получишь прибыль»?

Ответ на этот вопрос исторически складывался в течение не одной сотни лет, когда крупнейшие математики пытались решить проблемы отрицательных чисел. Даже Декарт, сопоставивший их с точками отрицательной полуоси и признавший тем самым их право на существование, называл их ложными числами. Интерпретация с помощью «долга» сомнений не прояснила, так как было непонятно, каким образом можно получать прибыль, умножая долг на долг, т. е. убытки на убытки. Подобные недоразумения возникали и в отношении их изображения. Некоторые авторы предлагали, например, изображать их точками на полуоси, как это делал Декарт, но на другой полуоси — ортогональной к той, где откладывались обычные количества [1].

Крупнейший математик XVII века Джон Валлис «доказывал», что все отрицательные числа должны считаться большими, чем положительные. Его соответствующее обоснование современниками считалось безупречным. От этих рассуждений в настоящее время остался следующий парадокс («парадокс Валлиса»). Если , то для любого . Тогда при любом n должно выполняться неравенство . Следовательно, знаменатель (-1) меньшей дроби должен быть количественно больше n. Таким образом, получаем противоречивое неравенство .

Великий Эйлер, как и Валлис, считал, что отрицательные числа больше бесконечности. Свою правоту он фактически доказал в «Основаниях дифференциального исчисления» (см. [2]). Однако к моменту выхода этой работы уже широко распространилась и стала привычной позиция Декарта, без всяких комментариев поддержанная Ньютоном. Лишь к концу XVIII века благодаря работам Даламбера и Карно стало ясно, что арифметизация множества положительных и отрицательных чисел невозможна. То есть, множество чисел-координат по Декарту-Карно — это множество объектов другой природы, нежели множество известных ранее чисел-количеств.

Следует обязательно подчеркивать и объяснять на первых уроках математики по теме отрицательных чисел, что эти числа имели очень долгие и противоречивые этапы осмысливания в истории математики. В Европе отрицательные числа стали известны из арабских текстов, но большинство математиков XVI-XVII вв. не признавали их. Весь XVII в. математики считали, что меньше нуля (т. е. меньше «ничего») не может быть ничего. Кардано называл «фиктивными» все отрицательные корни уравнений. Виет полностью отвергал отрицательные числа. Декарт называл их «ложными» на том основании, что они представляют числа, которые меньше, чем ничто.

Разве может быть что-то меньше, чем ничего? Вот эта старая система арифметических представлений, органически связанная с бытовой культурой и укрепленная греческой наукой, являлась главным чисто психологическим препятствием для адаптации к новым объектам. Именно здесь для понимания сущности отрицательных чисел требуется опыт самостоятельного абстрагирования. Дело в том, что в математических кругах считать отрицательные числа меньше нуля договорились (подчеркиваем — договорились, т. к. это математическая условность) лишь к началу XVIII в. Хотя примерно с середины XVII в. отрицательные числа использовались весьма широко, однако они были лишены строгого определения и логического обоснования. Один из величайших мыслителей Века Даламбер утверждал: «Если задача приводит к отрицательному решению, то это означает, что какая-то часть исходных предположений ложна, хотя мы и считали ее истиной» [3].

В XVIII в. Эйлер обосновывал эквивалентность операций вычитания величины –b и прибавления величины b, сославшись на то, что «погасить долг означает поднести дар». Равенство Эйлер доказывал следующим образом. Произведение , рассуждал он, может быть равно либо , либо +1, а поскольку ему удалось доказать, что , то для произведения остается единственно возможное значение, а именно +1. В XVIII в. авторы даже наиболее выдающихся работ по алгебре не различали знак «минус» как символ операции вычитания и знак «минус» как символ отрицательного числа. На протяжении XVIII в. против отрицательных чисел выдвигалось немало возражений. Английский математик, член Королевского общества Френсис Мазер в 1759г. опубликовал «Рассуждения о применении в алгебре знака минус», где показал, как избежать отрицательных чисел «…Насколько я могу судить, отрицательные числа служат для того, чтобы внести замешательство во всю теорию уравнений и сделать смутным и загадочным то, что по самой природе особенно ясно и просто…Чрезвычайно желательно поэтому не допускать отрицательные корни в алгебру, а если таковые все же возникнут, неукоснительно изгонять их» [3].

К началу XIX века математика оказалась в весьма парадоксальной ситуации. Ее успехи в описании и предсказании физических явлений превзошли самые смелые ожидания. Многие математики с головой ушли в новые области физики и добились там значительных успехов, а об основаниях математики никто попросту не задумывался. Критика по поводу отрицательных и, одновременно с ними и комплексных чисел, не утихала. Отрицательные и комплексные числа доставляли немало беспокойства, так как интуитивно казались неприемлемыми.

В 1831 году Огастес де Морган, автор знаменитых «законов де Моргана» математической логики, внесший немалый вклад в развитие алгебры, высказал свои рассуждения по поводу отрицательных чисел в книге «Об изучении и трудностях математики» [3]. В качестве примера он приводит следующую задачу: отцу 56 лет, сыну 29. Через сколько лет отец будет вдвое старше сына? Де Морган составляет уравнение и получает ответ . Такой ответ он считает абсурдным, но отмечает, что если заменить на , то данное уравнение перейдет в уравнение , откуда следует . Поэтому он делает вывод, что исходная задача была неверно поставлена: отрицательный ответ указывает на ошибку в первоначальной формулировке задачи, где на самом деле следует спрашивать: «Сколькими годами ранее отец был вдвое старше сына». В данной книге Де Морган замечает «…мы считаем своим долгом предуведомить тех, кто изучает алгебру, о существующей трудности применения отрицательных чисел и указать на природу ее. Мы надеемся, что учащийся, рассмотрев достаточное число примеров, разобранных отдельно, обретет уверенность в тех результатах, к которым приводят правила».

Для знака «+» на уровне элементарной математики замечательна интерпретация отрицательной температуры воздуха. Известно, что 20 и +20 считаются одним и тем же числом, т. е. число 20 подразумевает неявное присутствие знака «+». Достаточно часто утверждается, что «знак плюс не пишется — для сокращения записи». Но если мы встречаем 20, то должны знать, что на самом деле это +20. Таким образом, если мы услышали, что сегодня на улице 20 градусов мороза, то мы должны это понимать как «плюс двадцать градусов мороза».

В школьной литературе часто «Математику» неявно отождествляют с понятием «Чистой математики». В связи с чем изначально в школьных учебниках не приводятся основные (порой противоречивые) аспекты становления, появления того или иного понятия в математике.

В соответствии с классификацией А. Н. Колмогорова [4] следует учитывать взаимное соотношение между четырьмя различными областями человеческой деятельности и сопоставления их математике (математической культуре):

1. изучение реального мира и практического воздействия на него;

2. содержательная математика;

3. формализованная математика;

4. метаматематика.

Отметим два пронзительных точных обстоятельства. Здесь речь идет не вообще о математике или прикладной (или еще какой, в том числе чистой) математике, а о деятельности. Математической деятельности. Кроме того говорится о разных областях. При этом каждая область не поглощает другую. Первая область математической деятельности формировалась вместе с культурой и языком на протяжении десятков тысяч лет и сопутствовала ежедневному быту каждого человека. Вторая область, скорее всего, возникла уже с появлением письменности. С развитием торговли и масштабных хозяйственных дел вторая область образовала практическую математику. Развитие содержательной математики проявилось в грандиозных открытиях: от создания дифференциального и интегрального исчисления (Валлис, Ньютон, Лейбниц) до теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, теории рядов и неисчислимого количества других содержательных продвижений. Именно содержательная математика продолжала бурно развиваться и весь XIV век.

Уже в XVII в. активный рост математических знаний привел к необходимости совершенствования понятийной среды. Между крупнейшими математиками велись яростные дискуссии по вопросам: Что такое число; Можно ли считать числом нуль (как символ ничего); Можно ли считать числом запись «-2»? Все эти споры имели формальную природу и объяснялись тем, что приходилось пересматривать некоторые взгляды, устоявшиеся «в вечности», т. е. на протяжении 2 тысяч лет.

Споры эти были отодвинуты в сторону с появлением новых и резко более актуальных вопросов: Что есть бесконечно малая величина; Что есть сумма бесконечного ряда; Что есть отношение бесконечно малых; Что есть сумма неделимых (бесконечно малых), т. е. интеграл? Ответы на эти вопросы, потребовавшие почти всего XIX века, стали основой математического анализа с его теорией пределов, теорией непрерывности, гладким анализом и пр. Более глубокое течение мысли привело к созданию «наднауки» под названием «метаматематика».

Каким образом все сказанное можно соотнести со школьной математикой? Ясно, что изначально должно быть освоение материала из первых двух областей и понятийной среды формализованной математики, но только в той мере, в какой это будет помогать освоению первых двух областей. Реально же современная школьная математика направлена на изучение сразу третьей и четвертой области, считая именно их сутью всей математики, без учета исторических особенностей становления математики.

Литература:

1. Покорная И. Ю., Покорная О. Ю., Покорный Ю. В. О генезисе бесконечно малых в преподавании анализа. Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Международная научная конференция, Воронеж, ВГУ, 2005, с. 185.

2. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. ГИТТЛ, М-Л., 1949.

3. Клайн М. Математика. Утрата определенности: Пер. с англ./Под ред. М. И. Яглома. — М.: Мир, 1984.

4. Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. М.: Наука, 1988.