Алгебраические уравнения с параметром в углубленном курсе математики общеобразовательной школы



Актуальность выбранной темы обуславливается существующим на сегодняшний день противоречием между необходимостью обучения учащихся решению задач с параметрами в школьном курсе математики и фактической степенью развития методики обучения этой теме на практике.

Ключевые слова: уравнение, параметр, дискриминант, квадратный трехчлен.

Задачи с параметрами часто встречались на вступительных экзаменах по математике в высшие учебные заведения. На сегодняшний день таким экзаменом является ЕГЭ по математике профильного уровня, в материалах которого регулярно встречается такая задача, но основная общеобразовательная программа по математике не упоминает в явном виде о задачах с параметрами. Тем не менее, было бы ошибкой считать, что задачи с параметром никоим образом не должны освещаться в школьном курсе математике [2, с. 14].

Как показывает анализ учебников по математике различных авторов, входящих в федеральный перечень учебников, данная тема либо затрагивается косвенно, либо выносится на самостоятельное изучение. Но, в то же время, задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления школьников и становлении их математической культуры. Необходимость развития у учащихся этих двух составляющих закреплена Федеральными государственными образовательными стандартами основного общего образования (ФГОС ООО) и среднего общего образования (ФГОС СОО). Нельзя не отметить, что важность изучения данной темы объясняется еще и тем, что навык работы с задачами с параметрами проверяется, как в Государственной итоговой аттестации 9-х и 11-х классов, так и на олимпиадах различного уровня. Этим обосновывается необходимость изучения задач с параметрами в школе.

Достаточно сложный раздел элементарной математики — решение алгебраических уравнений с параметрами — не требует для своего решения особой математической изворотливости, так как без труда проводится подготовленным школьником за 15–20 минут. При этом такая задача на ЕГЭ содержит определённую логическую сложность в выборе метода решения, что не позволяет недостаточно хорошо подготовленному ученику освоить этот раздел простым натаскиванием [1, с. 17].

При изучении алгебраических уравнений с параметрами методически правильно каждый тип уравнений (линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные) завершать задачами с параметрами. Включение таких примеров улучшает закрепление пройденного материала. Различные виды параметризации алгебраических уравнений приводятся в таблице 1.

Таблица 1

Виды параметризации алгебраических уравнений в 7–11 классах

Алгебраические уравнения с параметром	Параметризация	Примеры алгебраических уравнений
Линейные уравнения	свободного члена;
	коэффициента при переменной;
	свободного коэффициента и коэффициента при переменной
Рациональные уравнения	свободного члена в числителе;
	свободного члена в знаменателе;
	свободных членов в числителе и знаменателе;
	коэффициентов при переменной в числителе или в знаменателе
Квадратные уравнения	свободного члена;
	коэффициента при переменной 1-й степени;
	коэффициента при старшем члене;
	коэффициентов при переменной или свободном члене
Иррациональные уравнения	под знаком квадратного радикала;
	вне знака квадратного радикала;
	под знаком радикала и вне знака радикала

Ниже приводятся примеры решения алгебраических уравнений с параметрами в углубленном курсе математики общеобразовательной школы.

Задача 1. При каких значениях параметра

уравнение

имеет отрицательных корней больше, чем положительных?

Решение. Исходное уравнение эквивалентно следующему

Если , то у этого уравнения два комплексно сопряженных и два действительных отрицательных корня.

Рассмотрим теперь случай, когда . При этом исходное уравнение имеет четыре действительных корня

Определим, при каких значениях эти корни определены и отрицательны.

При

два корня обращаются в нуль, а два других при этом отрицательны. Итак,

Ответ:

Задача 2. При каких значениях параметра уравнение

(1)

имеет не менее двух корней, больших единицы?

Решение. Разделив обе части уравнения (1) на , получим уравнение

Сделав в этом уравнении подстановку

, имеем соотношение

из которого находим, что

А тогда, учитывая замену, приходим к рассмотрению двух уравнений относительно : т. е. приходим к рассмотрению квадратных уравнений

	(2)
	(3)

Замечая, что у этих уравнений свободный член отрицателен, приходим к выводу, что они обязательно имеют по одному отрицательному корню.

Таким образом, если мы найдем значения параметра , при которых положительные корни уравнений (2) и (3) будут больше единицы, а для этого, очевидно, должны выполняться условия

где — это, соответственно, левые части уравнений (2) и (3). Решение двух последних неравенств равносильно решению неравенства

, решая которое, находим, что

Ответ:

Задача 3. При каких значениях все решения уравнения

не являются положительными?

Решение. Квадратный трехчлен в знаменателе второй дроби после преобразований и разложения на простые множители примет вид:

Перепишем исходное уравнение теперь в таком виде: .

Преобразуем данное уравнение:

Переходим к равносильной системе

1). Если , т. е. , то уравнение системы примет вид

и не будет иметь решений.

2). Если , то

По условию задачи мы должны рассматривать лишь неположительные решения, поэтому искомые значения параметра найдем, решив систему:

не рассматриваем, так как нас интересуют неположительные корни. Имеем

Первая система решений не имеет.

Ответ или < < 3.

Задача 4. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень

Решение. Уравнение равносильно следующей системе:

В свою очередь, полученная система равносильна системе:

Найдём, при каких значениях параметра полученный корень

будет являться корнем исходного уравнения. Для этого решим систему неравенств:

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при

Ответ: .

Задача 5. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке .

Решение. Числитель должен быть равен 0, а знаменатель не равен нулю и определён. Получаем две возможности:

A

Б

Ответ: единственное решение будет при .

Решение будет единственным, если .

Литература:

1. Малкова, А. Г. Математика. Задачи с параметрами: 12 методов решения. ЕГЭ математика 2024 / А. Г. Малкова. — Ростов-на-Дону: Изд-во «Феникс, 2024. — 392 с.
2. Шестаков, С. А. ЕГЭ. Математика. Задачи с параметром. Задача 17 (профильный уровень) / С. А. Шестаков. — Москва: Изд-во МЦМНО, 2023. — 288 с.