Описание конечно-разностного метода решения краевых задач, описывающих волновые явления



Рассмотрим краевую задачу (1)-(14) в [1].

Пусть

=

и

где, i=1,2.

Систему уравнений (5) в [1] запишем в виде

— (1)

—

Построим интегральное тождество, которому должно удовлетворять обобщенное решение задачи (1).

Пусть произвольная функция из . Умножим первое уровнение системы (1) на и проинтегрируем по области

.

Используя формулу интегрирования по частям, найдем

Учтем граничные условия (10)-(12) в [1]. Окончательно получим

. (2)

Для второго уравнения системы (1) аналогично будем иметь

(3)

В области введем прямоугольную неравномерную сетку где

Пусть ;

,

; ; .

Обозначим через W множество всех внутренных узлов сетки ; узлы сетки при фиксированном ;

состоит из узлов при данном

— множество состоящее из и узла ;

включает и ;

.

Считаем, что узлы сетки попадают на границы областей и .

В тех случаях, когда не будет возникат недоразумений, вторые индексы при ; ; ; будем опускать и писать соответственно ,

, . Здесь и в дальнейшем используются обозначения, принятие в теории разностных схем [2, 3].

Систему интегральных тождеств (2), (3) аппроксимируем суммарными тождествами путем замены интегралов квадратурными формулами трапеций и центральных прямоугольников, а производных — разностными отношениями [2]. Получим систему:

; (4)

;

, .

В тождествах (4) используются обозначения

;

;

;

;

;

;

.

Приближенным решением задач (1)-(14) в [1] будем называть такую заданную на сеточную функцию V, которая при любой функции , определенной на той же сетке и равной нулю при , удовлетворяет сумматорным тождествам (4), где V-разностный аналог вектора упругих перемещений с компонентами и

, соответствующими проекциям перемещений и на оси и .

В силу произвольности функции положим её равной в одном из узлов сетки и равной нулю в остальных узлах. Перебирая таким образом все узлы, получим следующую разностную схему:

• внутренние узлы ( :

— — =0,

— — =0.

• граничные узлы:

:

— =0,

— =0.

:

—

;

— ;

:

— ;

— .

:

.

• гловые точки:

X=(0, :

— ;

— .

X=(1, :

— ;

— .

Здесь = .

Литература:

1. Международный научный журнал «Молодой ученый» № 44 (431), ноябрь 2023
2. Самарский А. А., Андреев В. Д. Разностные методы для эллиптических уравнений — М.: Наука, 1976.
3. Самарский А. А. Николаев Е. С. Методы решений сеточных уравнений — М.: Наука, 1978.