К вопросу применения метода n-прямых



В статье показано применение метода n- прямых к решению некоторых геометрических задач и получено много интересных результатов [1, 2, 3, 4, 5].

Под названием метода n-прямых имеется в виду применение способа деления стороны треугольника пропорционально n- м степеням прилежащих сторон.

1. Пусть ABC произвольный треугольник со соответствующими сторонами a,b,c. Можно показать, что значение является одним из важных характеристик каждого треугольника.

Рис. 1

Как известно, произвольная прямая со степенью n делит сторону AB на отрезки и [1,2,3].

Здесь является n -прямой, и она делит сторону AB в отношении n называется степенью прямой CN. Прямую можно определить по теореме косинусов:

=> . (1)

Предположим, . Определим, при каком значении длина n -прямой равна , тоесть . Понятно, что это возможно в двух случаях, когда

и . Здесь прямые и расположены симметрично относительно высоты CH (рис. 1).

Тогда, учитывая в (1) , и ведя обозначение получаем квадратное уравнение:

(2) или = 0

Найдем дискриминант D :

.

Тогда, для решения этого уравнения получаем:

; , .

Учитывая введенное обозначение получаем:

=>

=> (3).

Аналогичным образом можно получить:

=> => => =>

(4).

Предположим,

такой треугольник, что его стороны удовлетворяют равенству , где a, b, c — положительные действительные числа.

Учитывая последнее, определим значение выражения , где к — степень прямой высоты, проведенной из вершины C . Покажем, что при этом значение этого выражения также будет равняться четырем.

Как известно, высота делит сторону AB на части и Тогда => => (5).

Тогда, учитывая формулы (3), (4), (5), в искомом выражении получаем:

(6).

Покажем, что если то Для того чтобы выражение (6) равнялось четырем, то есть n=4, необходимо чтобы Откуда получаем =>

Упрощая последнее выражение, получаем:

=>

Так как, то сокращая обе части последнего равенства на имеем: =>

Следовательно, если то

С другой стороны, как можно легко убедиться Следовательно,

и

2. Пусть стороны такие, что Тогда можно написать следующие выражения:

(7).

С другой стороны, (8).

Тогда, используя формулы (7) и (8) получаем:

(9).

А теперь покажем, что если то CN проведенная из вершины C , делит сторону равнобедренного треугольника в таком же отношении, как прямая k , то есть высота CH делит сторону AB треугольника ABC . Как мы уже показали (5):

Покажем, что =>

Действительно, в этом случае имеем:

=>

=>

Так как, здесь и то получается тождество.

3. А теперь покажем, что если где

то n -прямая делит сторону в отношении:

(10)

Действительно, в этом случае получаем:

(11)

А с другой стороны (12)

Тогда, учитывая (11) и (12) получаем:

4. Определим углы равнобедренного треугольника

Пусть Тогда получаем: Откуда имеем arc =>

С другой стороны, можно написать:

=> или

Так как то получаем .

Тогда (13)

Если же

является тупым углом то (14)

Покажем какие при этом получаются подобные треугольники. Можно легко показать, что если острый угол, то (15)

Если же тупой угол, то , (16)

так как углы этих треугольников равны. А теперь определим, на какие углы делит n -прямая угол при вершине C равнобедренного треугольника Применим теорему синусов (рис. 2):

=>

Аналогичным образом получаем:

=>

Рис. 2

Следовательно,

(17)

5. А теперь, используя равнобедренный треугольник найдем длину n -прямой различными способами. В равнобедренном треугольнике как известно

Тогда длину определим по формуле Стюарта:

Откуда (18)

Длину n- прямой можно определить, используя теорему косинусов (рис. 2):

=>

Если используем формулы (11) и (12), то получим:

Из последних двух равенств можно получить:

(19)

(20)

Из этих уравнений можно найти n, при котором где

(21)

(22)

А теперь, определим длину через и

Как известно [3;4;5] если где то

Тогда из по теореме косинусов получаем:

Рис. 3

(23)

Аналогичным образом из треугольника BCN можно получить:

(24)

Из (23) и (24) можно получить также значение n :

(25)

(26)

Можно также показать, что формулы (21) и (23), а также (22) и (24) тождественно равны.

6. На предыдущих страницах показано, что каждому треугольнику ABC соответствует единственный равнобедренный треугольник с боковыми сторонами и с основанием Важность равнобедренного треугольника связана ещё с тем, что все n -прямые, проведенные с вершины точки С, находятся внутри этого треугольника, так как длина n -прямой удовлетворяет двойному неравенству С другой стороны где Кроме этого, здесь образуются три подобных треугольника: Кроме всего этого, как мы видели, используя стороны и углы этого треугольника можно найти некоторые важные формулы, характеризующие свойства самого треугольника ABC . Как можно увидеть из рис. 4, если точка С будет двигаться по дуге ACB окружности (Рис. 4), то все полученные треугольники будут иметь общий угол

и общую сторону c .

Рис. 4

При этом можно показать, что все равнобедренные треугольники, соответствующие полученным треугольникам ABC подобны. Действительно, если отношение сторон двух треугольников, полученных при перемещении по окружности точки С , будут равны, то мы получаем следующие равенства:

=>

Последняя формула означает, что косинусы углов, следовательно и углы при вершине равны. Действительно, мы знаем, что значение этих углов равны а углы при основании равны

Если же точка будет двигаться по дуге (рис. 4), то все равнобедренные треугольники, соответствующие полученным треугольникам, также будут иметь угол при вершине и углы при основании равные Действительно, учитывая что то тупоугольному треугольнику будет соответствовать угол при основании

Таким образом, для всех равнобедренных треугольников, вписанных в окружность, соответствующих треугольникам ACB и углы при основании будут равны

7. А теперь найдем формулы для и для всех n-прямых (рис. 4)

Используя формулы для косинусов, получаем:

=>

Учитывая здесь формулу , получаем или

(27)

Аналогичным образом получаем формулу для

или (28)

А теперь получим формулы для и если удовлетворяется равенство

Как известно, существуют формулы [3;4]:

и Из этих формул получаем (29)

Если в последней формуле учесть формулу [3;4], то получаем (30)

Если в формулах (30) учесть формулу (18), то получим формулы:

(31)

(32)

8. Покажем, что при n=0 в формулах (27) и (28) полученная прямая пересекает прямую AB в его середине. Действительно при n=0 получаем:

(33)

С другой стороны, из формул и получаем или (34)

Последнее является формулой медианы. Тоже самое можно получить при n=0 в формуле (28). Здесь получаются формулы

=> (35)

где (36)

А теперь покажем, что при подстановке формулах (27) и (28) прямая CN будет биссектрисой.

Действительно при получаем:

(37)

С другой стороны учитывая формулы

(38)

получаем:

(39)

Последнее является формулой биссектрисы.

9. Используя формулы (27) и (28), покажем, что n -прямые, полученные для и , и , а также для случая, когда перпендикулярен прямой AB являются попарно изогональными. Действительно при

мы уже получили формулы и Точно также при получаются формулы

Рис. 5

Как мы видим, формулы для и при этом меняются местами, т. е.

Это связано с тем, что получается равнобокая трапеция у которой боковые стороны и диагональ равны. То есть и А так как основания трапеции параллельны и дуги окружности между параллельными сторонами равны, то углы равны. Следовательно, прямые и изогональны. То же самое получается, когда n = -1 и n = 3.

Действительно при n = -1 имеем

(40)

Соответственно

(41)

А при n = 3 имеем:

Как можно увидеть, здесь тоже и меняются местами, то есть А теперь рассмотрим случай, когда n -прямая перпендикулярна основанию, то есть является высотой. А также когда n -прямая проходит через центр окружности. Когда прямая проходит через центр окружности Тогда, по теореме Пифагора В случае когда

можно написать:

=>

Рис. 6

Здесь Тогда То есть равнобочная трапеция

и Таким образом здесь тоже и меняются местами и Так как и изогональны, то сумма их степеней равна двум [1;2]. Если степень прямой равна k , то степень прямой равняется (Рис. 6)

Рассмотрим случай

. В этом случае прямая CN является биссектрисой и

Рис. 7

Как видно из рис. 7, биссектриса совпадает со своей изогональю, или можно сказать, что биссектриса сама себе изогональна.

Таким образом, в данной статье показано применения метода n-прямых к различным задачам геометрии и показана эффективность этого метода.

Литература:

1. Зетель С. И. Сборник статей по элементарной и началом высшей математики. Математическое просвещение, серия 1.1, 1934, с.5–8.
2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. Москва, 1962, с 120–129.
3. Бегляров, Э. Б. Применение метода n прямых к решению некоторых задач / Э. Б. Бегляров, И. Р. Гасанов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2024. — № 10 (509). — С. 1-13. — URL: https://moluch.ru/archive/509/111885/ (дата обращения: 13.04.2024). С 1–12.
4. Гасанов, И. Р. О некоторых формулах для выпуклых четырехугольников / И. Р. Гасанов, Э. Б. Бегляров. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2024. — № 10 (509). — С. 13-18. — URL: https://moluch.ru/archive/509/111747/ (дата обращения: 13.04.2024). С. 13–17.
5. Elkhan Baylarov. İlyas Hasanov. A Different Geometric Approach to the Proof of Fermat’s Last Theorem.