Об изоморфизме групп Pin (0,1) и Pin (1,0) | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 7 декабря, печатный экземпляр отправим 11 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Научный руководитель:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №17 (516) апрель 2024 г.

Дата публикации: 21.04.2024

Статья просмотрена: 173 раза

Библиографическое описание:

Рябов, К. С. Об изоморфизме групп Pin (0,1) и Pin (1,0) / К. С. Рябов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2024. — № 17 (516). — С. 7-9. — URL: https://moluch.ru/archive/516/113264/ (дата обращения: 23.11.2024).



В статье автор исследует изоморфизм групп Pin(0,1) и Pin(1,0). Приводится строгое математическое доказательство с использованием информации об алгебре Клифорда, а также конгруэнтность с циклическими группами . Приводится вся теоретическая база данного доказательства. В ходе работы было выявлено, что изоморфизм отсутствует.

Ключевые слова: изоморфизм, спинорная группа, алгебра Клифорда.

Задача поиска изоморфизма в группах важна, потому что она позволяет установить эквивалентность между различными структурами и изучать их свойства на основе общих черт. Изоморфизм групп отражает их структурное сходство, что помогает упростить изучение и анализ свойств групп, а также облегчает решение задач и доказательство теорем.

Изоморфизм — это понятие в математике, обозначающее отношение между двумя объектами или системами, сохраняющее основные свойства и отношения между элементами этих объектов. Изоморфизм устанавливает соответствие между элементами двух систем таким образом, что каждому элементу первой системы соответствует единственный элемент второй системы, и наоборот.

Группой будем называть совокупность элементов, связанных между собой некоторой бинарной операцией, удовлетворяющей условиям ассоциативности и имеющей нейтральный элемент.

Группы Pin (n,m) будем называть спинорными группа алгебры Клифорда заданной сигнатуры .

Алгебра Клиффорда — это унитальная ассоциативная алгебра, порождённая векторным пространством квадратичной формы. Она представляет собой обобщение действительных, комплексных чисел и кватернионов. Алгебра Клиффорда тесно связана с теорией квадратичных форм и ортогональных преобразований и имеет важные приложения в различных областях, таких как геометрия, теоретическая физика и цифровая обработка изображений.

Рассмотри доказательство с использование конгруэнтных отношений.

.

Получается, что данная группа находится в конгруэнтных отношениях с , где — прямое произведение.

.

Единицей в данном случае будем называть пару чисел (1,1).

В случае единица имеет порядок

, а случае единица имеет уже порядок 4. Из этого можно сделать вывод, что изоморфизм между данными группами отсутствует.

Теперь приведем доказательство построенное на базе алгебры Клифорда.

Алгебра Клифорда имеет генератор и соотношение .

Алгебра Клифорда имеет генератор и соотношение .

Получаем следующее:

,

.

Будем использовать доказательство от противного. Предположим, что изоморфизм есть, тогда выполняется соотношение: .

Рассмотрим , который должен удовлетворять соотношению:

Но так как для любого элемента должно выполняться , а такого не существует. Поэтому эти группы не изоморфны.

В ходе данной работы было выявлено, что группы Pin(0,1) и Pin(1,0) не изоморфны. Было приведено два различных доказательства этого факта. Отсутствие изоморфизма свидетельствует о том, что две системы или объекты не обладают полной структурной и функциональной эквивалентностью. Это указывает на различия в их организации и принципах работы, что может способствовать более глубокому пониманию их специфических характеристик и созданию более эффективных методов решения проблем, учитывающих индивидуальные особенности каждой системы или объекта.

Результаты данной научной работы могут найти применение в геометрии, физике и компьютерном зрении.

В дальнейшем имеет смысл рассмотреть матричный способ доказательства отсутствия изоморфизма данных групп. Так же возможно рассмотрение групп другой размерности, порожденные алгебрами Клифорда другой сигнатуры.

Литература:

1. Lounesto P., Clifford Algebras and Spinors, Cambridge Univ. Press (1997, 2001).

2. Рашевский П. К., Теория спиноров, УМН, 10:2(64), 3–110 (1955).

3. Румер Ю. Б., Спинорный анализ, М.-Л.: ОНТИ, (1936).

4. M. F. Atiyah, R. Bott, A.Shapiro, Clifford modules, Topology 3, pp. 3–38 (1964).

5. D.Hestenes, G.Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus — A Unified Language for Mathematical Physics, Reidel Publishing Company (1984).

6. Marchuk N. G., Shirokov D. S., Unitary spaces on Clifford algebras, Advances in Applied Clifford Algebras, Volume 18, Number 2, pp. 237–254, (2008).

7. Широков Д. С., Классификация элементов алгебр Клиффорда по кватернионным типам, Доклады академии наук, т.427, 6, c.758–760 (2009).

8. Shirokov D. S., Quaternion typification of Clifford algebra elements, Advances in Applied Clifford Algebras, Online First (2011), arXiv:0806.4299v2 [math-ph].

9. Shirokov D. S., Development of the method of quaternion typification of clifford algebra elements, Advances in Applied Clifford Algebras, Online First (2011), arXiv:0903.3494v1 [math-ph].

Основные термины (генерируются автоматически): группа, алгебра, доказательство, изоморфизм, изоморфизм групп, система.


Ключевые слова

изоморфизм, спинорная группа, алгебра Клифорда

Похожие статьи

Исследование прикладных свойств функции f(x)=ax + b/x

В статье систематизированы сведения о функции f(x)= ax + b/x, которая используется в школьном курсе математики и физики. Подобная систематизация включает в себя не только изучение свойств этой функции, но и раскрытие ее прикладного характера. Прикла...

О достаточном условии конечности числа собственных значений двухканальной молекулярно-резонансной модели

Рассматривается самосопряженная обобщенная модель Фридрихса , которая ассоциирована гамильтонианом системы, состоящей из не более чем двух частиц. Обсуждается случай, когда существенный спектр оператора может содержать лакуны. Получено достаточное у...

Геометрическая характеризация JBW- факторов

Эта работа посвящена исследованию предсопряженных пространств JBW-факторов, и приведён полученный результат, что если вещественный JBW-фактор не изоморфен спин-фактору или алгебре тогда его предсопряженное не является SFS-пространством.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса с двумерным возмущением

В работе рассматривается ограниченная и самосопряженная модель Фридрихса с двумерным возмущением, который ассоциирован с системой двух квантовых частиц на трехмерной решетке. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр этой модел...

Подгрупповые m-функторы и ω­-примитивные классы групп

В статье изучаются свойства подгрупповых m-функторов. Доказывается критерий ω­регулярности подгруппового m-функтора, а также устанавливается взаимосвязь решетки всех ω­регулярных подгрупповых m-функторов с решеткой всех ω­примитивных классов конечных...

Обобщенная методика интерпретации данных гидрогазодинамических исследований при нелинейных законах фильтрации

В статье рассматривается актуальная для практики методика, которая, используя данные гидрогазодинамических исследований при нелинейных законах фильтрации, позволяет предложить полиномиальный закон в произвольной степени, из которого как частный случа...

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Рассматривается операторная матрица в прямой сумме нолчастичного, одночастичного и двухчастичного подпространств фоковского пространства. Изучаются некоторые свойства, в основном связанные с числами собственных значений, соответствующих дополнении Шу...

Числовой образ линейных операторов: основные свойства и примеры

В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.

Нахождение k-error линейной сложности бинарной последовательности при помощи точных алгоритмов для частных случаев (k=0 и k=2^m, где m — целое число)

Данная работа посвящена исследованию задачи нахождения k-error линейной сложности бинарной последовательности. Написаны программы нахождения точного решения k-error линейной сложности для частных случаев.

Структура численного диапазона обобщенной модели Фридрихса

В работе рассматривается ограниченная самосопряженная обобщенная модель Фридрихса. Показывается, что замыкание численного диапазона этой модели состоит из отрезка и исследован его структура.

Похожие статьи

Исследование прикладных свойств функции f(x)=ax + b/x

В статье систематизированы сведения о функции f(x)= ax + b/x, которая используется в школьном курсе математики и физики. Подобная систематизация включает в себя не только изучение свойств этой функции, но и раскрытие ее прикладного характера. Прикла...

О достаточном условии конечности числа собственных значений двухканальной молекулярно-резонансной модели

Рассматривается самосопряженная обобщенная модель Фридрихса , которая ассоциирована гамильтонианом системы, состоящей из не более чем двух частиц. Обсуждается случай, когда существенный спектр оператора может содержать лакуны. Получено достаточное у...

Геометрическая характеризация JBW- факторов

Эта работа посвящена исследованию предсопряженных пространств JBW-факторов, и приведён полученный результат, что если вещественный JBW-фактор не изоморфен спин-фактору или алгебре тогда его предсопряженное не является SFS-пространством.

Связь между числовым образом и спектром модели Фридрихса с двумерным возмущением

В работе рассматривается ограниченная и самосопряженная модель Фридрихса с двумерным возмущением, который ассоциирован с системой двух квантовых частиц на трехмерной решетке. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр этой модел...

Подгрупповые m-функторы и ω­-примитивные классы групп

В статье изучаются свойства подгрупповых m-функторов. Доказывается критерий ω­регулярности подгруппового m-функтора, а также устанавливается взаимосвязь решетки всех ω­регулярных подгрупповых m-функторов с решеткой всех ω­примитивных классов конечных...

Обобщенная методика интерпретации данных гидрогазодинамических исследований при нелинейных законах фильтрации

В статье рассматривается актуальная для практики методика, которая, используя данные гидрогазодинамических исследований при нелинейных законах фильтрации, позволяет предложить полиномиальный закон в произвольной степени, из которого как частный случа...

О спектре дополнения Шура одной операторной матрицы

Рассматривается операторная матрица в прямой сумме нолчастичного, одночастичного и двухчастичного подпространств фоковского пространства. Изучаются некоторые свойства, в основном связанные с числами собственных значений, соответствующих дополнении Шу...

Числовой образ линейных операторов: основные свойства и примеры

В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.

Нахождение k-error линейной сложности бинарной последовательности при помощи точных алгоритмов для частных случаев (k=0 и k=2^m, где m — целое число)

Данная работа посвящена исследованию задачи нахождения k-error линейной сложности бинарной последовательности. Написаны программы нахождения точного решения k-error линейной сложности для частных случаев.

Структура численного диапазона обобщенной модели Фридрихса

В работе рассматривается ограниченная самосопряженная обобщенная модель Фридрихса. Показывается, что замыкание численного диапазона этой модели состоит из отрезка и исследован его структура.

Задать вопрос