Псевдопараболическая регуляризация одной граничной обратной задачи для уравнения теплопроводности



Работа посвящена исследованию одной граничной обратной задаче для уравнения теплопроводности, которое связана с изучением нестационарных тепловых процессов. Обратная задача заключается в нахождении граничной функции из первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности по переопределению во внутренней точке. Задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра первого рода. Методом кавзиобращение доказывается сходимость приближенного решения к точному решению и получена соответствующая оценка погрешности.

Ключевые слова: параболическое уравнение, обратные задачи, неизвестные граничные данные, переопределение во внутренней точке обратная граничная задача теплопроводности.

The work is devoted to the study of one boundary inverse problem for the heat equation, which is associated with the study of non-stationary thermal processes. The inverse problem consists of finding the boundary function from the first initial-boundary value problem for the heat equation by redefinition at an internal point. The problem is reduced to the Volterra integral equation of the first kind. Using the causi-inversion method, the convergence of the approximate solution to the exact solution is proved and the corresponding error estimate is obtained.

Keywords: parabolic equation, inverse problems, unknown boundary data, redefinition at the internal point of the inverse boundary value problem of heat conduction.

В задачах, связанных с исследованием нестационарных тепловых процессов, довольно часто встречается ситуация, когда невозможно провести прямые измерения требуемой физической величины и ее характеристики определяются по результатам некоторых косвенных измерений. При этом единственным методом нахождения требуемых значений связан с решением граничной обратной задачи теплопроводности с исходными данными, известными только на части границы. Аналогичные граничные обратные задачи возникают не только при изучении тепловых процессов, но и при исследовании процессов диффузии, изучении свойств материалов, связанных с тепловыми характеристиками.

В работе рассматривается граничная обратная задача для уравнения теплопроводности, которая сводится к интегральному уравнению Вольтерра первого рода. К этой задаче применяется метод квазиобращения, где в качестве возмущенного уравнения рассматривается псевдопараболическое уравнение [1]. Различные обратные задачи, в том числе граничные изучены в работах [1–5]. Отметим, что метод квазиобращение разработан французскими математиками Р.Латтесом и Ж.-Л.Лионсом и подробно изложены в монографии [6].

Граничные обратные задачи для параболических уравнений, в частности для уравнения теплопроводности изучались многими авторами, в частности в работах [7–12] исследованы граничные обратные задачи теплопроводности, а задача о колебаниях стержня с неизвестным условием его закрепления на части границы для исследованы в работе [14].

1. Постановка обратной задачи и сведение обратной задачи к интегральному уравнению первого рода

Пусть . Рассмотрим задачу нахождения функции

из условий

(1)

(2)

(3)

где заданное число. Для заданных функций эта задача называется прямой задачей.

Обратная задача. Найти пару функций из условий (1) — (3), если относительно решения прямой задачи (1) — (3), известна дополнительная информация

(4)

Определение 1.1. Пара функций и называется решением обратной задачи (1) — (4), если и удовлетворяет равенствам (1) — (4) в классическом смысле.

2. Корректность прямой задачи

Сначала покажем корректность прямой задачи (1)-(3).

Теорема 2.1. Пусть и выполнены условия согласования Тогда существует единственное решение начально-краевой задачи (1) — (3), которое представимо в виде

(5)

где

Доказательство. Для заданной функции в условиях теоремы 1 достаточно установить однозначную разрешимость задачи (1)-(3) при условиях

Действительно, вместо функции введем новую неизвестную функцию

(6)

которая удовлетворяет задаче

(7)

(8)

(9)

Согласно, методу Фурье ([см.3, с.243]). решение задачи (5) — (8) ищем в виде

(10)

Тогда для определения функции , получим систему:

(11)

где

(12)

Решая задачу (11) и учитывая (12), после интегрирования по частям, имеем

(13)

Подставляя (1.13) в (1.10), находим

(14)

Тогда подставляя (14) в (6) и после несложных преобразований, получим

(15)

Как и в работе [5], в силу условий, наложенных на функции нетрудно показать, что ряд (15), а также ряды, полученные дифференцированием по времени один раз, два раза по х сходятся. Теорема 1 доказана.

Так как

то формулу (15) можно переписать в виде

Обозначим

Тогда

(1.16)

Задача нахождения граничной функции является некорректной задачей.

Действительно, продифференцируем выражение (16) по х, затем положим в полученное выражение . Тогда, используя дополнительную информацию (4), получим

(17)

где

Таким образом, задача нахождения граничного условия для уравнения теплопроводности поставлено некорректно [1].

2. Метод квазиобращения и оценка погрешности приближенного решения

Для приближенного решения некорректной задачи используем псевдопараболический вариант квазиобращения [1]. В этом пункте рассмотрим вопрос регуляризации следующей некорректной граничной обратной задачи нахождения пару функций из условий:

(18)

(19)

(20)

(21)

Здесь заданная функция.

Так как задача (18)-(21) некорректна, то для заданной функции граничная задача имеет решение принадлежащее множеству

,

но функция задана неточно, т. е. известно число и непрерывная при функция такая, что

(22)

Требуется построить приближенное решение обратно задачи (18)-(21) и оценить разность между точным и приближенным решением.

Покажем, что в качестве приближенного решения обратной задачи (18) — (21) может быть взята функция , где и есть решение обратной задачи

(23)

(24)

(25)

(26)

2.1. Исследование обратной задачи и оценка погрешности

Приведем результат об однозначной разрешимости задачи(23) — (25).

Т еорема 2 [4]. Пусть функция . Тогда для любого существует единственное решение задачи (23) — (25) и выражается формулой

(27)

А для обратной задачи (23) — (26) справедлива

Теорема 3. Пусть и . Тогда для любого существует единственное решение обратной задачи (23) — (26).

Доказательство. Согласно результата работы [2], решение задачи (23) — (26) существует, единственно и представимо явной формулой:

(28)

Пусть и выполнены условия согласования . Продифференцировав (28) по х, и , учитывая (26), получим

,(29)

где

(30)

Уравнение (30) при каждом имеет единственное решение в

пространстве которое обозначим через

2.2. Метод квазиобращения. Для приближенного решения некорректной задачи используем псевдопараболический вариант метода квазиобращения [1]. В отличие от обычного варианта метода квазиобращения [6], здесь не требуется дополнительные граничные условия.

Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям и при так, что Тогда

при .

Доказательство. Обозначим через

решение задачи (2.6), (2.7), (2.9) с условием

Применив к обратной задаче (18)-(21) преобразование Фурье, получим следующую обратную задачу:

(31)

(32)

где

Решением задачи (31), (32) является

. (33)

Применяя к обратной задаче (22), (23), (26) преобразование Фурье, получим следующую задачу Коши:

(34)

(35)

Решением задачи (2.17), (218) является функция

Таким образом, в качестве приближенного решения исходной граничной обратной задачи берется функция

где Фурье образ функции определяется по формуле

Здесь оператор, регуляризирующий исходную граничную обратную задачу с .

Рассмотрим оценку погрешности приближенного решения граничной обратной задачи на множестве .

Используем методику работы [15]. В качестве характеристики точности приближенного решения используем величину

.

Далее, используем очевидную оценку

где

Рассмотрим функцию

.

Так как

,

то существует такое , что для всех выполняется неравенство

Следовательно,

(26)

где C — постоянная, не зависящая от . Из (36) следует, что

.

А для верна оценка [15]:

Выберем зависимость из условий . Отсюда .

Тогда как и в работе [15] можно доказать, что существуют такие числа , что для всех имеет место неравенство

(37)

Из оценки (37) с учетом оценки погрешности оптимального метода решения обратной граничной задачи на множестве M, полученной в работе [2], доказана следующая теорема

ТЕОРЕМА 4 . Пусть точное решение задачи (18)-(21) непрерывно на отрезке и . Тогда при и при любом выборе параметра регуляризации так, что , регуляризованное решение задачи (23)-(26) равномерно сходится к точному решению задачи (18)-(21).

Литература:

1. Аблабеков, Б. С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений / Б. С. Аблабеков. — Бишкек: Илим, 2001. –183 с.

2. Аблабеков Б. С. Граничная обратная задача для уравнения фильтрации жидкостей в трещиноватом пласте // Известия Кыргызского государственного технического университета им. И.Раззакова. 2013. № 28. С. 449–452.

3. Аблабеков, Б. С. Метод полуобращения и существование решений начальной, начально-краевой задачи /Б. С. Аблабеков // Наука и новые технологии. –1999.- № 4. — С. 12– 19.

4. Аблабеков, Б. С. Первая начально-краевая задача для одномерного псевдопараболического уравнения с малым параметром [Текст] / Б. С. Аблабеков, А. Т. Муканбетова // Евразийское Научное Объединение. 2019.Т. 1. № 4 (50), C.1–5.

5. Аблабеков, Б. С. О разрешимости граничной обратной задачи для псевдопараболического уравнения [Текст] / Б. С. Аблабеков, А. Т. Муканбетова // Евразийское научное объединение. –2021. Т.1. –№ 7(77). –С.5 –8.

6. Латтес, Р. Метод квазиобращения и его приложения / Р. Латтес, Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир,1970. — 336 с.

7. Вабищевич, П. Н. Разностные методы решения граничной обратной задачи теплопроводности / П. Н. Вабищевич // Дифференц. уравнения, 1991, том 27, номер 7, 1114–1123.

8. Костин, А. Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения I /А. Б. Костин, А. И. Прилепко // Дифференц. уравнения. -1996.-Т.32, № 1.-С.107–116.

9. Костин, А. Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения /А. Б. Костин, А. И. Прилепко // Дифференц. уравнения. -1996.-Т.32, № 11.-С.1519–1528.

10. Щеглов А. Ю. О равномерном приближении решения одной обратной задачи методом квазиобращений / А. Ю. Щеглов // Матем. заметки, 1993, том 53, выпуск 2, 168–174.

11. Щеглов А. Ю. Метод решения обратной граничной задачи динамики сорбции с учетом диффузии внутри зерна / А. Ю. Щеглов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2002, том 42, номер 4, 580–590.

12. Солодуша С. В. Численное решение обратной граничной задачи теплопроводности с помощью уравнений Вольтерра I рода /С. В. Солодуша, Н. M. Япарова, // Сиб. журн. вычисл. матем., 2015, том 18, номер 3, 327–335

13. Япарова Н. М. О различных подходах к решению обратных граничных обратных задач тепловой диагностики / Н. М. Япарова //Вестн.ЮУрГУ. Сер».Математика. Механика, Физика». — 2012.-№ 34.– С.60–67.

14. Бейлина, А. Б. Задача о колебаниях стержня с неизвестным условием его закрепления на части границы / А. Б. Бейлина, Л. С. Пулкина //Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия.2017, № 2. С.7–14.

15. Табаринцева Е. В. О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения методом квазиобращения / Е. В. Табаринцева, Л. Д. Менихес, А. Д. Дрозин//Вестн.ЮУрГУ. Сер».Математика. Механика, Физика». — 2012.-№ 11.– С.8–13.