Решение геометрических задач методом n-прямых



В статье показано применения некоторых простых геометрических способов, в частности применения метода n-прямых к решению поставленных задач [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. В данной работе получены интересные результаты исследования, которые ранее не были опубликованы.

1) Как известно [3; 4; 5] если где то всегда

Здесь не нарушая общности можно предположить, что Тогда положительные числа можно рассматривать как представляющие длины сторон треугольника При этом показано, что если то такой треугольник тупоугольный. При

получается прямоугольный треугольник, а при получаем остроугольный треугольник. В статье будем рассматривать только остроугольный треугольник. А теперь покажем, что если положительные действительные числа удовлетворяю неравенству треугольника, то всегда существует число при котором Для этого проведем следующие простые преобразования:

Если при этом построить график функций и то эти функции будут пересекаться в точке Эта точка единственна, так как функция

при и непрерывна и монотонно убывает, а функция непрерывна и монотонно возрастает. Число можно найти также как точку пересечения функций и или функции или же как точку пересечения функции с одним из функций или

Здесь соответствующие углы треугольника (см. рис. 1,2,3). Графики, построенные для треугольника со сторонами Как, видим в этом случае для получается значение

Рис. 1Рис. 2Рис. 3

Отсюда как вывод получается, что, если положительные целые треугольные число, то не может быть целым положительно числом.

Действительно, так как для любого числа удовлетворяющих неравенство существует единственное число то при число должно быть иначе это противоречило бы теореме ферма. Также можно утверждать, что если то все числа одновременно не могут быть целыми числами.

2) А теперь рассмотрим графики кривых вида где Здесь для любого целого положительного числа можно указать такой номер начиная которого (то есть при ) кривая не проходит через целочисленные точки не лежащие на осях координат. Мы будем рассматривать случай, когда В этом случае точки пересечения кривой с осями координат будут точки (рис. 4). Как можно легко убедиться при достаточно большом эта кривая прижимается к ломаной

Внутри области с шириной равной 1, ограниченного ломаной осями координат и ломаной (рис. 4) нет целочисленных точек, а наша кривая при достаточно больших значениях n целиком лежит в этой области.

Рис. 4

Тогда пересечения кривой с биссектрисой первого квадрата имеет абсциссу Действительно при имеем Чтобы кривая целиком оказалась внутри указанной области достаточно потребовать, чтобы

или Таким образом если принять что то при кривая не проходит через целочисленные точки. Следовательно, для целочисленных значений число должен принимать значения или

Докажем следующее неравенство (1)

Проведем следующие преобразования:

Откуда получаем

3) Мы показали [3; 6], что если провести n-прямую, то она делит противоположную сторону в отношении (рис. 5).

Рис. 5

В остроугольном треугольнике высоте

соответствует степень Тогда При , прямая находится правее от высоты В ведем следующие обозначения: Как известно, что [3;6]

Тогда, учитывая вышесказанное, получаем:

(2)

или

Эти формулы можно также написать в виде:

(4)

(5).

С другой стороны,

(6).

Также после некоторых преобразований можно получить формулы:

(7)

4) А теперь получим некоторые формулы для и (рис. 5)

где

(8).

Можно показать, что при и если выполняется равенство то и являются целыми числами. Действительно так так числа попарно взаимно простые числа то двое из этих чисел нечетные одна из них четное число. А этом случае числа и

будут целыми. Таким образом (9).

Покажем, что (9), (10).

Действительно

.

С другой стороны учитывая что получаем или

Если в формуле (10) введем обозначения то получим уравнение прямой в виде

Рис. 6

Напишем последнее в виде уравнения в отрезках: Как видим, эта прямая имеет отрицательный угловой коэффициент и точки пересечения этой прямой с осями координат являются точки и Если учесть что

и то получаем

5) Так как для любого остроугольного треугольника со сторонами существует число для которого выполняется равенство то при умножении сторон треугольника на какое-то положительное число получаются подобные треугольники. Покажем, что получается если все стороны треугольника умножить на Мы из формул (2) и (3) получаем что при A из формул (7) получаем что только при

и

Также из рис. 7 видим, что (11).

То есть одновременно с равенством выполняется и равенство

Рис. 7

6) А теперь выясним если бы

и то какие элементы были бы целыми или рациональны.

Как видно из рис. 7 все числа должна были бы быть натуральными числами. Кроме того учитывая формулы (12),

можно утверждать, что были бы рациональными числами. Так как то можно утверждать, что могут быть как рациональными, так и иррациональными положительными числами (здесь

— острые углы). Однако — рациональные числа. На пример если стороны треугольника равны числам 13,14,15, то не только но и будут рациональными. Действительно если формулы

(13)

учесть в формулах (12), получим следующие формулы:

(14).

Как видно, если будут рациональными, нетрудно показать, что квадраты площадей, медиан, с медиан биссектрис, высот, длины всех n - прямых также рациональны. Кроме того, как видно из формулы Герона все выражения в скобках являются целыми числами [7]. Поэтому не только рациональное число, она также натуральное число.

Следует отметить, что из формулы, полученной нами,

можно утверждать, что эти логарифмы так же должны быть натуральными числами.

7) А теперь получим некоторые формулы, связанные с площадью АВС. Обозначим расстояния от точки пересечения прямых n до сторон a, b,c через x,y,z. Тогда [8] имеем: (15).

Проведем некоторые преобразования:

(16).

Так как точка пересечения прямых n находится на средней линии параллельно стороне c , то можно написать следующие формулы:

(17).

Рис. 8

А теперь используя формулы (15) и (17) можно написать следующие соотношения:

(18).

Подставляя (18) в (17), получаем:

(19)

или (20).

Подставляя значения (20) в (18), получаем:

(21).

(22).

(23).

С другой стороны, используя формулы (16), (17) получаем:

(24)

или (25).

Ниже без доказательства дадим некоторые формулы:

(26)

Если то можно написать следующие выражения:

(27).

(28).

Также напишем следующие формулы (рис. 9)

Рис.9

(29).

8) На рис. 11 из вершины с проведены 7 линии до пересечения основания АВ .

Как была отмечено, и являются отрезками длиной равной это высота. эта n — прямая равной и — эта симедиана и Как можно увидеть на рисунке 10, имеются три пары симметричных прямых относительно высоты СН .

Рис. 10

Напишем расстояния между этими семью точками. Некоторые расстояния мы уже находили. Без доказательства напишем все эти расстояния:

Пусть (30).

(31).

(32).

(33).

(34).

(35).

(36).

Отметим следующие отношения:

(37).

(38).

Следует отметить, что при получении некоторых формул также использовано полученное следующее новое свойство пропорции:

Если и то (39).

9) В связи громоздкостью покажем без выводов некоторые формулы, которые ранее не были опубликованы:

(40).

(41).

(42).

(43).

где (44).

(45).

(46).

(47).

(48).

(49).

(50).

(51).

(52).

(53).

(54).

(55).

(56).

(57).

(58).

(59).

(60).

(61).

(62).

(63).

(64).

(65).

(66).

(67).

Здесь n степень прямой CN (рис.9)

Рис. 11

10) А теперь покажем некоторые неравенства без доказательства при условии

(68).

при (69)

при

при (70).

(71).

(72).

(73).

(74).

при

и =1 (75).

(76).

(77).

(78).

(79).

(80).

(81).

(82).

(83).

(84).

Если то

(85).

Если то (86).

(87).

11). В АВС через точку пересечения n- прямых проведем прямые, параллельные к сторонам треугольника. Эти прямые называются параллелями.

Пусть точка К является точкой пересечения n- прямых. Проведем параллели Здесь DP средняя линия. Так как и

то четырехугольник DPMF параллелограмм.

Рис. 12

Для являющейся n — прямой можно написать следующие соотношения:

Так как то

Тогда (88).

Следовательно, как видно параллели пересекают стороны треугольника, так что отношение отрезков, расположенной на одной стороне треугольника, равно отношению n -х степеней соответствующих сторон треугольника [1,2]. Определим длины всех шесть отрезков на которые делят параллели стороны треугольника.

Из подобия треугольников можно написать следующие соотношения:

Из подобия треугольников получаем:

Учитывая полученные выражения, можно получить следующие отношения:

(89)

(90)

(91)

12) Пусть к является точкой пересечения n- прямых. Предположим эти прямые делят углы при вершине соответственно на углы и Как известно [8], (92). Если умножить соответствующие стороны равенств (92), то получим (93).

Рис. 13

Последнее является формулой Чевы для синусов.

13) Как известно [3], n прямые проведенные с вершин C треугольника соответственно при и т. д. будет выглядеть как на рис. 14. Длины линий и расстоянии также можно вычислить по формулам данным в [3].

Рис. 14

А теперь определим следующие отношения: Для этого используем теорему синусов. Так как то Тогда по теореме синусов получаем:

(94).

Так как искомые отношения равны то из (94) получаем:

(95)

Нетрудно показать, что последняя формула является формулой Молвейде. Действительно, Так как , то мы получаем формулу Молвейде: (96).

Таким образом для искомых отношений получаем:

(97).

Таким образом в данной статье получены интересные формулы, связанные с применением метода n- прямых. Эту работу можно рассматривать как продолжение работ [3; 6].

Литература:

1. Зетель С. И. Сборник статей по элементарной и началам высшей математики. Математическое просвещение, серия 1.1,1934, с. 5–8.
2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. Москва, 1962, с. 120–129.
3. Бегляров Э. Б., Гасанов И. Р. Применение метода n-прямых к решению задач. Молодой ученый #10 (509). Март 2024. с. 1–12.
4. Гасанов И. Р., Бегляров Э. Б. О некоторых формулах для выпуклых четырехугольников. Молодой ученый #10 (509). Март 2024. с. 13–17.
5. Elkhan Baylarov. Ilyas Hasanov. A Different Geometric Approch to the Proof of Fermat’s Last Theorem.
6. Бегляров Э. Б. Гасанов И. Р. К вопросу применения метода n-прямых. Молодой ученый #15 (514). Апрель 2024. с. 1–9.
7. Richard Kaufman. Limits on Legs of Pythagorean Triples and Fermat’s Last Theorem. The Collage Mathematics journal. 51:1, 2020, 53–56. Doi:10.1080/07468342, 2020/1674620.
8. Виктор Мешеряков. Электронные материалы. Прямые в треугольнике и Великая Теорема Ферма. https://youtu.be/hoMTCd8epMy, октябрь 2022.