Введение
Канал связи с белым Гауссовым шумом, является наиболее распространённой среди используемых моделей каналов связи. Это связано с тем, что в независимости от характера физической линии связи (витая пара, коаксиальный кабель, оптоволокно, радиоканал и т. д.) и степени ее защищенности от внешних помех, в ней все равно присутствует белый Гауссовый шум, что, в свою очередь, объясняется самой его природой, а именно тем, что он возникает в результате теплового движения электронов, которое присутствует в любой проводящей среде [1].
В данной статье рассматриваются существующие математические модели каналов связи с белым Гауссовым шумом, их преимущества, недостатки и ограничения. На основании проведенного анализа обосновывается необходимость разработки новой математической модели и формируется перечень требований, соответствие которым позволило бы выполнять качественно новые исследования. В заключение приводится разработка критериев оценки адекватности математической модели.
Анализ существующих математических моделей каналов связи с белым Гауссовым шумом
На сегодняшний день, фактически, наиболее распространена всего одна математическая модель для каналов связи с белым Гауссовым шумом, которая базируется на использовании точек сигнального пространства.
Её суть заключается в преобразовании исходного вектора данных, состоящего из символов исходного алфавита модулятора, в точки сигнального пространства согласно выбранному способу модуляции, наложении белого Гауссового шума на полученные значения и преобразовании зашумленных точек сигнального пространства в вектор выходных данных (символов исходного алфавита модулятора). На примере с многопозиционной цифровой фазовой манипуляцией это может быть выражено следующими аналитическими выражениями:
1) преобразование символа исходного алфавита модулятора в точку сигнального пространства: 
, где 
— мнимая единица, 
— размер алфавита модулятора, 
— символ алфавита модулятора в диапазоне 
, 
— точка сигнального пространства;
2) наложение белого Гауссового шума на точку сигнального пространства: 
, где 
— комплексное значение белого Гауссового шума, 
— зашумленная точка сигнального пространства;
3) преобразование зашумленной точки сигнального пространства в символ исходного алфавита: 
, где — мнимая единица, — размер алфавита модулятора, 
— зашумленная точка сигнального пространства, 
— оператор округления, а 
— оператор взятия по модулю.
Мы видим, что данная математическая модель действительно в полной мере описывает процесс передачи данных по каналам связи с белым Гауссовым шумом и при этом хорошо подходит для демонстративных целей (т. к. позволяет визуализировать переданные и принятые точки сигнального пространства). Однако, несмотря на доказанную адекватность самой модели, она целиком игнорирует процессы, происходящие в как в среде передачи, так и в передатчике и в приемнике, которые являются неотъемлемыми частями реальных каналов связи. С одной стороны, это приводит к малому количеству математических операций, требуемых для выполнения процесса моделирования (иными словами, программные реализации этой модели имеют высокую скорость работы), но с другой, сильно ограничивает область её применений.
Таким образом, данная математическая модель не позволяет моделировать и изучать процессы, происходящие в среде передачи данных, передатчике и приемнике, что, например, приводит к тому, что с её помощью невозможно проверить истинность утверждения, гласящего, что для многопозиционной когерентной цифровой частотной манипуляции в канале связи с белым Гауссовым шумом оптимальным с точки зрения помехоустойчивости разнесением по частоте является 
, где 
— символьная частота, на которой работает канал связи [2].
В качестве альтернативной математической модели можно было бы рассмотреть интуитивную векторную математическую модель канала связи с белым Гауссовым шумом (базирующуюся на представлении временных процессов в каналах связи в виде временных векторов — серий отсчетов с временными метками), однако не смотря на кажущуюся простоту этой математической модели, на сегодняшний день не существует ни единого её полноценного формального описания, а существующие реализации слишком частные и, как правило, применимы только для специфических типов каналов связи [3].
Разработка требований к математической модели каналов связи с белым Гауссовым шумом
В результате анализа существующих математических моделей каналов связи с белым Гауссовым шумом был сделан вывод о необходимости разработки новой математической модели, которая позволила бы изучать и моделировать не только процесс передачи данных в общем, но и физические процессы, происходящие внутри отдельных компонентов самого канала связи (передатчик, среда передачи, приемник).
Исходя из этого, можно сформулировать следующий набор требований, которым должна соответствовать разрабатываемая математическая модель:
1) математическая модель должна быть адекватной — исходное и очевидное требование, суть которого заключается в том, что математическая модель должна соответствовать действительности, а данные полученные с её помощью должны соответствовать теоретическим (при условии, что достоверно известно, что они верны) и эмпирическим данным, полученным с помощью иных математических моделей (при условии, что достоверно известно, что эти математические модели адекватны);
2) математическая модель должна быть реализуемой — ещё одно очевидное, однако не менее необходимое, требование, которое говорит о том, что математическая модель должна быть реализуемой с использованием современных технических средств (например, как компьютерная программа или модель в некой компьютерной среде моделирования) и должна давать результат, при условии адекватной реализации, за приемлемое количество времени (иными словами, длительность процесса моделирования с использованием современных технических средств не должна превышать срок, за который результаты моделирования могут потерять актуальность);
3) математическая модель должна позволять выполнять моделирование процесса передачи данных вцелом — несмотря на остальные ограничения и требования, которые могут налагаться на математическую модель для получения каких-либо специфических свойств, она должна быть применима для моделирования процесса передачи данных по каналу связи с белым Гауссовым шумом в целом (например, для изучения вероятностей битовых и/или символьных ошибок для различных способов модуляции данных в определенных диапазонах значений отношения сигнал-шум);
4) математическая модель должна позволять выполнять моделирование процессов происходящих в передатчике и, при необходимости, давать возможность влиять на них — качественно новое свойство математической модели (в сравнении с рассмотренной выше математической моделью), суть которого заключается в том, что математическая модель должна включать в себя передатчик, который отвечает за преобразование входных данных в сигналы, которые будут использованы для дальнейшей передачи данных на принимающую сторону, позволять наблюдать за процессами происходящими в нём и, при необходимости, давать возможность влиять на них для получения новых экспериментальных данных;
5) математическая модель должна позволять выполнять моделирование процессов происходящих непосредственно в среде передачи данных и, при необходимости, давать возможность влиять на них — качественно новое свойство математической модели (в сравнении с рассмотренной выше математической моделью), суть которого заключается во включении среды передачи данных непосредственно в математическую модель таким образом, чтобы имелась возможность наблюдать за процессами, происходящими в ней и, при необходимости, давать возможность влиять на них;
6) математическая модель должна позволять выполнять моделирование процессов происходящих в приемнике и, при необходимости, давать возможность влиять на них — качественно новое свойство модели (в сравнении с рассмотренной выше математической моделью), суть которого в том, что математическая модель должна включать в себя приемник, который отвечает за распознавание и декодирование зашумленных сигналов, полученных из линии связи, таким образом, чтобы имелась возможность наблюдать за процессами, происходящими в нём и, при необходимости, давать возможность влиять на них;
7) математическая модель должна быть расширяемой — свойство математической модели, которое гласит, что математическая модель не должна быть намертво ограничена какими-либо своими компонентами и должна иметь такой вид, что, при необходимости, могла бы быть расширена для применения в более широкой области.
Исходя из последнего из вышеперечисленных требований, разрабатываемая математическая модель должна быть применима в широком кругу задач. Однако, исходя из 4-го и 5-го пунктов вышеперечисленных требований очевидно, что математическая модель такого рода не может быть абсолютно универсальной. Другими словами, не существует такого аналитического выражения, которым могла бы быть описана желаемая математическая модель так, чтобы она была применима для любой задачи без каких-либо доработок и/или адаптаций.
В связи с этим, предполагаемые реализации могут быть ограничены определенными типами приемников и передатчиков, однако должны описывать возможности по расширению путем включений аналитических выражений для других приемников и передатчиков с согласованием размерностей и порядков величин.
Разработка критериев адекватности математической модели
В качестве необходимых и достаточных критериев, соответствие которым позволило бы принять положительное решение относительно вопроса адекватности математической модели канала связи с белым Гауссовым шумом, можно назвать следующие:
1) визуализация процессов, происходящих в передатчике, линии связи и приемнике должна соответствовать ожидаемой согласно теоретическому представлению об этих процессах;
2) зависимости вероятностей символьной ошибки построенные с помощью математической модели должны соответствовать ожидаемым теоретическим данным.
Выводы
В результате анализа существующих математических моделей каналов связи с белым Гауссовым шумом был сделан вывод о том, что данные математические модели имеют ряд ограничений, из-за которых они не применимы для изучения ряда процессов, происходящих в каналах связи.
Учитывая результаты проведенного анализа был сформирован и обоснован перечень требований к желаемой математической модели.
В заключение был разработан набор критериев для оценки адекватности потенциальной математической модели, которая могла бы соответствовать описанным требованиям.
Литература:
1. Thermal Agitation of Electricity in Conductors. J. B. Johnson. 1928.
2. Digitl Communication. J. G. Proakis. Masoud Salehi. 2007
3. Bit Error Rate (BER) for frequency shift keying with coherent demodulation: http://www.dsplog.com/2007/08/30/bit-error-rate-for-frequency-shift-keying-with-coherent-demodulation/
