Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z1 = 6) через спинку ярма

В пакете учебных программ при моделировании асинхронного двигателя с помощью магнитных схем замещения представляет определенный интерес к способу намотки статорной обмотки через спинку ярма. В этом случае расширяется возможность управления напряжением в проводниках каждого паза. Такой тип уклдаки обмотки приводит к существенному изменению конфигурации заполнения элементов матриц и, следовательно, к увеличению вариантов при программировании в Matlab, что немаловажно в учебном процессе. Данную работу полезно сопоставить с работой [4], в которой рассматривался двигатель с таким же числом пазов на статоре, но с классическим типом обмотки.

На рис.1,а показана линейная развертка кругового асинхронного двигателя с одной парой полюсов (2р = 2, Z₁ = 6) с укладкой обмотки через спинку ярма статора. На рис. 1,б дана его магнитная схема замещения, где токи и потоки на входе двигателя являются соответствующими токами и потоками на его выходе.

Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.

Баланс магнитных напряжений магнитной цепи

 — контурные магнитные потоки;

 — магнитные сопротивления воздушных участков;

 — магнитодвижущая сила, созданная статорным током , протекающим по всем проводникам паза ();

 — М. Д. С. тока ротора в стержне ().

Баланс М. Д. С. для «n»-го участка имеет следующий вид:

.

Отсюда ток в стержне ротора определится по следующему выражению:

                      .                          (1)

Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора

                                                              (2)

Выразим производные во времени через конечные разности:

,

где n — номер зубцового деления;

k — номер шага разбиения по времени.

В формуле (2) скорость подвижного элемента принимаем равным  и в пределах «k» интервала считается постоянным.

Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:

.

С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:

      (3)

Исключим из уравнения (3) токи в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:

(4)

Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец X, состоящей из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует первые шесть элементов матрицы-столбца свободных членовS в (k-1) момент времени. Остальные шесть будут сформированы из баланса напряжений статорной обмотки. Матрица-столбец Х сформирована из первых шести элементов, которые соответствуют потокам, а с 7 по 12 — токам i₁, …, i₆. Общий вид матриц при числе полюсов 2р = 2 и общем числе пазов статора Z₁ = 6 примет следующий вид:

Так как в асинхронном двигателе сопротивления на всех зубцовых делениях одинаковы R_n = R_б, то уравнение (4) примет следующий вид:

(5)

Введем следующие обозначения:

-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:

-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на токи i₁, …, i₆ матрицы Х:

-                   Элементы матрицы-столбца свободных членов S:

С учетом обозначений уравнение (5) примет следующий вид:

    (6)

Уравнение (6) позволит определить для первых шести строк элементы матрицы А и с первый по шестой элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:

n = 1.

Запишем элементы матрицы А:

a_1,1=B; a_1,2=C; a_1,3=D; a_1,5=-D; a_1,6=E; a_1,7=Y; a_1,8=T; a_1,12=-T.

В правой части сформирован элемент s₁ матрицы-столбца S:

.

n = 2.

Отсюда элементы матрицы А:

a_2,1=E; a_2,2=B; a_2,3=C; a_2,4=D; a_2,12=-D; a_2,7=-T; a_2,8=Y; a_2,9=T.

Второй элемент s₂ матрицы-столбца S:

.

n = 3.

Отсюда элементы матрицы А:

a_3,1=-D; a_3,2= E; a_3,3= B; a_3,4=C; a_3,12= D; a_3,8=-T; a_3,9=Y; a_3,10=T.

Третий элемент s₃ матрицы-столбца S:

.

n = 4.

Отсюда элементы матрицы А:

a_4,2=-D; a_4,3= E; a_4,4= B; a_4,5=C; a_4,6= D; a_4,9=-T; a_4,10=Y; a_4,11=T.

Четвертый элемент s₄ матрицы-столбца S:

.

n = 5.

Отсюда элементы матрицы А:

a_5,1= D; a_5,3=-D; a_5,4=E; a_5,5= B; a_5,6= C; a_5,10=-T; a_5,11=Y; a_5,12=T.

Пятый элемент s₅ матрицы-столбца S:

.

n = 6.

Отсюда элементы матрицы А:

a_6,1= C; a_6,2= D; a_6,4=-D; a_6,5= E; a_6,6= B; a_6,7= T; a_6,11=-T; a_6,12= Y.

Шестой элемент s₆ матрицы-столбца S:

.

Остальные элементы матрицы А (n = 7, …, 12) и соответствующие элементы матрицы-столбца S определяются из баланса электрических напряжений обмоток статора [2].

В данной работе принято отдельное управление напряжением каждого паза (Z₁ = 6), следовательно, необходимо задать шесть напряжений. В качестве одного из вариантов примем синусоидальные напряжения со сдвигом на π/3:

Рассмотрим баланс напряжений для первой обмотки.

где  — число витков паза (обмотки);

– сопротивление обмотки, проходящей через спинку ярма;

– индуктивность обмотки первого паза.

Выразим производные через конечные разности:

Тогда после подстановки получим:

Преобразуем выражение к виду:

Обозначим:

 

Тогда для элементов седьмой строки матрицы А и седьмого элемента матрицы-столбца S (n = 7):

Отсюда элементы матрицы А:a_7,1= UA; a_7,7=KS.

Седьмой элемент s₇ матрицы-столбца S:

Аналогично для n = 8, …,12 запишем:

n = 8.

n = 9.

n = 10.

n = 11.

n = 12.

Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MatLab:

Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-ый момент времени определяется в результате следующей операции с матрицами:

X=A^-1•S,

Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1… 12, определяем токи в роторе:

Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:

           

          

Суммарное усилие:

Скорость в k-ый момент времени:

Произведем построение математической модели асинхронного двигателя методом Гаусса-Жордана с использованием языка программирования MatLab. Ниже приведен пример кода:

function ADq1spin

% Исходные данные асинхронного двигателя

Rb=0.1003*10^7;

rs=9.5;

Ls=0.037;

rr=4.6345*10^-5;

Lr=0.0372*10^-5;

dt=0.001;

tz=9.769*10^-3;

m=0.95;

v0=0;

wn=200;

f=50;

w=2*pi*f;

UA=wn/dt;

Um=310/(2*1.73);

X=zeros(12,1);

F=0;

K=input('длительность цикла k=');

for k=1:(K+1)

    v(1,k)=v0;                  % создание вектор-строки для графика скорости

    f(1,k)=sum(F);              % создание вектор-строки для графика усилия

    U(1)=Um*cos(w*(k-1)*dt);

    U(2)=Um*cos(w*(k-1)*dt-2*pi/6);

    U(3)=Um*cos(w*(k-1)*dt-2*pi*2/6);

    U(4)=Um*cos(w*(k-1)*dt-2*pi*3/6);

    U(5)=Um*cos(w*(k-1)*dt-2*pi*4/6);

    U(6)=Um*cos(w*(k-1)*dt-2*pi*5/6);

% создание матрицы А

A=zeros(12);

B=2*Rb*(rr+Lr/dt)+1/dt;

C=-Rb*(rr+Lr/dt)+(2*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

D=-Rb*Lr*v0/(2*tz);

E=-Rb*(rr+Lr/dt)-(2*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

T=-wn*Lr*v0/(2*tz);

Y=-wn*(rr+Lr/dt);

W1=-wn*Lr/dt;

P=-Rb*Lr/dt;

Q=(2*Rb*Lr+1)/dt;

KS=rs+Ls/dt;

% Матрица А

for n=1:6

    A(n,n)=B;

    A(n,n+6)=Y;

    A(n+6,n)=UA;

    A(n+6,n+6)=KS;

end;

for n=1:5

    A(n+1,n)=E;

    A(n,n+1)=C;

    A(n+1,n+6)=-T;

    A(n,n+7)=T;

end;

for n=1:4

    A(n+2,n)=-D;

    A(n,n+2)=D;

end;

for n=1:2

    A(n+4,n)=D;

    A(n,n+4)=-D;

end;

A(1,6)=E;

A(6,1)=C;

A(1,12)=-T;

A(6,7)=T;

% Матрица свободных членов

S=[W1*X(7)+Q*X(1)+P*(X(6)+X(2));

   W1*X(8)+Q*X(2)+P*(X(1)+X(3));

   W1*X(9)+Q*X(3)+P*(X(2)+X(4));

   W1*X(10)+Q*X(4)+P*(X(3)+X(5));

   W1*X(11)+Q*X(5)+P*(X(4)+X(6));

   W1*X(12)+Q*X(6)+P*(X(5)+X(1));

   UA*X(1)+(Ls/dt)*X(7)+U(1);

   UA*X(2)+(Ls/dt)*X(8)+U(2);

   UA*X(3)+(Ls/dt)*X(9)+U(3);

   UA*X(4)+(Ls/dt)*X(10)+U(4);

   UA*X(5)+(Ls/dt)*X(11)+U(5);

   UA*X(6)+(Ls/dt)*X(12)+U(6)];

% Решение методом Гаусса-Жордана

Z=rref([A S]);     % Приведение расширенной матрицы к треугольному виду

X=Z(1:12,13:13);   % Выделение последнего столбца из матрицы

% Ток ротора

Ir(1)=-wn*X(7)+Rb*(-X(6)+2*X(1)-X(2));

Ir(2)=-wn*X(8)+Rb*(-X(1)+2*X(2)-X(3));

Ir(3)=-wn*X(9)+Rb*(-X(2)+2*X(3)-X(4));

Ir(4)=-wn*X(10)+Rb*(-X(3)+2*X(4)-X(5));

Ir(5)=-wn*X(11)+Rb*(-X(4)+2*X(5)-X(6));

Ir(6)=-wn*X(12)+Rb*(-X(5)+2*X(6)-X(1));

% Электромагнитное усилие

F(1)=(X(2)-X(6))*Ir(1)/(2*tz);

F(2)=(X(3)-X(1))*Ir(2)/(2*tz);

F(3)=(X(4)-X(2))*Ir(3)/(2*tz);

F(4)=(X(5)-X(3))*Ir(4)/(2*tz);

F(5)=(X(6)-X(4))*Ir(5)/(2*tz);

F(6)=(X(1)-X(5))*Ir(6)/(2*tz);

% Скорость

v0=v0+(sum(F)/m)*dt;

end;

% Построение графиков     

k=0:K;

   subplot(2,1,1);

   plot(k*dt,v);

   title('Скорость');

   xlabel('t, с');

   ylabel('v, м/с');

   grid on

   subplot(2,1,2);

   plot(k*dt,f);

   title('Электромагнитное усилие');

   xlabel('t, с');

   ylabel('F, Н');

   grid on

end

Результаты моделирования представлены на рис.3.

Рис. 3. Результат моделирования асинхронного двигателя в режиме прямого пуска

Литература:

1.         Сарапулов Ф. Н., Емельянов А. А., Иваницкий С. В., Резин М. Г. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя // Электричество. — 1982. — № 10. — С. 54–57.

2.         Емельянов А. А., Богатов Е. А., Клишин А. В., Медведев А. В., Симонович В. Г. Математическая модель линейного асинхронного двигателя на основе магнитных схем замещения // Молодой ученый. — 2010. — № 5. — С.14–22.

3.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Богатов Е. А., Кобзев А. В., Бочкарев Ю. П. Программирование линейного асинхронного двигателя в MATLAB // Молодой ученый. — 2013. — № 3. — С. 129–143.

4.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А. В., Бочкарев Ю. П., Евдокимов О. В. Моделирование асинхронного двигателя с помощью магнитных и электрических схем замещения // Молодой ученый. — 2013. — № 4. — С. 1–10.

5.         Ануфриев И. Е. и др. MATLAB 7 / Ануфриев И. Е., Смирнов А. Б., Смирнова Е. Н.. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 1104 с.