Задачи, в основе которых лежат реальные жизненные ситуации, лучше других способны в процессе своего решения направлять учебную деятельность учащихся на изучении математической теории, на формирование у них прочных навыков самостоятельной деятельности, связанных, в частности, с выполнением тождественных преобразований, вычислений, измерений, графических работ, использованием справочной литературы, на воспитание устойчивого интереса к предмету, привитие навыков планирования и рационализации своей деятельности. Современные подходы к обучению математике предполагают планомерную подготовку учащихся к применению знаний и умений по предмету, к решению практических задач, возникающих в различных областях человеческой деятельности. Использование задач жизненно-практического характера способствует такой подготовке.
В. А. Далингер, отмечая учебную роль прикладных задач, говорит о необходимости «связывать математические понятия с их житейскими прототипами, приобретёнными учащимися вне целенаправленного обучения» [1, С. 23]. Л. Ю. Березина и И. А. Лурье, отмечая воспитательную роль прикладных задач, указывают: «Широко распространена такая форма, как использование при составлении задач различных фактических данных из производственной деятельности, которой учащиеся занимаются; это будет способствовать развитию интереса к производительному труду. Кроме того, целесообразно использовать фабулу задач для ознакомления учащихся с профессиями» [2, С. 43]. Поэтому важно включить в учебники математики для учащихся лицеев и колледжей стохастические задачи. Как отмечает В. Д. Селютин, «возможности стохастики здесь весьма широки. Сама теория вероятностей возникла в процессе изучения действительности, поэтому она дает инструменты описания и исследования объектов реального мира. Источником большинства школьных стохастических задач должны стать внематематические ситуации. Конкретные объекты вначале могут выступать в качестве «сырья» для построения статистико-вероятностных моделей, которые затем, в свою очередь, должны использоваться для исследования фрагментов действительности, содержащих подобное сырье» [3, С. 22]. Таким образом, можно определить нижеследующие требования, которым должно удовлетворять понятие «стохастическая задача».
1) Понятие «стохастическая задача» должно логично включаться в единую концепцию школьного математического образования и знакомить учащихся как с общей методологией математики, так и с особым характером стохастических исследований.
2) Понятие «стохастическая задача» должно качественно повышать мотивацию овладения математическими знаниями вообще и навыками анализа случайных событий в частности.
3) Понятие «стохастическая задача» должно отражать прикладную направленность обучения, то есть содержать в своей основе обращение к реальной действительности.
4) Понятие «стохастическая задача» должно направлять познавательную деятельность учащихся на описание реальных ситуаций на математическом языке и способствовать осознанному выбору адекватного математического аппарата для решения поставленных задач.
С учётом данных требований, следует понимать под «стохастической задачей» особого вида задачу с жизненно-практическим содержанием, представляющую собой математически сформулированную модель проблемной стохастической ситуации, для разрешения которой недостаточно простого воспроизведения одного какого-либо результата (определения, теоремы) из пройденного ранее курса. Стохастическая проблемная ситуация — это реальная жизненная ситуация, связанная с анализом явлений, происходящих под воздействием случайностей.
Среди стохастических задач особое место принадлежит когерентно-стохастическим задачам. Эти задачи способны успешно интегрироваться в структуру традиционного курса математики и эффективно решить проблему укрепления внутрипредметных взаимосвязей различных его тем и разделов в полном соответствии с требованиями когерентно-интегративного подхода.
Кроме тех требований, которые предъявляются к понятию «стохастическая задача», новое понятие «когерентно-стохастическая задача» по мнению Л. А. Тереховой [4, с.93], должно удовлетворять целому ряду дополнительных требований:
1) Когерентно-стохастические задачи должны быть сформулированы таким образом, чтобы могли быть включены в классическую схему урока математики (а также внеклассных мероприятий) без ущерба для школьного стандарта.
2) Когерентно-стохастические задачи должны способствовать пропедевтике новых понятий и повторению ранее изученных традиционных тем.
3) Когерентно-стохастические задачи должны служить действенным средством укрепления внутрипредметных связей школьной математики.
На основании анализа данных требований можно определить понятие «когерентно-стохастическая задача» следующим образом. Когерентно-стохастическая задача — это особого вида задача, укрепляющая внутри- предметную взаимосвязь различных разделов математики, раскрывающая вероятностно-статистическую природу явлений окружающей действительности, и допускающая возможность математической формулировки моделей проблемной стохастической ситуации, для решения которой требуется комплексное применение математических понятий и представлений (определений, теорем и т. п.), изучаемых в колледже или лицее. Стохастическая проблемная ситуация понимается как реальная жизненная ситуация, связанная с анализом явлений, происходящих под воздействием случайностей.
Когерентно- стохастические задачи способствуют не только успешному усвоению знаний о случайных событиях и явлениях окружающего мира, но и обогащают методику изучения традиционных тем курса математики за счёт усиления их внутренней взаимосвязи и жизненно-практического содержания. При этом самым очевидным свидетельством целостности и системности полученных знаний (т. е. критерием оценки эффективности) будет служить умение учащихся использовать традиционную математику, к анализу стохастических ситуаций, то есть их готовность привлекать к анализу реальных жизненных процессов весь комплекс математических представлений во взаимодействии с элементами комбинаторики, статистики и теории вероятностей.
Данный критерий эффективности отражает, прежде всего, общее направление на когерентность (согласование) стохастики и традиционной математики, укрепляющую впутрипредметные связи курса. Именно способность учащихся находить взаимосвязь между реальностью и её математической моделью, между теорией и практикой является главным показателем эффективности когерентно-интегративного подхода.
К примеру, в теме «Положительные и отрицательные числа» вводится такое стохастическое понятие, как средне линейное отклонение. С его помощью можно составить когерентно-стохастические задачи, эффективно укрепляющие внутрипредметные связи за счет выполнения таких операций, как действия с рациональными числами, нахождение модуля числа, вычисление среднего арифметического, округление десятичных дробей. Примером может служить следующая задача.
Пример 1. Дневная норма выработки одного работника некоторого предприятия составляет 10 единиц продукции. Сравниваются сведения о количестве изготовленной продукции за 11 рабочих дней:
1-й работник: 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 16; 18.
2-й работник: 4; 8; 8; 8; 8; 9; 11; 11; 13; 13; 17.
Выполняет ли норму каждый из них? Какой из них работал более стабильно?
При вычислении средних характеристик выясняется, что они попарно одинаковы. В частности, значения средних арифметических одинаковы и равны 10. Это означает, что каждый работник в среднем выполняет норму. Судя по размаху (18–8 = 10и 17–4 = 13), первый работал более стабильно. Но этот вывод пс подтверждается сравнением столбчатых диаграмм, иллюстрирующих количество изготовленной продукции первым и вторым работником за 11 рабочих дней. Диаграмма показателей второго работника более симметрична относительно значения 10, это говорит о том, что примерно половину времени он перевыполнял норму, а половину — не выполнял норму.
Найдем разности между самими значениями (количеством произведенной продукции за один день) и средним арифметическим:
1-й работник: 8–10; 8–10; 8–10; 8–10; 8–10; 9–10; 9–10; 9–10; 9–10; 16–10; 18–10;
2-й работник: 4–10; 8–10; 8–10; 8–10; 8–10; 9–10; 11–10; 11–10; 13–10; 13–10; 17–10.
Каждую разность назовем отклонением соответствующего значения от среднего. Выясним, как в среднем отклоняются значения числа изделий, изготовленных первым работником:
Такое же среднее арифметическое отклонений получаем для результатов работы второго работника: оно равно нулю. Оказывается, нуль в таких случаях получается всегда. Таково свойство среднего арифметического: оно уравновешивает недостающие значения с превышающими его значениями. Очевидно, нуль не получится, если отклонения рассматривать по абсолютной величине (модулю):
Преподаватель сообщает учащимся, что среднее арифметическое модулей отклонений называется средним линейным отклонением.
Сравнивая средние линейные отклонения для результатов первого (
2,5) и второго (2,7) работников, учащиеся делают вывод, что первый работал стабильнее, чем второй.
Таким образом, применение когерентно-стохастических задач позволяет значительно облегчить процесс знакомства учащихся с основными понятиями стохастической содержательно-методической линии курса математики. Эти понятия изучаются учащимися не во время формального объяснения нового материала, а па этапе поиска решения практической задачи. Поэтому они осознаются ими прежде всего как необходимое средство для изучения окружающего мира, что имеет положительное значение не только для формирования у них целостной математической картины, но и для развития их мировоззрения и мотивации к обучению. В результате, применение когерентно-стохастических задач при традиционной схеме построения урока является более эффективным, чем классические, широко распространенные методы изучения стохастических понятий. Приведённые примеры показывают, что использование стохастики непосредственно в структуре традиционной математики весьма эффективно и полезно для всей системы математического образования. Рассмотренные стохастические понятия не загромождают курс математики, а напротив, упорядочивают его, делают изучение основных тем и разделов более системным и интересным для учащихся.
Литература:
1. Далингер В. А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике.Книга для учителя. — М.:Просвещение, 1991.
2. Березина, Л. Ю. Лурье, H. A. О реализации политехнической и профори- ентационной направленности обучения математике. // Проблемы совершенствования преподавания математики в средней школе: Сб. науч. тр. М.: изд. АПН СССР, 1986.
3. Селютин В. Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике. — Орел: ОГУ, 2002.
4. Терехова Л. А. Элементы стохастики как средство укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики. — Орёл, 2008. С.130–156.
