В пакете учебных программ при моделировании асинхронного двигателя с помощью магнитных схем замещения представляет определенный интерес к способу намотки статорной обмотки через спинку ярма. В этом случае расширяется возможность управления напряжением в проводниках каждого паза. Такой тип укладки обмотки приводит к существенному изменению конфигурации заполнения элементов матриц и, следовательно, к увеличению вариантов при программировании в Matlab, что немаловажно в учебном процессе. Данную работу полезно сопоставить с работой [4], в которой рассматривался двигатель с таким же числом пазов на статоре, но с классическим типом обмотки.
На рис.1,а показана линейная развертка кругового асинхронного двигателя с одной парой полюсов (2р = 2, Z1 = 12) с укладкой обмотки через спинку ярма статора. На рис. 1,б дана его магнитная схема замещения, где токи и потоки на входе двигателя являются соответствующими токами и потоками на его выходе.
Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.
Баланс магнитных напряжений магнитной цепи
– контурные магнитные потоки;
– магнитные сопротивления воздушных участков;
– магнитодвижущая сила, созданная статорным током 
, протекающим по всем проводникам паза (
);
– М.Д.С. тока ротора в стержне (
).
Баланс М.Д.С. для «n»-го участка имеет следующий вид:
.
Отсюда ток в стержне ротора определится по следующему выражению:
|
|
(1) |
.
Рис. 1. а) Асинхронный двигатель (2р = 2, Z1 = 12); б) Магнитная схема замещения
Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора
|
|
(2) |
Выразим производные во времени через конечные разности:
,
где n – номер зубцового деления;
k – номер шага разбиения по времени.
В формуле (2) скорость подвижного элемента принимаем равным 
и в пределах «k» интервала считается постоянным.
Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:
.
С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:
|
|
(3) |
Исключим из уравнения (3) токи в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:
|
|
(4) |
Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец X, состоящей из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует первые двенадцать элементов матрицы-столбца свободных членовS в (k-1) момент времени. Остальные двенадцать будут сформированы из баланса напряжений статорной обмотки. Матрица-столбец Х сформирована из первых двенадцати элементов, которые соответствуют потокам, а с 13 по 24 – токам i1, … , i12. Общий вид матриц при числе полюсов 2р = 2 и общем числе пазов статора Z1 = 12 примет следующий вид:
|
Матрица А |
Х |
S |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
a1,1 |
a1,2 |
a1,3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a1,11 |
a1,12 |
a1,13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a1,24 |
× |
|
= |
s1 |
||||
|
a2,1 |
a2,2 |
a2,3 |
a2,4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a2,12 |
0 |
a2,14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s2 |
||||||
|
a3,1 |
a3,2 |
a3,3 |
a3,4 |
a3,5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a3,15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s3 |
||||||
|
0 |
a4,2 |
a4,3 |
a4,4 |
a4,5 |
a4,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a4,16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s4 |
||||||
|
0 |
0 |
a5,3 |
a5,4 |
a5,5 |
a5,6 |
a5,7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a5,17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s5 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
a6,4 |
a6,5 |
a6,6 |
a6,7 |
a6,8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a6,18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s6 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
a7,5 |
a7,6 |
a7,7 |
a7,8 |
a7,9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a7,19 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s7 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a8,6 |
a8,7 |
a8,8 |
a8,9 |
a8,10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a8,20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s8 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a9,7 |
a9,8 |
a9,9 |
a9,10 |
a9,11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a9,21 |
0 |
0 |
0 |
|
s9 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a10,8 |
a10,9 |
a10,10 |
a10,11 |
a10,12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a10,22 |
0 |
0 |
|
s10 |
||||||
|
a11,1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a11,9 |
a11,10 |
a11,11 |
a11,12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a11,23 |
0 |
|
s11 |
||||||
|
a12,1 |
a12,2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a12,10 |
a12,11 |
a12,12 |
a12,13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a12,24 |
|
s12 |
||||||
|
a13,1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a13,13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s13 |
||||||
|
0 |
a14,2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a14,14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s14 |
||||||
|
0 |
0 |
a15,3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a15,15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s15 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
a16,4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a16,16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s16 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
a17,5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a17,17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s17 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a18,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a18,18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s18 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a19,7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a19,19 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s19 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a20,8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a20,20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
s20 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a21,9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a21,21 |
0 |
0 |
0 |
|
s21 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a22,10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a22,22 |
0 |
0 |
|
s22 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a23,11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a23,23 |
0 |
|
s23 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a24,12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a24,24 |
|
s24 |
||||||
Рис. 3. Общий вид матриц A, X и S.
Так как в асинхронном двигателе сопротивления на всех зубцовых делениях одинаковы Rn = Rδ, то уравнение (4) примет следующий вид:
|
|
(5) |
Введем следующие обозначения:
- Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:
- Элементы матрицы А, перемножаемые на токи i1, … , i12 матрицы Х:
- Элементы матрицы-столбца свободных членов S:
С учетом обозначений уравнение (5) примет следующий вид:
|
|
(6) |
.Уравнение (6) позволит определить для первых двенадцати строк элементы матрицы А и с первый по двенадцатый элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:
n = 1.
.
Запишем элементы матрицы А:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
В правой части сформирован элемент 
матрицы-столбца S:
.
Примечание: Вначале матрица А предстанет «пустой» и после каждой операции n = … определятся постепенно элементы для каждой строки и только в конце всех операций матрица А предстанет перед читателем в том виде как она дана на рис. 3. Но эта «пустая» матрица А уже должна быть подготовлена. Эта «пустая» форма направляет, выступает «организующим началом» по поиску элементов в каждой строке.
В нашем случае при n = 1 определились элементы первой строки. Найденные коэффициенты вписываем в матрицу А. В дальнейшем становится понятным алгоритм заполнения матрицы.
n = 2.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
n = 3.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
n = 4.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
n = 5.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
n = 6.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
n = 7.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
n = 8.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
n = 9.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
n = 10.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
n = 11.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
n = 12.
.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
.
Остальные элементы матрицы А (n = 13, …, 24) и соответствующие элементы матрицы-столбца S определяются из баланса электрических напряжений обмоток статора [2].
В данной работе принято отдельное управление напряжением каждого паза (Z1 = 12), следовательно, необходимо задать двенадцать напряжений. В качестве одного из вариантов примем синусоидальные напряжения со сдвигом на π/6:
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
Рассмотрим баланс напряжений для первой обмотки.
,
где 
– число витков паза (обмотки);
– сопротивление обмотки, проходящей через спинку ярма;
– индуктивность обмотки первого паза.
Выразим производные через конечные разности:
; 
.
Тогда после подстановки получим:
.
Преобразуем выражение к виду:
.
Обозначим:
; 
.
Тогда для элементов тринадцатой строки матрицы А и тринадцатого элемента матрицы-столбца S (n = 13):
.
Отсюда элементы матрицы А: 
; 
.
Тринадцатый элемент 
матрицы-столбца S:
.
Аналогично для n = 14, … , 24 запишем:
n = 14. 
.
; 
.
.
n = 15. 
.
; 
.
.
n = 16. 
.
; 
.
.
n = 17. 
.
; 
.
.
n = 18. 
.
; 
.
.
n = 19. 
.
; 
.
.
n = 20. 
.
; 
.
.
n = 21. 
.
; 
.
.
n = 22. 
.
; 
.
.
n = 23. 
.
Отсюда элементы матрицы А: 
; 
.
Двадцать третий элемент 
матрицы-столбца S:
.
n = 24. 
.
; 
.
.
Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MatLab:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
1 |
B |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-D |
E |
Y |
T |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
|
2 |
E |
B |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-D |
-T |
Y |
T |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
-D |
E |
B |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
Y |
T |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
-D |
E |
B |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
Y |
T |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
-D |
E |
B |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
Y |
T |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
0 |
0 |
0 |
-D |
E |
B |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
Y |
T |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-D |
E |
B |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
Y |
T |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-D |
E |
B |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
Y |
T |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-D |
E |
B |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
Y |
T |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-D |
E |
B |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
Y |
T |
0 |
|
11 |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-D |
E |
B |
C |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
Y |
T |
|
12 |
C |
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-D |
E |
B |
T |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-T |
Y |
|
13 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
14 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
15 |
0 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
16 |
0 |
0 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
19 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
21 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
0 |
0 |
|
22 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
0 |
|
23 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
0 |
|
24 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
UA |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
KS |
Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-й момент времени определяются в результате следующей операции с матрицами:
X=A-1·S,
Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1…12, определяем токи в роторе:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
Суммарное усилие: 
.
Скорость в k-й момент времени: 
.
Произведем построение математической модели асинхронного двигателя методом Гаусса-Жордана с использованием языка программирования MatLab. Ниже приведен пример кода:
Результаты моделирования представлены на рис.4.
Рис.4. Результат моделирования асинхронного двигателя в режиме прямого пуска
Литература:
1. Сарапулов Ф.Н., Емельянов А.А., Иваницкий С.В., Резин М.Г. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя // Электричество. – 1982. – №10. – С. 54–57.
2. Емельянов А.А., Богатов Е.А., Клишин А.В., Медведев А.В., Симонович В.Г. Математическая модель линейного асинхронного двигателя на основе магнитных схем замещения // Молодой ученый. – 2010. – №5. – С.14–22.
3. Емельянов А.А., Медведев А.В., Богатов Е.А., Кобзев А.В., Бочкарев Ю.П. Программирование линейного асинхронного двигателя в MATLAB // Молодой ученый. – 2013. – №3. – С. 129-143.
4. Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Евдокимов О.В., Бочкарев Ю.П., Евдокимов О. В. Моделирование асинхронного двигателя с помощью магнитных и электрических схем замещения с двумя пазами на полюс и фазу // Молодой ученый. – 2013. – №5. – С. 4-16.
5. Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Евдокимов О.В., Габзалилов Э.Ф., Авдеев А.С. Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z1 = 6) через спинку ярма // Молодой ученый. – 2013. – №6. – С. 1-11.
6. Ануфриев И.Е. и др. MATLAB 7 / Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н.. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.
