В статье автор пытается рассмотреть вопрос по решению задач, чтобы обучение доставляло учащимся удовольствие, способствовало их активности и самостоятельности.
Ключевые слова: задача, конструкция, исследование, квадратный корень, смешанное число.
В настоящее время трудно переоценить важность решения задач как одного из основных видов учебной деятельности по математике, который не только способствует усвоению учебного материала, но и играет ключевую роль в развитии умений и навыков, необходимых для успешного обучения. Решение задач позволяет школьникам применять теоретические знания на практике, что значительно углубляет их понимание предмета. Эффективность учебной работы в значительной степени зависит от того, какие задачи предлагаются учащимся, в какой последовательности они вводятся и какими методами решаются. Например, важно учитывать уровень сложности задач: начинать с простых, постепенно переходя к более сложным, чтобы не вызвать у детей чувство неуверенности. Это позволяет создать прочный фундамент знаний, на котором можно строить дальнейшее обучение. Кроме того, активное участие учеников в процессе решения задач является критически важным. Когда учащиеся самостоятельно ищут решения, обсуждают их с одноклассниками и учителем, они не только развивают критическое мышление, но и учатся работать в команде. Такие навыки будут полезны не только в учебе, но и в будущей профессиональной деятельности. Важно также отметить, что решение задач способствует формированию у школьников исследовательского подхода. Они учатся не просто находить правильные ответы, но и задавать вопросы, анализировать условия задачи и рассматривать различные способы её решения. Это развивает у них креативность и способность находить нестандартные решения, что является важным качеством в современном мире.
Как сделать так, чтобы решение задач приносило ученикам радость и удовольствие, чтобы класс превращался в творческую студию, где из изучаемого материала на глазах у всех появляются математические абстракции? Как выдвигаемые предположения могли бы будоражить детское любопытство, а смелость озвучиваемых гипотез восхищала? Как добиться того, чтобы доказательства воспринимались как естественное стремление к поиску истин? Создание атмосферы, в которой ученики будут чувствовать себя вовлеченными и заинтересованными, является ключевым моментом. Необходимо, чтобы каждый новый шаг в решении задач не вызывал у детей страх, а наоборот, становился возможностью проявить творчество и интуицию.
Организация и координация работы класса по решению задач представляет собой большое мастерство. Это требует сочетания глубоких знаний математики с эффективными методическими подходами, а также устойчивых педагогических принципов и обширного коммуникативного опыта. В этом контексте могут быть особенно полезны идеи, оставшиеся актуальными с учений французского педагога-математика начала прошлого века Лэзана, который подчеркивал важность «сохранять видимость игры, уважать свободу ребенка, поддерживая иллюзию его собственного открытия истины» [2].
В настоящее время играют большую роль рекомендации знаменитого американского педагога-математика Д. Пойа, который подчеркивал, что учащийся «должен приобрести как можно больше опыта самостоятельной работы. Но если он оставлен наедине с задачей без всякой помощи или если эта помощь недостаточна, — это может не принести ему никакой пользы. …Поэтому помощь учителя должна быть осторожной и неназойливой» [3]. Полезными могут быть также советы многих выдающихся российских математиков и педагогов, включая новаторов и рядовых школьных учителей математики, которые на каждом занятии обеспечивают решение задач на различных этапах усвоения материала.
Однако самым важным являются сами задачи, точнее их конструкции (системы, циклы, блоки, цепочки, серии и т. д.), разработанные педагогом или методистом для урока. Они способны по-настоящему увлечь учеников решением и вести их по ступеням познания к открытию математических истин, а порой и к созданию небольших теорий. Эти задачи должны формировать атмосферу активной исследовательской деятельности, а роль учителя заключается в том, чтобы поддерживать высокий уровень энтузиазма, вдохновлять процесс познания, наполнять его человеческими ценностями, направлять идеи и устремления детей в правильное русло, а также следить за корректностью их высказываний и математических записей.
В образовательном процессе крайне важно формировать у детей индуктивный подход к поисковой деятельности, демонстрируя естественный процесс «создания» математических знаний. Это подход больше соответствует познавательным возможностям учеников начальной, средней и старшей школы. Он предоставляет возможность экспериментировать с математическими материалами, обращать внимание на числовые и геометрические характеристики, выявлять закономерности и совершать небольшие «открытия».
Рассмотрим пример одной подобной учебной конструкции — последовательности взаимосвязанных заданий, которую мы применяем в процессе обучения восьмиклассников, предоставив при этом необходимые методические разъяснения.
Задание 1. Верно ли, что $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}\ }$ (1)
Данная задача по своей сути вводит в заблуждение. Она побуждает многих учеников дать неправильный ответ, так как создает иллюзию, будто тройка может быть извлечена из-под знака корня, хотя это недопустимо. При внесении множителя под знак квадратного корня, этот множитель возводится в квадрат, а при извлечении квадратного корня из результата его выносят. Это и есть основное правило
Тем не менее, равенство (1) действительно является истинным, и убедиться в этом совсем не сложно. Давайте преобразуем его левую сторону:
$\sqrt{3\frac{3}{8}}$ = $\sqrt{\frac{3 \bullet 8 + 3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$ .
Теперь преобразуем его правую часть: $3\sqrt{\frac{3}{8}\ }$ = $\sqrt{3^{2} \bullet \frac{3}{8}}$ = $\sqrt{\frac{27}{8}}$ .
Левая и правая части оказались истинными, таким образом, утверждение является истинным.
Провокационность первого задания моментально уходит, если обратить внимание на то, что тройка, выносимая из-под знака корня, является не множителем, а целой частью смешанного числа $3\frac{3}{8}$ . Если же представить его в виде суммы целой и дробной частей, то иллюзия о возможности вынесения множителя из-под квадратного корня совершенно исчезает. На самом деле, альтернативное выражение той же задачи. — «Докажите, что $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$ » исключает из его структуры любую провокационность, убирает основания для неуверенности и смятения, немедленно направляет на осуществление нужных преобразований.
Задание 2. Приведите примеры равенств, аналогичных равенству (1).
Нахождение соответствующих примеров может осуществляться различными способами. В большинстве случаев первоначально применяется метод случайного выбора, то есть выполняют несколько попыток «наобум»: $\sqrt{2\frac{5}{7}} = 2\sqrt{\frac{5}{7}}$ — неверно, $\sqrt{4\frac{5}{6}} = 4\sqrt{\frac{5}{6}} - неверно$ и т. д.
Существует возможность использовать метод исчерпывающего поиска всех возможных вариантов.
$\sqrt{2\frac{1}{5}}\ \neq 2\sqrt{\frac{1}{5}}$ , $\sqrt{3\frac{2}{5}} \neq 3\sqrt{\frac{2}{5}}$ , $\sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}};$
$\sqrt{2\frac{1}{7}} \neq 2\sqrt{\frac{1}{7}},\ \sqrt{3\frac{4}{7}} \neq 3\sqrt{\frac{4}{7}},\ \sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}\ }$ и т. д.
Хотя данная стратегия вызывает некоторый интерес, она вскоре становится однообразной и недейственной.
Уменьшить количество анализируемых альтернатив можно, принимая во внимание характер первоначального равенства, что у $3\frac{3}{8}$ целая часть и числитель дробной части одинаковы. А это означает, что проверять нужно дроби вида: $2\frac{2}{3},\ 3\frac{3}{8},\ 4\frac{4}{\ 15}$ и т. д.
В ходе осуществления определенной стратегии возникает набор искомых равенств: $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}},\ \sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}},\ \sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}\ и\ т.\ д.$ (2)
Легко увидеть, что в полученных равенствах целая часть смешанного числа составляет, соответственно, 2, 4, 5 и так далее, что позволяет заключить, что примеров можно привести бесчисленное количество.
В таких ситуациях возникает естественная необходимость обнаружения математической формулы, которая описывает все равенства данного типа. Наиболее простой и увлекательный способ осуществить этот поиск — воспользоваться индуктивным обобщением.
Задание 3. Составьте математическое соотношение, задающее все равенства, аналогичные равенству (1).
Следует отметить, что знаменатель k каждой из дробей, расположенных под корнем, оказывается равным квадрату числителя n за вычетом единицы: 3 = 2 2– 1, 8 = 3 2– 1, 15 = 4 2– 1 и т. д.
В общем виде получаем: k = n 2– 1, тогда смешанное число, которое находится под корнем, следует представлять в следующем формате $n\frac{n}{n^{2} - 1}$ , а искомое равенство запишется так: $\sqrt{n\frac{n}{n^{2} - 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^{2} - 1}.}$ (3)
Общее соотношение также можно сформировать, опираясь на следующую характеристику чисел, которые входят в коренные выражения в равенствах (2). В этом случае знаменатель каждой дроби представляет собой произведение двух множителей, где один множитель меньше числителя на единицу, а другой, соответственно, больше числителя на единицу:
3 = 3∙1, 8 = 2 ∙ 4, 15 = 3 ∙ 5 и т. д.
Таким образом, искомое равенство примет следующую форму
$$\sqrt{n\frac{n}{(n - 1)(n + 1)}} = n\sqrt{\frac{n}{(n - 1)(n + 1)}.}$$
Оно легко преобразуется к виду (3).
Теперь можно с уверенностью сказать, что обнаружены все равенства, подобные равенству (1).
Литература:
Брунер Дж., Ольвер Р., Гринфильд П. Исследование развития познавательной деятельности. — М.: Педагогика, 1971.
Лэзан. Развитие математической инициативы. — М.: Директ-Медиа, 2014.
Пойа Д. Как решить задачу. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1961.
