Приводятся регулярные алгоритмы устойчивого оценивания состояния динамических систем на основе методов теории некорректно поставленных задач.
Ключевые слова:динамическая система, состояние, адаптация, регуляризация, параметр регуляризация.
Развитие сложных систем обработки информации и управления, в частности, систем управления технологическими объектами, стимулируется постоянным повышением требований к характеристикам точности. Эта задача особенно сложна в реальных условиях априорной неопределенности и непредвиденной изменчивости характеристик моделей, в наиболее общем случае включающих собственные динамические свойства объекта, характеристики исполнительных органов, параметры внешних возмущений, законы или режимы функционирования измерительных средств, и параметры помех при измерениях [1–4]. В этих условиях введение адаптации и контроля функционирования системы целесообразно по отношению к существенным модельным нарушениям, которые не могут рассматриваться как простые мешающие факторы и идентификация которых позволит значительно улучшить качество функционирования системы в целом. При этом эффективные решения достигаются с применением аппарата и методов теории фильтрации Калмана [2,4,5]. Таким образом, развитие и разработка эффективных средств и методов адаптации стохастической системы в условиях априорной неопределенности, а также контроля ее выходных данных, является актуальной и важной научно-технической задачей.
Рассмотрим систему, описываемую уравнениями
, (1)
, (2)
где 
— вектор состояния системы размерности n; 
— вектор управления размерности l; 
— вектор наблюдения размерности m; 
и 
— векторы шума объекта и помехи наблюдения размерности p и q соответственно, являющиеся последовательностью вида гауссовского белого шума с характеристиками
,
,
,
,
;
и 
— матрицы соответствующих размерностей, 
— символ Кронекера.
Будем использовать квадратический критерий качества
, (3)
где весовые матрицы 
положительны и полуопределены. В предположении о существовании закона управления весовые матрицы управления 
принимаются положительно определенными.Основной причиной, обусловливающей широкое применение квадратического критерия качества, является его удобство для аналитических исследований.
Так как система (1) линейна, а начальное состояние, шумы и помехи — гауссовские, ее состояние в любой момент времени тоже является гауссовским. Кроме того, если учесть гауссовский характер шумов и помех, и предположить линейность уравнения (2), то можно сделать предположение, что измерения тоже будут гауссовскими для всех i [2,5]. Можно показать [2], что плотности 
и 
являются также гауссовскими для всех i. Апостериорная плотность может быть выражена через среднее 
и ковариационную матрицу 
ошибки оценивания. Эти статистики определяются уравнениями фильтра Калмана:
, (4)
, (5)
где
, (6)
, (7)
, (8)
а начальными условиями являются
,
.
Уравнения (4)-(8) описывают среднее, ковариацию и, следовательно, функцию гауссовской апостериорной плотности для системы, соответствующей уравнениям (1)-(2). Тогда стратегия управления, минимизирующая критерий качества (3) при ограничениях вида (1) и (2), формируется на основе уравнения [1,2]:
,
где
,
,
,
.
Данная стратегия позволяет синтезировать системы управления на основе принципа разделения. В соответствии с этим принципом процедура оценивания параметров или переменных состояния выполняется раздельно с вычислением параметров устройства управления. В связи с вышеотмеченным в теории и практике построения систем управления динамическими объектами различного функционального назначения вопросам оценивания вектора состояния управляемых объектов в условиях наличия шумов объекта и помех измерений придается весьма важное значение. В реальных условиях функционирования управляемых объектов внешние помехо-сигнальные условия могут изменяться в широких пределах. Это обстоятельство обусловливает необходимость либо оценки неизвестных статистических характеристик шумов объекта и помех измерений и использованием полученных оценок для изменения параметров фильтров, либо использования фильтров без прямой оценки указанных характеристик, в которых адаптация осуществляется непосредственной подстройкой параметров фильтров [2,4,5]. Однако при практическом использовании указанных подходов возникают трудности вычислительного характера, связанные с плохой обусловленностью и неустойчивостью решаемых задач. Отмеченные обстоятельства указывают на необходимость создания регулярных алгоритмов устойчивого оценивания состояния динамических систем при параметрической априорной неопределенности и синтеза вычислительных схем их практической реализации.
Важное свойство оптимального фильтра заключается в том, что остаточные члены, определяемые как
,
являются последовательностью вида белого шума. При этом ковариация остаточного члена равна
,
а автоковариационная матрица процесса 
равна
, (9)
при где K — произвольный коэффициент усиления.
В условиях, когда ковариационные матрицы шумов 
и 
неизвестны, матрица коэффициента усиления 
в фильтре Калмана не может быть определена. Если, однако коэффициент усиления может быть выбран таким, что
, (10)
коэффициент усиления оказывается оптимальным [2]. И обратно, если коэффициент усиления оптимальный, то уравнение (10) справедливо.
Для определения элементов матрицы усиления уравнение (10) запишем в виде
. (11)
На практике исходные данные 
в уравнении (11) известны обычно лишь приближенно. Поэтому вместо точного уравнения (11) рассмотрим уравнение с приближенными исходными данными
, (12)
где 
— линейный матричный оператор размерности 
из некоторого семейства аппроксимирующих операторов; 
— j-ый столбец матрицы 
; 
— j-ый столбец матрицы 
, 
. Условия аппроксимации примем в виде 
.
Система уравнений (12) может быть плохо обусловленной, т. е. малым изменениям исходных данных могут отвечать большие изменения решения. Отмеченное обстоятельство при решении данного уравнения приводит к необходимости применения методов регуляризации [6,7]. Для регуляризации решения уравнения (12) будем использовать метод регуляризации Тихонова
, 
— параметр регуляризации;
и 
— минимизации [8]
при условии 
,
где 
— точность аппроксимации.
С целью повышения устойчивости и точности различных методов и, в частности, — минимизации, в последнее время используется подход [9,10], направленный на корректировку свойств оператора 
путем его умножения на матрицу-проектор. При этом в качестве матрицы проектора часто используют матрицу, столбцы которых сформированы случайными величинами с нормальным законом распределения. Умножая слева обе части исходного уравнения 
на матрицу 
, будем иметь:
,
, 
,
, 
,
или для искомого решения:
,
.
Тогда выражения для искомого решения на основе методов регуляризации Тихонова и -минимизации можно записать в виде:
,
при условии 
.
Рассматривалась зависимость относительной ошибки восстановления решения 
(
) от числа строк 
в матрице при различных уровнях аддитивного шума в сигнале 
.
Точность восстановления решения методом регуляризации Тихонова зависит от правильности подбора параметра регуляризации. Для подбора параметра регуляризации использовались метод регуляризации Тихонова с параметром регуляризации, полученным по способу перекрестной значимости; с параметром регуляризации, полученным по способу квазиоптимальности; с параметром регуляризации, полученным по методу L-кривой [10,11].
Модельные примеры показывают, что все методы регулярного оценивания без умножения на матрицу G дают примерно одинаковые результаты (0.71<d<0.93) с незначительным преимуществом метода регуляризации с выбором параметра регуляризации на основе L-кривой. Методы регуляризации решения рассматриваемой некорректной задачи, связанные с умножением на матрицу G, приводят к более лучшим результатам (0.34<d<0.62). Здесь лучшее качество обеспечивают методы, использующие выбор параметра регуляризации на основе способов перекрестной значимости и L-кривой.
Таким образом, приведенные алгоритмы позволяют регуляризовать рассматриваемую задачу адаптивной подстройки и реализовать устойчивое оценивание элементов оптимального коэффициента усиления фильтра Калмана.
Литература:
1. Справочник по теории автоматического управления // Под ред. А. А. Красовского. — М.: Наука, 1987. — 712 с.
2. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах // Под ред. К. Т. Леондеса Пер. с англ., — М.: Мир, 1980. — 407 с.
3. Игамбердиев Х. З., Юсупбеков А. Н., Зарипов О. О. Регулярные методы оценивания и управления динамическими объектами в условиях неопределенности. — Т.: ТашГТУ, 2012. — 320 с.
4. Первачев С. В., Перов А. И. Адаптивная фильтрация сообщений. — М.: Радио и связь, 1991.-160с.
5. Синицын И. Н. Фильтры Калмана и Пугачева. Изд-во: Логос, 2006. –640с.
6. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. — 285 с.
7. Воскобойников Ю. Е. Устойчивые методы и алгоритмы параметрической идентификации. — Новосибирск: НГАСУ, 2006. –180с.
8. E.Cand`es, J.Romberg, and T.Tao. Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements. Comm. Pure Appl. Math., 59(8):1207–1223, 2006.
9. Elad M. Optimized Projections for Compressed-Sensing. IEEE Trans. on Signal Processing, Vol. 55, No. 12, p. 5695–5702, 2007.
10. Забулонов Ю. Л., Коростиль Ю. М., Ревунова Е. Г. Оптимизация решения обратной задачи по восстановлению функции плотности распределения поверхностных загрязнений // Сборник научных трудов ИПМЭ НАН Украины «Моделирование и информационные технологии». — 2006. — C. 77–83.
11. Hansen P. C. Rank-deficient and discrete ill-posed problems. Numerical Aspects of Linear Inversion, SIAM, Philadelphia, 1998.
