Теоретическое исследование зависимости радиуса массивного гравитационного тела от времени при падении на него однородного потока частиц

Ключевые слова: массивное тело, гравитационное взаимодействие, поток частиц, траектория, космическая пыль.

В современной литературе по физике была решена задача о падении однородного потока частиц на массивное гравитационное тело, в рамках которой можно определить увеличение массы тела, но только для потока определенной длины за достаточно небольшое время [5]. Данная задача встречается при попытках описать рост массы различных планет при падении на них космической пыли.

В рамках данной научной работы рассматривается данная задача с более полными условиями, при решении которой будет продемонстрирован вывод аналитической зависимости радиуса гравитационного тела от времени при падении на него непрерывного потока частиц, который может длиться сколь угодно долго.

Учтем дополнительно как упрощающий фактор условие отсутствия взаимодействия частиц друг с другом при их движении.

И последнее, что необходимо учесть — это симметричный рост гравитационного тела во всех направлениях. Это условие, как предполагается, является достаточно грубым, но в тоже самое время может быть реализуемым при вращении тела с определенной круговой частотой.

Поток частиц изображенный на рис. 1, по условию нашей задачи, движется с определенной скоростью в направлении к телу. Масса отдельной частицы m, масса планеты M. Рассмотрим частицу, находящуюся на максимальном отдалении от оси потока, направленного к центру параллельно к направлению движения, при котором бы она могла в теории попасть на планету, касаясь её на расстоянии, равном радиусу тела. Если бы гравитационное взаимодействие отсутствовало, то частица бы не попала на тело, и не участвовала бы в росте массы тела. Все остальные частицы, выходящие из указанного в начале расстояния до оси, исказили бы свою траекторию, но не смогли бы никак соприкоснуться с телом и соответственно участвовать в росте массы. Поэтому мы их не учитываем.

Рис. 1

Где m — масса частиц, M — масса планеты, G — универсальная гравитационная постоянная, R — радиус массивного тела, r — радиус цилиндра, v — скорость частиц в момент касания тела.

Мы учитываем в данной записи закона сохранения энергии очень малую гравитационную энергию в момент начала искривления траектории, что позволяет её пренебречь.

Также, учитывая тот факт, что силы гравитационного взаимодействия являются центральными, запишем закон сохранения импульса для частиц относительно оси, проходящей через центр тела:

Выразим скорость частицы в момент касания тела:

Где — плотность тела

Упростим закон сохранения энергии и подставим массу тела:

Прирост массы массивного тела за бесконечно малое время можно определить, как массу цилиндра радиуса r, который соответственно коснется или прямо упадет на тела за данное время. Её мы выразим через плотность потока:

Проинтегрировав данное выражение, получим следующую формулу:

Выразив квадрат радиуса r из закона сохранения энергии, получим:

Подставив его в формулу для массы тела, имеем следующее выражение:

После перестановки членов, получим:

Взяв интегралы от обеих частей данного выражения по соответствующим переменным, имеем данное выражение:

После простого интегрирования с помощью табличных интегралов, получим:

После нескольких простых действий и взятия тангенса от обеих сторон выражения, имеем в итоговой форме:

Данная формула представляет из себя теоретическую зависимость радиуса массивного гравитационного тела от времени.

Данная формула соответствует интуитивным представлениям о том, каким именно образом должен изменяться радиус тела со временем. В начале рост массы и соответственно радиуса массивного тела будет очень медленным достаточно долгое время за счет сильного различия в плотностях потока частиц и самого тела. Но в дальнейшем с постепенным набором массы и увеличением радиуса тело будет поглощать всё больше и больше частиц за одно и то же время, так как увеличивается сам радиус воображаемого цилиндра, в котором находятся частицы, способные попасть на планету. Соответственно сам радиус тела будет расти всё быстрее и быстрее.

Стоит уточнить, что данная формула имеет определенную неточность для больших времен, так как со временем частицы начнут взаимодействовать друг с другом, сбивая друг друга с траектории, тем самым изменяя темп роста массы тела. Во-вторых, не учитывался факт возможного изменения скорости частиц при касании планеты, который тоже должен иметь место со временем.

Интересно, указать, что из полученной формулы следует, что в случае непрерывного бесконечного потока масса гравитационного тела будет асимптотически стремиться к бесконечности, причем значение времени для такого случая определяется из равенства тангенса .

Теоретически оценённое значение для некоторых планет в случае попадания на них подобным образом космической пыли дает значение для времени около: , что намного превышает возраст жизни вселенной.

В рамках данной работы был исследован процесс нарастания массы гравитационного тела при падении на него потока однородных частиц. Была получена в аналитической форме формула зависимости радиуса планеты от времени. Полученный результат может в дальнейшем применяться для решения более сложных и полных моделей с учетом дополнительных факторов, или использоваться в эвристических целях при обучении студентов в высших учебных заведениях.

Литература:

1. Курс общей физики. Т. 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. Савельев И. В.

2. Курс теоретической физики. Т. 1. Теория электромагнитного поля. Теория относительности. Статистическая физика. Электромагнитные процессы в веществе. Левич В. Г.

3. Курс теоретической физики. Т. 2. Квантовая механика. Квантовая статистика и физическая кинетика. Левич В. Г.

4. Методы решения задач в общем курсе физики. Корявов В. П.