Программирование линейного асинхронного двигателя с числом пазов в индукторе равном шесть

В данной работе объектом рассмотрения является линейный асинхронный двигатель с числом пазов индуктора равным шести (Z₁ = 6), математическая модель которого реализована в MATLAB [5].

На рис. 1,а приведен линейный асинхронный двигатель с одной парой полюсов (2р = 2) и с одним числом на полюс и фазу (q = 1). На рис. 1,б дана его магнитная схема замещения. Расчетная модель представляет собой совокупность развернутых схем замещения магнитной и электрических цепей с частично постоянной аппроксимацией параметров в пределах зубцового деления, которое принимается за основу при разбиении магнитной цепи на участке [1].

При рассмотрении линейного асинхронного двигателя приняты следующие основные допущения:

-          магнитная проницаемость стальных участков магнитопроводов индуктора и подвижной части (зубцов, ярма) принимается равной бесконечности (µ = ∞). В магнитной схеме замещения (рис. 2) учитывается только магнитные сопротивления воздушных участков в зоне индуктора и в шунтирующих зонах;

-          в шунтирующих зонах как под сбегающим, так и набегающим краем индуктора (статора) учитывается по четыре зубцовых деления подвижного элемента (ротора).

Представление линейного асинхронного двигателя в виде магнитных схем замещения приводит к необходимости работать с матрицами, что представляет большую ценность для подготовки студентов младших курсов к исследовательской работе. Данная работа адресована студентам, поэтому из методических целей представлена без сокращений.

Рис. 1. а) Линейный асинхронный двигатель (2р = 2, Z₁ = 6); б) Магнитная схема замещения

Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.

Баланс магнитных напряжений магнитной цепи

 – контурные магнитные потоки;

 – магнитные сопротивления воздушных участков;

 – магнитодвижущая сила, созданная статорным током , протекающим по всем проводникам паза ();

 – М.Д.С. тока ротора в стержне ();

– в шунтирующих зонах.

Баланс М.Д.С. для «n»-го участка имеет следующий вид:

.

Отсюда ток в стержне ротора определится по следующему выражению:

.

(1)

Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора

(2)

Выразим производные во времени через конечные разности:

,

где      n – номер зубцового деления;

k – номер шага разбиения по времени.

В формуле (2) скорость подвижного элемента принимаем равным  и в пределах «k» интервала считается постоянным.

Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:

.

С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:

(3)

Исключим из уравнения (3) токи в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:

(4)

Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец X, состоящей из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует первые четырнадцать элементов матрицы-столбца свободных членовS в (k-1) момент времени. Элементы 15 и 16 строк матрицы А и соответствующие элементы s₁₅ и s₁₆ будут сформированы из баланса напряжений статорной обмотки.

Наконец, последние элементы матриц А и S определятся из баланса токов в трехфазной обмотке соединенной в звезду без нулевого провода. Матрица-столбец Х сформирована из первых четырнадцати элементов, соответствующих потокам Ф₁, … , Ф₁₄, а остальные – токам статорной обмотки i_А^s, i_С^s и i_В^s.

Общий вид матриц при числе полюсов 2р = 2 и общем числе пазов индуктора (статора) Z₁ = 6 приведен на рис.3.

Введем следующие обозначения:

-          Магнитные сопротивления в шунтирующих зонах:

R₁ = R₂ = R₁₄ = R₁₅ = 500∙R_δ;

R₃ = R₁₃ = 50∙R_δ;

R₄ = R₁₂ = 5∙R_δ.

-          Магнитные сопротивления в индукторной зоне:

R₅ = R₆ = … = R₁₁ = R_δ.

-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:

Матрица А

Х

S

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

a1,1

a1,2

a1,3

×

x1 = Ф1

=

s1

2

a2,1

a2,2

a2,3

a2,4

x2 = Ф2

s2

3

a3,1

a3,2

a3,3

a3,4

a3,5

x3 = Ф3

s3

4

a4,2

a4,3

a4,4

a4,5

a4,6

a4,15

x4 = Ф4

s4

5

a5,3

a5,4

a5,5

a5,6

a5,7

a5,15

a5,16

x5 = Ф5

s5

6

a6,4

a6,5

a6,6

a6,7

a6,8

a6,15

a6,16

a6,17

x6 = Ф6

s6

7

a7,5

a7,6

a7,7

a7,8

a7,9

a7,15

a7,16

a7,17

x7 = Ф7

s7

8

a8,6

a8,7

a8,8

a8,9

a8,10

a8,15

a8,16

a8,17

x8 = Ф8

s8

9

a9,7

a9,8

a9,9

a9,10

a9,11

a9,15

a9,16

a9,17

x9 = Ф9

s9

10

a10,8

a10,9

a10,10

a10,11

a10,12

a10,16

a10,17

x10 = Ф10

s10

11

a11,9

a11,10

a11,11

a11,12

a11,13

a11,17

x11 = Ф11

s11

12

a12,10

a12,11

a12,12

a12,13

a12,14

x12 = Ф12

s12

13

a13,11

a13,12

a13,13

a13,14

x13 = Ф13

s13

14

a14,12

a14,13

a14,14

x14 = Ф14

s14

15

a15,5

a15,7

a15,8

a15,10

a15,15

a15,17

x15 = iАS

s15

16

a16,6

a16,7

a16,9

a16,10

a16,16

a16,17

x16 = iСS

s16

17

a17,15

a17,16

a17,17

x17 = iВS

s17

Рис. 3. Общий вид матриц A, X и S.

  

-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на токи i₁, … , i₆ матрицы Х:

-                   Элементы матрицы-столбца свободных членов S:

Уравнение (4) позволит определить для первых четырнадцати строк элементы матрицы А и с первый по четырнадцатый элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:

n = 1.

Запишем элементы матрицы А:

; ; .

В правой части сформирован элемент  матрицы-столбца S:

Примечание: вначале матрица А предстанет «пустой» и после каждой операции n = … определятся постепенно элементы для каждой строки и только в конце всех операций матрица А предстанет перед читателем в том виде как она дана на рис. 3. Но эта «пустая» матрица А уже должна быть подготовлена. Эта «пустая» форма направляет, выступает «организующим началом» по поиску элементов в каждой строке.

При n = 1, как было показано выше, определились элементы первой строки. Найденные коэффициенты вписываем в матрицу А. В дальнейшем становится понятным алгоритм заполнения матрицы.

n = 2.

; ; ; .

n = 3.

; ; ; ;

n = 4.

; ; ; ; ;

.

Примечание: при подстановке в уравнение (4) n = 5, мы увидим в соответствии с рис. 1, что войдет ток i_С^S с отрицательным знаком, в то же время в матрице-столбце Хнет знака «–» , поэтому его необходимо учесть в соответствующем элементе матрицы А.

Аналогично для других фаз, в концах обмоток x, y, z условно принимаем знак «–» и этот знак вводим в соответствующие элементы матрицы А.

n = 5.

; ; ; ; ; ;

n = 6.

; ; ; ; ; ;

;

n = 7.

; ; ; ; ; ;

;

n = 8.

; ; ; ; ; ;

;

n = 9.

; ; ; ; ; ;

;

n = 10.

; ; ; ; ; ; .

n = 11.

; ; ; ; ; .

n = 12.

; ; ; ; .

n = 13.

; ; ; .

n = 14.

; ;

Элементы строк 15 и 16 матрицы А и соответствующие элементы матрицы-столбца S определяются из баланса электрических напряжений обмоток статора [2].

(5)

где     

С учетом шага по времени ∆t в k-ый момент времени:

Уравнения (5) при выражении производных по времени через конечные разности примут следующий вид:

n = 15.

n = 16.

Наконец, сумма токов определяет элементы семнадцатой строки матрицы А и элемент s₁₇ матрицы-столбца S.

Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MATLAB:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

B4

C5

D2

2

E4

B5

C6

D1

3

-D3

E5

B6

C7

D

4

-D2

E6

B7

C

D

T

5

-D1

E7

B

C

D

Y

-T

6

-D

E

B

C

D

-T

-Y

T

7

-D

E

B

C

D

-T

T

Y

8

-D

E

B

C

D

-Y

T

-T

9

-D

E

B

C

D

T

Y

-T

10

-D

E

B

C1

D1

-T

-Y

11

-D

E

B1

C2

D2

T

12

-D

E1

B2

C3

D3

13

-D1

E2

B3

C4

14

-D2

E3

B4

15

U

-U

-U

U

KS

-KS

16

U

U

-U

-U

-KS

KS

17

1

1

1

Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-й момент времени определяются в результате следующей операции с матрицами:

X=A^-1·S,

Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1…14, определяем токи в роторе:

Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:

                                   

                             

                       

      

Суммарное усилие: .

Скорость в k-й момент времени:

Математическая модель линейного асинхронного двигателя реализована в программном пакете MATLAB методом Гаусса-Жордана. Ниже приведен пример расчета.

 

   

  

 

Временные зависимости скорости и электромагнитного усилия линейного асинхронного двигателя в режиме прямого пуска, полученные на математической модели, представлены на рис.4.

Рис.4. Результат моделирования линейного асинхронного двигателя

в режиме прямого пуска

Литература:

1.         Сарапулов Ф.Н., Емельянов А.А., Иваницкий С.В., Резин М.Г. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя // Электричество. – 1982. – №10. – С. 54–57.

2.         Емельянов А.А., Богатов Е.А., Клишин А.В., Медведев А.В., Симонович В.Г. Математическая модель линейного асинхронного двигателя на основе магнитных схем замещения // Молодой ученый. – 2010. – №5. – С.14–22.

3.         Емельянов А.А., Медведев А.В., Богатов Е.А., Кобзев А.В., Бочкарев Ю.П. Программирование линейного асинхронного двигателя в MATLAB // Молодой ученый. – 2013. – №3. – С. 129-143.

4.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Евдокимов О.В., Габзалилов Э.Ф., Авдеев А.С. Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z₁ = 6) через спинку ярма // Молодой ученый. – 2013. – №6. – С. 1-11.

5.         Ануфриев И.Е. и др. MATLAB 7 / Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н.. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.