Как известно, что некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств обобщенной модели Фридрихса [1,2]. Поэтому изучение дискретного спектра обобщенной модели Фридрихса играет важную роль в современной математической физике.
В настоящей работы рассматривается (ограниченный и самосопряженный) обобщенный модель Фридрихса 
с возмущением ранга не более чем 4. Отметим, что оператор ассоциирован с системой не более чем двух квантовых частиц на 
-мерной решетке. Найден явный вид существенного и дискретного спектра оператора .
Пусть 
- -мерный тор, т. е. куб 
— с соответствующим отождествлением противоположных граней, 
— одномерное комплексное пространство, а 
— гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .
Обозначим через 
прямую сумму пространств
и 
, т. е. 
. Пространство 
и 
называется нолчастичном и одночастичном подпространством фоковского пространства 
над , соответственно.
Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве как 
блочно операторная матрица
,
где операторы 
определяются по правилам
(1).
Здесь 
- фиксированное вещественное число, 
и 
— вещественно-непрерывные функции на , а 
сопряженный оператор к 
.
Легко можно проверить, что при этих предположениях оператор ограничен и самосопряжён в гильбертовом пространстве . Надо отметить, что всякий линейный ограниченный оператор в всегда записывается как блочно операторная матрица.
Оператор называется оператором уничтожения, а оператор называется оператором рождения [4].
Обозначим через 
и 
соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Пусть оператор 
действует в как
,
где 
.
Оператор возмущения 
оператора является самосопряженным оператором ранга не более чем 4. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [3] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что 
, где числа 
и 
определяются следующим образом:
.
Из последних фактов следует, что
. (1)
Определим регулярную в 
функции
.
Следующая теорема устанавливает связь между собственными значениями оператора и нулями функции 
.
Теорема 1. Для дискретного спектра оператора имеет место равенство
.
Доказательство. Чтобы доказать теоремы достаточно показать, что оператор имеет собственное значение 
тогда и только тогда, когда 
.
Действительно. Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть 
— соответствующая собственная вектор-функция. Тогда 
и 
удовлетворяют следующую систему уравнений
;
. (2)
В силу равенства (1) для любых и 
имеет место соотношение 
. Из второго уравнения системы (2) для имеем
, (3)
где
. (4)
Подставляя выражение (3) для в первое уравнение системы (2) и равенству (4) получим, что система уравнений (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда система уравнений
;
;
;
имеет ненулевое решение, т. е. когда . Теорема 1 доказана.
Согласно теореме 1 функция обладает характеристическим свойством определителя Фредгольма. По этой причине мы назовём её определителем Фредгольма, ассоциированный с оператором .
Рассмотрим некоторые частные случаи:
I. Из теоремы 1 видно, что если функции удовлетворяет условие
(5)
при всех , то дискретный спектр оператора совпадает с объединением дискретных спектров операторов
,
где
,
т. е.
.
Из определения операторов 
видно, что они имеют более простую структуру чем , причем операторы 
имеют по одному простых собственных значений, лежащих левее , а оператор 
имеет две простых собственных значений, один из них лежать левее , а второе правее .
Положим
.
Отметим, что если мера Лебега множества 
равно нулю при всех 
, 
, то выполняется условие (5).
II. Если 
, то обозначая
,
имеем, что 
(т. е. число 
является бесконечнократным собственным значением оператора ) и
.
Видно, что в этом случае 
является полином четвертого порядка, и следовательно, оно имеет не более чем четыре (с учетом кратности) вещественных нулей отлично от 
. По теореме 1 это означает, что оператор имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений, лежащих вне существенного спектра.
Литература:
1. Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Труды Математического Института АН СССР, 1964, Т. 73, С. 292–313.
2. Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа // Теоретическая и математическая физика, 1979, Т. 2, № 2, С. 230–243.
3. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики // Т. 4, Анализ операторов, М.: Мир, 1982.
4. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.
