Работа посвящена распространению результатов исследований сильных средних отклонений операторов Фурье на случай, когда в качестве агрегатов приближения выступают операторы Валле Пуссена.
1. В теории рядов Фурье хорошо известно, что почти всюду на
выполняется соотношение
где
— частные суммы Фурье функции
,
при
.
Харди и Литтлвуд поставили вопрос: будет ли выполняться более общее соотношение
(1)
Если соотношение (1) выполнено, то говорят, что ряд Фурье функции является сильно суммируемым с показателем
.
Исследованию сформулированого вопроса для сумм и операторов Фурье на классах -интегралов периодических функций и классах
-производных локально интегрируемых функций были посвящены работы [1, 2].
Мы обобщим эти исследования на случай классов -интегралов локально интегрируемых функций когда аппаратом аппроксимации выступают операторы Валле Пуссена.
Сначала приведем определение классов Степанца (см. [3]).
Обозначим через множество непрерывных при
функций
, которые удовлетворяют условия: 1)
возрастает на
2)
выпукла вниз на
и
3) производная
имеет ограниченную вариацию на
Подмножество функций
для которых
обозначают
Множество функций
которые удовлетворяют лишь условию 2) обозначают
Для пары определим функцию
где
и
— четное и нечетное продолжения функций
соответственно.
Пусть — множество функций
которые определены на действительной оси и имеют конечную норму
,
Тогда через
будем обозначать подмножество непрерывных функций
которые для всех
можно представить в виде следующего равенства:
(2)
где , интеграл понимаем как границу по симметричным расширяющимся промежуткам,
, т. е.,
,
(3)
Если ,
, то преобразование
суммируемо на действительной оси (см., например, [4]).
Следуя А. И. Степанцу [5], функцию в изображении (2) называют
производной функции
и обозначают
.
Для приближения функций из классов будем использовать операторы Валле Пуссена
(4)
где , а
преобразование вида (3) функции
в которой
(5)
Такие операторы рассматривались А. И. Степанцом в работах [3, 4, 6], где показано, что при определенных условиях принадлежат к множеству
целых функций экспоненциального типа
, а в периодическом случае, при натуральных
и
операторы
совпадают с суммами Валле Пуссена.
Далее, следуя [4], из множества выделим подмножества
и
. Каждой функции
сопоставим пару функций
и
Тогда:
где
— некоторые постоянные, которые, возможно, зависят от функции
.
Аппроксимативные свойства операторов Валле Пуссена в нашей работе характеризуются функционалами
в которых — некоторая неотрицательная непрерывная при всех
функция.
Положим: ;
;
и
.
В принятых обозначениях имеют место утверждения.
Теорема 1.Пусть ,
и такие,что найдутся константы
и
для которых выполняется условие
(6)
Числа удовлетворяют условию:
Пусть, далее,
— произвольное положительное число и функция
такова, что произведение
не возрастает
Тогда, если то для произвольных
выполняется неравенство
(7)
в котором — величина, не зависящая от
и
в качестве величины
может выступать любая из функций
Теорема 2.Пусть
числа
и
выбраны так, что
,
а функция
такова, что произведение
где
не возрастает
Тогда, если то для произвольных
выполняется неравенство
(8)
в котором — величина не зависящая от
и
Замечание. В случае
и
(т. е., для классов
) теоремы 1 и 2 получены А. И. Степанцом и Н. Л. Пачулиа [2]. Заметим, что в аналоге теоремы 2 рассматривается лишь случай
Для сумм Фурье в периодическом случае аналогичная задача была решена А. И. Степанцом.
2. Доказательство теорем начнем с получения некоторых вспомогательных утверждений. Пусть Величину
рассмотрим в двух частных случаях, в зависимости от скорости следования к нулю пары функций
.
Лемма 1.Пусть
числа
и
выбраны так, что
, постоянная
.Тогда
в каждой точке
(9)
где
— функция из множества
для которой
Лемма 2.Пусть
и выполнено условие (6), числа
такие, что
Функции
,
Тогда, если то
и действительных чисел
(10)
где
в роли функции
может выступать любая из функций
,
— функция из
для которой
, и
(11)
3. Пусть и
(12)
Следующим шагом в доказательстве теорем 1 и 2 будет такое утверждение.
Лемма 3.Пусть
и выполнено условие (6), числа
выбираются так, что
,
.
Тогда, если то для любых
(13)
Если же
числа
и
избраны так, что
, постоянная
, то
и
(14)
В соотношениях (13) и (14) — величина, которая равномерно ограничена по
и
.
Доказательство. Из неравенства Гельдера следует, что величина не убывает по параметру
, поэтому неравенства (13) и (14) достаточно доказать лишь при
Сначала докажем неравенство (13).
Используя равенство (10) и неравенство Минковского, получим
(15)
Поскольку функция не возрастает, то
(16)
Перейдем к получению оценки величины Отметим, что
Применяя неравенство Минковского, получим
(17)
Далее,
Поскольку, как было установлено в работе [8, с. 239] (соотношение (14.21)),
(18)
то
(19)
Для оценки интеграла применим неравенство Хаусдорфа-Юнга:
С этой целью положим
Тогда
Поскольку , то
(20)
А потому
Итак,
(21)
Сравнивая соотношения (12) и (15) — (21) приходим к оценке (13).
Перейдем к доказательству неравенства (14).
Используя соотношение (9) из леммы 1 и неравенство Минковского, согласно равенства (12), получим
(22)
Поскольку функция не возрастает, то
(23)
Далее мы воспользуемся соотношением (5.5.4) из работы [7, с. 236], при доказательстве которого периодичность функции и включение
не использовались, а потому
(24)
Принимая во внимание соотношения (24), имеем
(25)
Остается установить аналогичную оценку и для интеграла
При каждых фиксированных и
положим
Применяя неравенство Хаусдорфа-Юнга получим
(26)
При нахождении этого неравенства мы воспользовались также условием Из соотношений (22) — (23) и (25) — (26) следует неравенство (14).
Лемма 4 окончательно доказана.
4. Перейдем непосредственно к доказательству теоремы 1.
Пусть
Тогда
Выберем числа
исходя из условия
Согласно лемме 3, имеем
Поэтому
(27)
Поскольку , то, на основании оценки (18),
Следовательно
(28)
Функция не возрастает и
. Соответственно,
Поэтому, опираясь на соотношение (28), получаем искомую оценку:
(29)
Теорема 1 доказана.
5. Доказательство теоремы 2.
Пусть
тогда, согласно лемме 1,
(30)
где и такие, что
В монографии [7, с. 391] для натуральных значений получена оценка
(31)
которая остается верной и в нашем случае , поскольку при ее доказательстве не использовался тот факт, что
.
Обозначим: Согласно условию, числа
не возрастают. Поэтому, учитывая (31), получим
Применяя эту оценку к неравенству (30), находим
Таким образом, теорема 2 окончательно доказана.
Литература:
1. Степанец А. И. Скорость сходимости группы отклонений на множествах -интегралов // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 12. — С. 1673–1693.
2. Степанец А. И., Пачулиа Н. Л. Сильные средние уклонения операторов Фурье // Укр. мат. журн. — 1990. — 42, № 9. — С. 1225–1231.
3. Stepanets A. I., Wang Kunyang, Zhang Xirong. Approximation of locally integrable function on the real line // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 11. — С. 1549–1561.
4. Степанец А. И. Приближение в пространствах локально интегрируемых функций // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 5. — С. 597–625.
5. Степанец А. И. Приближение интегралов периодических функций суммами Фурье. — Киев, 1996. — 70 с. — (Препринт / АН Украины. Ин-т математики; 96.11).
6. Степанец А. И. Приближение операторами Фурье функций, заданных на действительной оси // Укр. мат. журн. — 1988. — 40, № 2. — С. 198–209.
7. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Т.1. — 426 с.
8. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 т. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Т.2. — 468 с.