Введение.
Большинство процессов и явления окружающего мира представляются в виде нелинейных моделей. В связи с этим появилась необходимость научиться решать именно нелинейные уравнения, не пытаясь заменить их слишком упрощенными приближенными линейными уравнениями. Одним из направлений, которое сыграло важную роль в формировании современных представлений о свойствах нелинейных волновых процессов, является теория солитонов. Набор солитонных моделей весьма узок и содержит не более двух десятков важных для практики солитонных уравнений, например, уравнение Кортевега-де-Вриза (КдВ), Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), Кадомцева-Петвиашвилли (КП). Sin -Gordon (SG) и т. д. [1] В связи с этим остро встал вопрос о сводимости достаточно широкого класса уравнений к солитонным уравнениям (задача редукции).
Рассмотрим способы построения двумерных интегрируемых уравнений, имеющих солитонные решения и интегрируемых с помощью обратной задачи рассеивания.
Метод построения двумерного интегрируемого уравнения, связанный с уравнением Лакса.
Пусть 
- оператор Шрёдингера,
(1)
— кососимметрический оператор третьего порядка, где 
- неизвестная функция. Функции 
и 
необходимо найти из уравнения Лакса 
.
Коммутатор операторов L и A имеет вид
(2)
Тогда уравнение Лакса эквивалентно системе уравнений
(3)
Уравнения во второй строке (3) являются следствиями уравнений первой строки, в результате находим
. (4)
Будем полагать, что
. Тогда уравнений (3) примет вид
(5)
Для функций вида 
уравнение (5) переходит в уравнение Кортевага-де Вриза на функцию 
(6)
Для функций вида 
уравнение (3) переходит в уравнение
(7)
Оно также является интегрируемым модельным уравнением для распространения длинных волн в среде с нелинейной дисперсией. Если к оператору (1) добавить оператор
, (8)
то из уравнения Лакса получим нелинейное уравнение вида
(9)
Уравнение (9) эквивалентно уравнению (5) и преобразуется в него заменой координат 
.
Метод построения нового двумерного интегрируемого уравнения
Пусть функция зависит от трех переменных, L — оператор Шрёдингера, оператор А — сумма операторов
(10)
Тогда операторное уравнение
(11)
будет эквивалентно следующему уравнению
. (12)
Это новое двумерное дифференциальное уравнение, так же как и уравнение (5), может быть решено методом обратной задачи рассеивания. [2]
Большинство известных солитонных уравнений описывают поведение функций, зависящих от двух пространственно — временных переменных. Вследствие этого актуальность приобретает задача посроения 2+1-мерного дифференциального уравнения. Рассмотрим способ получения такого уравнения из операторного уравнения Лакса
. (13)
Теорема. Уравнение
(14)
обладает парой Лакса с операторами L и А вида
,
.
где 
, 
— произвольная функция.
Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда оператор L не содержит дифференцирования по х и имеет структуру
, (15)
(16)
где 
, k –произвольные постоянные, vij, uij — произвольные функции трех переменных х, у и t. Такой выбор операторов обуславливает равенство нулю коэффициентов при дифференциалах 
, 
, 
, 
.
Выведем уравнение в частных производных, эквивалентное операторному уравнению Лакса. Для этого найдем элементы матричного уравнения 
, используя обозначение 
и принимая во внимание условие 
:
(17)
(18)
(19)
(20)
С учетом равенства (18) определим дополнительные условия так чтобы
, (21)
(22)
Подставим найденные значения в оставшуюся систему (10.6–9)
(23)
(24)
(25)
Найдем разность (23) и (25):
,
или 
,
что позволяет определить функцию 
. (26)
Выразим 
из (25)
. (27)
и выполним подстановку найденной функции (26)
Найденное соотношение (27) подставим в (24)
и умножим все члены на 
тогда выделяя полные производные, имеем
или
,
в результате можно найти функцию 
. (28)
И так, в ходе преобразований системы (10.12–14) из (24) найдена функция , а из (25) — , поэтому осталось единственное уравнение (23), связывающее две функции 
и 
, (29)
где .
В последующих исследованиях будем считать произвольную функцию 
тогда уравнение примет вид
(30)
Полученное уравнение в частных производных имеет вид локального закона сохранения, при этом функция 
является произвольной и может описывать некоторое возмущение уравнения. При подстановке в (15), (16) найденные значения 
, 
, , из равенств (21), (22), (28), (26) получим операторы Лакса.
Уравнения 
и (29) имеют общей оператор рассеяния L, а, следовательно, уравнения на собственные значения совпадают формально, но при этом собственное значение оператора L в одном случае являются постоянными, а во втором представляют собой некоторые функции, зависящие от дополнительной переменной у.
Литература:
1. Журавлев В. М. Нелинейные волны в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией. Точно решаемые модели. Ульяновск: УлГУ, 2001.
2. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. М.: Наука. 1991.
