Пусть 
комплексное гильбертово пространство и 
линейный оператор с областью определения 
. Множество
.
называется числовым образом оператора 
. Из определения видно, что множество 
является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества дает некоторые информации об операторе .
Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения. В работе [2] показано, что числовой образ оператора является выпуклым. Отметим, что выше сказанные результаты верны не только для матриц, но и в более общем случае для любого линейного ограниченного оператора. В работе [3] доказано, что спектр любого линейного ограниченного оператора содержится в замыкании числового образа этого оператора. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [4–7].
В данной работе рассматривается линейный ограниченный самосопряженный модель Фридрихса с одномерным возмущением. Найден явный вид числового образа этого оператора.
Для полноты сначала приведем ряд основных свойств числового образа линейного оператора (вообще говоря несамосопряженного) , доказательство которых вытекает непосредственно из определения. Обозначим через 
и 
— множество всех вещественных и комплексных чисел, соответственно. Всюду в работе под 
и 
понимается скалярное произведение и норма в соответствующих гильбертовых пространствах.
1) Если ограниченный оператор, то 
;
2) 
;
3) 
. Если 
и 
произвольные комплексные числа, то имеет место
;
4) Для самосопряженного оператора имеет место соотношение 
;
5) Если конечномерное пространство, то множества 
является компактным;
6) Если 
унитарно эквивалентные операторы, то 
;
7) 
, где 
точечный спектр оператора ;
Определим (см. [8]) аппроксимативно точечный спектр линейного оператора как
.
Подчеркнем, что последнее множество имеет еще одно название, «ядро спектра» оператора (см. [9]).
Следующее утверждение устанавливает связь между 
и :
8) 
.
Теперь перейдем к постановку задачи и обсуждение основного результата.
Пусть 
— гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
.
Рассмотрим модель Фридрихса действующего в гильбертовом пространстве по формуле
,
где операторы 
и 
определяются равенствами
.
Здесь 
— вешественнозначная непрерывная функция на .
Можно проверить, что при этих предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .
Обозначим через 
, 
и 
, соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Оператор возмущения оператора является одномерным самосопряженным оператором. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [8] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что
. Из последних фактов следует, что 
.
Определим регулярную в 
функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )
.
Установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции 
.
Лемма 1. Оператор имеет собственное значение 
тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство. Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть 
— соответствующая собственная функция. Тогда 
удовлетворяет уравнению 
или
. (1)
Для любых и 
имеет место соотношение 
.
Из уравнения (1) для имеем
, (2)
где
. (3)
Подставляя выражение (2) для в равенство (3) получим, что уравнений (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда . Лемма 1 доказана.
Согласно леммы 1 функция обладает характеристическим свойством определителя Фредгольма. По этой причине мы назовём её определителем Фредгольма, ассоциированный с оператором .
Из леммы 1 вытекает, что
.
Таким образом
.
Теперь сформулируем основной результат работы.
Теорема 1. Пусть 
. Тогда числовой образ оператора совпадает с множеством 
, где 
единственный простой отрицательный собственный значений оператора .
Доказательство. Сначала отметим, что функция дифференцируема в полуосях 
и 
, и для любого 
имеет место соотношение
.
Следовательно, функция монотонна убывает в полуосях и . Так как 
при всех 
, в силу леммы 1 оператор не имеет собственных значений в . Исследуем отрицательных собственных значений оператора .
Из разложения
вытекает, что существуют положительные числа 
и 
такие, что
.
Так как непрерывная функция удовлетворяет условию , существуют положительные числа 
и 
такие, что
.
Тогда пологая 
имеем, что
.
Следовательно,
.
Так как функция монотонно убывает в , последнее означает, что функция имеет единственный простой отрицательной нуль 
. В силу леммы 1 число является собственным значением оператора .
Пусть 
нормированная собственная функция оператора соответствующего собственному значению . Тогда
,
т. е. 
.
Ясно, что 
. Покажем, что 
. Допустим противное. Пусть 
. Тогда существует функция такое, что 
и 
. В этом случае имеем, что
.
Последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда 
. Это противоречить условия нормировки функции . Значить . Теорема 1 доказана.
В ходе доказательство теоремы 1 доказано, что 
, где — единственной простой отрицательной собственной значение оператора , и 
. Поэтому 
, но 
и 
.
Литература:
1. O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z., 2:1–2 (1918), 187–197.
2. F. Hausdorff. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), 314–316.
3. A. Wintner. Zur Theorie der beschrankten Bilinearformen // Math. Z., 30:1 (1929), 228–281.
4. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.
5. L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory, 71 (2011), 245–257.
6. M. T. Heydari. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), 139–143.
7. W.-S. Cheung, X. Liu, T.-Y. Tam. Multiplicities, boundary points and joint numerical ranges // Operators and Matrices. 5:1 (2011), 41–52.
8. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов, М.: Мир. 1982, 430 с.
9. М. Саломяк, М. Бирман. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Изд. Ленинградского университета, Ленинград, 1980, 264 c.
