В статье приводится система дифференциальных уравнений, моделирующая отрицательный коронный разряд, параметры модели принимаются функциями локальной напряженности электрического поля. На основе эмпирических данных получены аналитические зависимости коэффициентов ударной ионизации, диффузии и подвижности частиц от локальной напряженности. Проведен сравнительный анализ параметров модели для электроотрицательного и инертного газов, определено влияние свойств газа на значения коэффициентов.
Ключевые слова: коронный разряд, электроотрицательная корона, инертный газ, электроотрицательный газ, ударная ионизация, диффузия, подвижность.
1. Введение. Состав и свойства газов, заполняющих газоразрядный промежуток, оказывают существенное влияние на механизмы образования и закономерности протекания коронного разряда. Так, в электроотрицательных газах носителями заряда являются электроны и ионы обоих знаков, причем наличие отрицательных ионов обусловливает импульсный характер тока разряда (импульсы Тричеля). В инертных газах проводимость обеспечивают электроны и положительные ионы. В результате многочисленных экспериментальных исследований для различных газов были получены эмпирические зависимости параметров (коэффициенты ударной ионизации, прилипания, рекомбинации, диффузии, подвижности) от локальной напряженности электрического поля. Дж. Даттон [5] обобщил накопленные эмпирические данные, представив их в графической и табличной формах. Однако математическое моделирование коронного разряда сводится к решению системы дифференциальных уравнений, при этом удобнее использовать зависимости коэффициентов от локальной напряженности, представленные в виде функций. Таким образом, необходимо получить аналитический вид зависимостей и выявить закономерности изменения параметров модели в газах с различными свойствами.
2. Модель коронного разряда в электроотрицательном и инертном газах. Для моделирования коронного разряда в электроотрицательном газе (например, кислороде О2) применяется система дифференциальных уравнений второго порядка [1]:
;
;
.
Данная система, решаемая совместно с уравнением Пуассона, позволяет определить концентрации электронов 
, положительных 
и отрицательных 
ионов и построить распределение частиц в газоразрядном промежутке. В качестве параметров модели выступают скорости частиц (
, 
, 
), коэффициенты ионизации (
), прилипания (
), рекомбинации (
и 
) и диффузии (
,
,
). Предполагается, что параметры зависят от локальной напряженности поля (
или 
) и не зависят от времени.
Для инертного газа (например, аргона) из системы уравнений следует исключить всех слагаемые, содержащие параметры отрицательных ионов (концентрация , коэффициенты прилипания , ион-ионной рекомбинации 
и диффузии ). В результате получается система уравнений:
;
.
3. Сравнительный анализ зависимостей параметров моделей от локальной напряженности поля. Коэффициент ударной ионизации .Ударная ионизация – ионизация невозбужденных атомов (молекул) при столкновениях с электронами [2, с.22] – является основным механизмом рождения заряженных частиц в разрядном промежутке. На рис. 1 а представлен график зависимости коэффициента ударной ионизации от локальной напряженности электрического поля для кислорода, построенный на основе экспериментальных данных D. Price [5]. На рис. 1 б – график той же зависимости для аргона, построенный на основе экспериментов A. Kruithof [5]. Аппроксимация проводилась в математическом пакете MATHCAD.
В результате были получены аналитические зависимости для кислорода:
,
для аргона:
.
Из полученных зависимостей видно, что значения коэффициента ударной ионизации для аргона на порядок выше, чем для кислорода. Так, при значении локальной напряженности 
для кислорода 
, для аргона 
. Данный факт хорошо согласуется со значениями пробивного напряжения: для аргона 
, что существенно ниже, чем для двух и многоатомных газов ( 
от 280 В до 420 В)[3, c. 108]. Кроме того, из рис. 1 видно, что с ростом локальной напряженности коэффициент ударной ионизации для аргона увеличивается быстрее, чем для кислорода, поэтому график зависимости 
для аргона в заданном интервале напряженностей близок к прямой линии.
Коэффициенты электрон-ионной и ион-ионной рекомбинации.Электрон-ионная рекомбинация является процессом, обратным ударной ионизации и приводит к уменьшению количества заряженных частиц в газоразрядном промежутке. Экспериментальные исследования Ю.П. Райзера [4] и Дж. Даттона [5] показали, что коэффициент рекомбинации существенно зависит от температуры и практически не зависит от локальной напряженности поля. Для аргона, в соответствии с результатами экспериментов F.J. Mehr [5], при температуре 
коэффициент рекомбинации электронов и положительных ионов принимает значение 
и уменьшается по мере увеличения температуры газа. Для кислорода по результатам экспериментов W.H. Kasner и D. Smith [5] 
. Ион-ионная рекомбинация наблюдается только в электроотрицательных газах. В таблице 1 приведены возможные варианты ион-ионной рекомбинации в кислороде и значения соответствующих коэффициентов [4, с.79].
Таблица 1
Ион-ионная рекомбинация в кислороде
|
Рекомбинирующие ионы |
Значение коэффициента рекомбинации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты диффузии электронов и ионов. Диффузия заряженных частиц играет большую роль в возникновении газового разряда, в частности, объясняет импульсный характер коронного разряда в электроотрицательном газе. На рис. 2 а представлен график зависимости произведения коэффициента диффузии электронов и концентрации частиц от локальной напряженности поля (
) для кислорода, построенный на основе экспериментальных данных D. Nelson [2], на рис. 2 б – аналогичный график для аргона по результатам экспериментов Wagner [5].
В результате была получена аналитическая функция для кислорода:
;
для аргона:
.
Из полученных функциональных зависимостей видно, что коэффициенты диффузии для кислорода и аргона существенно отличает только степень экспоненты: для кислорода она на порядок больше, чем для аргона. Поэтому с ростом локальной напряженности произведение коэффициента диффузии на концентрацию частиц для кислорода снижается быстрее, чем для аргона (рис. 2).
Для определения коэффициентов диффузии положительных и отрицательных ионов применяется соотношение Эйнштейна, связывающее их с подвижностями:
,
где 
– постоянная Больцмана, 
– температура газового разряда, 
– элементарный заряд.
Скорости (подвижности) частиц.Скорости частиц связаны с их подвижностями 
(
), поэтому интерес представляет исследование зависимости подвижности частиц от локальной напряженности 
. Зависимость скорости электронов 
для различных газов приведена в работе Ю.П. Райзера [4, с. 42]. На рис. 3 а представлен график для кислорода, на рис. 3 б – для аргона, полученные по результатам исследований С. Брауна [5].
В результате аппроксимации была получена функциональная зависимость подвижности электронов от локальной напряженности для кислорода:
;
для аргона:
.
Функции существенно отличает степень знаменателя дроби (
)), что сказывается на внешнем виде графиков (рис. 3). Расчеты показывают, что с ростом напряженности электрического поля подвижность электронов стремится к постоянной величине. Для кислорода при больших локальных напряженностях 
, для аргона 
, что согласуется с результатами экспериментов [6].
Подвижности ионов в газоразрядном промежутке определяют по формуле Ланжевена [4, с. 55]. Расчеты позволяют получить следующие значения: для положительных и отрицательных ионов кислорода при 
, для аргона 
.
4. Вывод. Для параметров модели отрицательного коронного разряда в кислороде и аргоне на основе эмпирических данных нами были получены аналитические зависимости, сведенные в таблицу 2.
Таблица 2
Эмпирические зависимости параметров модели для аргона и кислорода
|
Коэффициенты |
Аргон |
Кислород |
|
Ударной ионизации |
|
|
|
Электрон-ионной рекомбинации |
|
|
|
Диффузии электронов |
|
|
|
Подвижность электронов |
|
|
|
Подвижность ионов |
|
|
Как видно из результатов математической обработки экспериментальных данных существенное расхождение наблюдается только для коэффициента ударной ионизации (у аргона он на порядок выше, чем у кислорода). Остальные параметры можно считать достаточно близкими (по порядку величины) и при рассмотрении коронного разряда в первичном приближении различия в их значениях не учитывать. Однако детальное изучение закономерностей протекания коронного разряда потребует получения более точных аналитических зависимостей для широкого интервала значений локальной напряженности поля.
Литература:
1. Брант ван Р. Физика и химия частичных разрядов и короны: последние достижения и будущие последствия: Уайтхедовские чтения. 1994. URL: http://sibdiag.ru.
2. Капцов Н. А. Электрические явления в газах и вакууме. М.: Гос. изд-во технико-технической литературы, 1950. – 836 с.
3. Колесов С.Н., Колесов И.С. Материаловедение и технология конструкционных материалов. – М.: Высшая школа, 2004. – 519 с.
4. Райзер Ю. П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1992 – 536 с.
5. Dutton J. A Survey of Electron Swarm Data // J. Phys. Chem. Ref. Data. 1975. Vol. 4, №3. Р. 577-856. URL: http://www.nist.gov/data/PDFfiles/jpcrd69.pdf.
6. Sattari P., Adamiak K. Numerical Simulation of Trichel Pulses in a Negative Corona Discharge in Air // IEEE. Transactions on Industry Applications. 2010. Vol. 47. P. 1935-1943.
