В настоящее время появилась возможность решения математических задач без составления компьютерных программ на языках программирования. Причиной этого является разработка специальных математических программ — математических систем. В научных исследованиях и в вузах на занятиях больше всего применяются следующие математические системы: MathCAD, MATLAB, Maple, Mathematika [1–3]. С применением математических систем учебный процесс становится интереснее, студенты понимают содержание занятия быстрее, глубже, а для укрепления понятий и решения задач остаётся больше времени.
В последнее время задачи вычислительной математики [1,2] часто решают в математической системе MATHCAD. При этом используют разные подходы: одни применяют внутренний язык MATHCAD, другие пытаются реализовать численный математический алгоритм [3–7].
В статье алгоритмы методов коллокации, Галёркина, наименьших квадратов, разностных схем приближённого решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) с краевыми условиями (КУ) организованы в математической системе MATHCAD.
1. Краевая задача для ОДУ. Сведения о приближённых методах.
Для линейного ОДУ краевая задача ставится следующим образом:
(ОДУ), (1)
, 
, (КУ). (2)
Необходимо найти функцию 
, удовлетворяющую ОДУ и краевым условиям (КУ) (2).
В проекционных методах [1,2] приближённое решение 
отыскивается в виде конечной суммы с неопределёнными коэффициентами:
, 
-?. (3)
Здесь начальная функция 
и базисные функции
определяются требованиями конкретных методов:
1) 
,
, 
,
.
2) 
.
3) система линейно независима и полна на отрезке 
.
При таком выборе имеет место сходимость 
а в случае ограниченности 
имеет место сходимость 
[1].
Для определения неизвестных коэффициентов введем функцию невязки
. (4)
В методе коллокации коэффициенты 
определяются из условий совпадения 
, что эквивалентно линейной системе уравнений:
(5)
В методах Галеркина коэффициенты определяются из условия ортогональности 
, что эквивалентно линейной системе уравнений:
. (6)
В основе методе Ритца лежит идея минимизации квадратичного функционала:
, (7)
которая опять приводит к системе (6). В методе Ритца предполагается симметричность и положительная определённость оператора 
, 
, 
В методе наименьших квадратов коэффициенты определяются из условия ортогональности 
, что эквивалентно линейной системе уравнений:
. (8)
2. Выбор базисных фунций [2,4]. Для каждого типа краевых условий предлагаем два варианта базисных функций.
Краевые условия 1-го типа: 
,
, 
, (10)
а)
; б)
, 
. (11)
Краевые условия 2-го типа: 
,
, 
. (12)
а)
; б)
,
. (13)
Краевые условия 3-го типа: ,.
Полагая, 
имеем
. Отсюда, согласно правилу Крамера находим 
, где
.
. (14)
3. Организация решения задачи в MathCAD
В качестве примера рассмотрим ОДУ [2] с параметрами
,
,
.
В качестве базисных функций принимаем 
Базисную функцию 
в MATHCAD удобно обозначить так 
. Ещё введём обозначения 
,
.
Команды в MATHCAD записываются без всякого предопределителя, и отличаются от математических формул лишь следующей разницей: комбинация знаков двоеточие и равно, т. е. (:=), означает определение, знак равно (=) или стрелка (→) означает вывод вычисленного значения. Кроме того, после ввода знака «открывается поле для ввода текста-замечания и по окончании ввода — замечания и нажатия клавиши Enter остаётся только текст-замечание. Мы в местах, где должен быть текст-замечание записываем знак «и, после него, вводим текст-замечание. Это облегчает понимание алгоритма решения.
Записываем в MATHCAD следующие команды:
«Определимначальную функцию 
из условий 
,
.
«Определимбазисные функции
, ,
.
«базисные функции
«вспомогательная функция
«вспомогательная функция
«элементы метода коллокации
«элементы метода Галёркина
«элементы метода МНК
«Для контроля вычислений можно вывести на экран матрицы и правые части, полагая
«вывод матрицу, правую часть
«метода коллокации
«метод наименьших квадратов
«метод Галёркина
«вычисление значений
«вычисление значений
«вычисление значений
Для сравнения найденных значений сведём их в таблицу:
|
Методы/узлы |
1,0333 |
1,0667 |
1,1 |
1,1333 |
1,1667 |
|
Коллокации |
0,8556 |
0,8384 |
0,8229 |
0,8086 |
0,7949 |
|
МНК |
0,8553 |
0,8373 |
0,8205 |
0,8044 |
0,7885 |
|
Галёркина |
0,8521 |
0,8275 |
0,8034 |
0,7808 |
0,7597 |
Используя базисные функции , найдем почти такие же значения.
4. Организация вычислений решения краевой задачи для линейного ОДУ с помощью разностных схем.
Для ОДУ, разностная схема имеет следующий вид:
, (15)
. (16)
Преобразуем эту систему линейных уравнений в систему:
Вводя следующие обозначения
,
, 
приходим к стандартной трехдиогнальной системе линейных уравнений:
.
Трехдиогнальную систему линейных уравнений можно решать методом прогонки. В методе прогонки решения системы линейных уравнений разыскивается в виде 
, где коэффициенты прогонки 
и неизвестные 
определяются формулами:
(17)
(18)
Формулы (17) определяют прогоночные коэффициенты , а формулы (18) определяют неизвестные .
Решение задачи в MathCAD.
В качестве примера рассмотрим ДУ с параметрами
.
«
«отрезок, параметры
«коэффициенты КУ
«коэффициенты КУ
«коэффициенты 0-уравнения СЛАУ
«коэффициенты n-уравнения СЛАУ
, «коэффициенты. i-го уравнения
«точное решение и его значения
«коэффициенты 0-уравнения в MathCAD
«коэф.i-уравнения.
«коэффициенты n-уравнения в MathCAD.
Для контроля выведем на экран MathCAD элементы системы уравнений:
«Выведем таблицу значений приближённого и точного решений на экран MathCAD:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
0,8276 |
0,6963 |
0,5941 |
0,5131 |
0,4478 |
0,3944 |
0,3502 |
0,3132 |
0,282 |
0,2554 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
0,8264 |
0,6944 |
0,5917 |
0,5102 |
0,4444 |
0,3906 |
0,346 |
0,3086 |
0,277 |
0,25 |
Как видно из таблиц значений приближённое и точное решение совпадают с точностью 0.01.
Литература:
1. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1981.
2. Вержбицкий В. М. Численные методы. М.:ООО, ”ОНИКС-21 век”, 2005.-400 с.
3. Имомов А. Организация численных методов в MathCAD. Молодой учёный, № 6(65), май 1, 2014 г.-с. 15–19.
4. Ирискулов С. С., Исманова К. Д., Олимов М., Имомов А. Численные методы и алгоритмы. MathCAD. Учебное пособие.. Наманган, Изд-во «Наманган»,2013.-278с.
5. Поршнев С. В., Беленкова И. В. Численные методы на базе MathCAD. СПб, 2005.-464 с.
6. Ракитин В. И. Руководство по ВМ и приложения MathCAD.М.:ФМ, 2005.-264 с.
7. Охорзин В. А. Прикладная математика в системе MathCAD. СПб, Лань,2008–352 с.
