В данной работе рассматривается задача о накате одиночной волны на защитные сооружения типа вертикальной стенки с примыкающим к ней затопленным уступом. Решение задачи получено методом преобразования Лапласа и сращивания подобластей.
Ключевые слова: одиночная волна, накат, защитные сооружения.
Идеальная несжимаемая однородная жидкость в состоянии покоя занимает область, ограниченную горизонтальной свободной поверхностью, горизонтальными участками дна с глубинами 
и 
, наклонным участком дна с углом 
и вертикальной стенкой. Пусть в начальный момент времени 
на некотором удалении от вертикальной стенки появляется возмущение в виде одиночной волны, имеющей профиль 
Известно [1], что эта задача — нелинейна. Требуется определить форму свободной поверхности 
в произвольный момент времени 
В линейной постановке эта задача сводится к смешанной задаче для волнового уравнения с переменными коэффициентами [1].
1. Постановка задачи. Требуется отыскать функцию 
в области
являющуюся решением уравнения
где 
— ускорение свободного падения; 
— глубина жидкости
удовлетворяющую начальным условиям
и граничным условиям
2. Метод решения.
Для построения решения воспользуемся методом сращивания подобластей. Для этого разобьем область 
на 3 подобласти точками 
и 
. В каждой из подобластей будем строить решение задачи, определяя неизвестные константы из условий непрерывности волнового профиля и непрерывного изменения скорости в точках сопряжения:
3. Построение решения в подобласти 1.
В подобласти 1 имеем следующую задачу:
Применим к поставленной задаче преобразование Лапласа. Обозначим изображение функции 
через 
, т. е. 
Здесь — изображение функции 
— комплексный параметр. Смешанная задача, с учетом начальных и краевых условий, в пространстве изображений примет вид:
Решая полученную задачу, имеем представление решения в подобласти 1:
где 
— некоторая неизвестная пока константа.
4. Построение решения в подобласти 2.
Задача в этой подобласти имеет вид:
Применим преобразование Лапласа к сформулированной задаче. Обозначим изображение функции 
через 
, т. е. 
Здесь — изображение функции 
— комплексный параметр. Получим в изображениях следующее уравнение:
Решением его является выражение:
где
— цилиндрические функции мнимого аргумента, 
— неизвестные постоянные.
5. Построение решения в подобласти 3.
Задача в этой подобласти имеет вид:
Применим преобразование Лапласа к поставленной задаче. Положим 
, где 
— изображение функции 
, 
— комплексный параметр. Получим в пространстве изображений следующую задачу:
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:
Оно имеет общее решение:
где 
— произвольные константы. Общее решение неоднородного уравнения найдем методом Лагранжа. Представим его в виде:
Составим систему уравнений для определения производных неизвестных функций 
:
Решая ее, получаем: 
Отсюда, имеем:
где 
— постоянные. Поэтому
В силу условия ограниченности: 
Таким образом, решение задачи в подобласти 3 в пространстве изображений имеет вид:
где 
— некоторая постоянная. Перепишем это решение несколько иначе:
6. Сращивание решений.
Введем обозначения:
Тогда:
Условия сращивания имеют вид:
Учитывая предложенные представления решений в подобластях и соотношения между бесселевыми функциями [2]:
получаем систему уравнений для нахождения неизвестных 
и 
Выпишем ее в матричной форме:
Здесь
где верхний индекс T означает операцию транспонирования.
Решая эту систему методом исключения, получаем следующие выражения для определения постоянных:
Полученные выражения полностью решают задачу в пространстве изображений. Поскольку они имеют довольно сложный вид, обращение преобразования Лапласа для нахождения решения исходной задачи следует выполнять каким-либо численным методом, например, разложением решения в ряд Фурье [3]. Можно воспользоваться процедурами обращения, содержащимися в математических комплексах Maple или Mathematica [4].
Литература:
1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч.1. — М.: Физматгиз, 1963.
2. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. —Под ред. А. Джеффри, Д. Цвилингера. — 7-е изд.: Пер. с англ. под ред. В. В. Максимова. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011.
3. Крылов В. И., Скобля Н. С. Методы приближенного преобразования Фурье и обратного преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1974.
4. Кристалинский В. Р., Кристалинский Р. Е. Преобразования Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики: Учебное пособие для вузов. — М.: Горячая линия-Телеком, 2006.
