В статье рассмотрены методические аспекты формированияпрофессиональной компетентности будущего учителя начальной школы при обучении комбинаторике. Выявлены основные направления и особенности методики формирования первоначальных комбинаторных представлений младших школьников.
Ключевые слова: профессиональная компетентность, стохастика, комбинаторика.
Внедрение элементов стохастики в курс математики средней школы в виде одной из сквозных содержательно-методических линий влечет за собой необходимость пропедевтической работы в начальной школе. Становится необходима профессиональная подготовка учителей начальных классов к формированию у младших школьников первоначальных стохастических представлений. В содержании стохастической содержательно-методической линии выделяют три взаимосвязанных направления, методикой работы над которыми должен владеть будущий учитель: подготовка младших школьников в области комбинаторики, формирование первоначальных представлений о случайных событиях, о вероятностях событий, формирование умений, связанных с представлением, сбором данных и их интерпретацией [1].
Изучение и анализ работы учителей по внедрению стохастической содержательно-методической линии в процесс обучения начальной школы позволяют сделать вывод, что основные причины трудностей кроются в недостатках их профессионально-педагогической подготовки [2, с.95].
Проблема исследования связана с выявлением теоретических и методических условий формирования профессиональной компетентности будущего учителя начальной − системы взаимосвязанных компонентов: фундаментальных предметных знаний, методических умений; профессионально-педагогических знаний и умений, профессионально значимых качеств личности учителя, которые реализуются в педагогической деятельности [3].
Эффективность подготовки учителей начальных классов в области формирования у младших школьников первоначальных стохастических представлений, будет достигнута, если подготовка построена на общих теоретических основаниях как система непрерывного педагогического образования, одной из целей которой является формирование профессиональной компетентности учителя начальных классов в указанной области [4].
Разработанная нами концептуальная модель формирования профессиональной компетентности студентов - будущих учителей начальной школы отражает характерные свойства, связи и отношения методической системы в доступной для анализа форме и обеспечивает переход теоретической сущности исследуемой проблемы в практическую действительность [5–7]. Практика работы показывает, что необходимо:
- обучение студентов содержательной основе комбинаторики, истории ее возникновения и развития, основополагающим идеям и принципам данного раздела математики;
- знание студентами целей изучения элементов комбинаторики, развивающего потенциала и способа его реализации, результатов обучения, которыми должен овладеть выпускник начальной школы, понимание сущности пропедевтики изучаемого материала;
- формирование умений осуществлять компетентный анализ содержания программ, учебников математики, осуществлять перспективное планирование, проводить анализ логической структуры темы, отбор материала для формирования первоначальных комбинаторных представлений младших школьников, умение обеспечить мотивацию учебной деятельности младших школьников;
- умение сравнивать школьный и вузовский варианты изложения материала, владение «формальным» и «неформальным» методами решения комбинаторных задач;
- умение осуществлять в обучении моделирование, работать с учебной и методической литературой по комбинаторике, владение навыками самостоятельной работы.
Рассмотрим пример. Из цифр числа 5, 6, 7 нужно составить всевозможные трехзначные числа большие 600, так, чтобы цифры в записи числа не повторялись.
В процессе решения задачи осуществляется анализ — расчленение целого на части, выделение отдельных элементов (цифр) в объекте (трехзначном числе). Проводится синтез, то есть соединение объектов в единое целое: 657, 675, 765, 756. Решая задачу путем систематического перебора, учащиеся производят классификацию объектов, соотносят их признаки, выделяют существенные признаки объектов, на основе этих признаков осуществляют объединение объектов в единое целое, то есть проводят обобщение.
В процессе выполнения такого рода заданий, комбинируя элементы множества цифр числа, младшие школьники повторяют устную и письменную нумерацию, работают над разрядным составом чисел, обращают внимание на поместное значение цифр, различение понятий «число» и «цифра». Таким образом, при систематическом решении заданий комбинаторного характера происходит реализация как образовательных, так и развивающих функций курса «Математика».
Комбинаторные задачи решают различными методами, которые условно делят на «формальные» и «неформальные». При «формальном» методе решения нужно определить характер выбора, выбрать соответствующую формулу (на нахождение числа размещений, сочетаний, перестановок с повторениями и без повторений) или комбинаторное правило (суммы, произведения), подставить числа и вычислить результат, представленный количеством возможных вариантов выбора, сами варианты не рассматриваются.
При «неформальном» методе решения задач важен процесс составления различных вариантов. Главное уже не только количество составленных вариантов выбора, но и какие варианты выбора можно осуществить. «Неформальным» является метод перебора возможных вариантов. Он доступен младшим школьникам и позволяет накапливать опыт решения конкретных задач, что служит основой для введения в дальнейшем обучении комбинаторных принципов решения заданий и использования соответствующих формул. В практической деятельности человеку приходиться не только определять число возможных вариантов выбора, но и непосредственно составлять все эти варианты, владея приемами систематического перебора, это можно сделать более рационально.
Совокупность задач, предлагаемых для решения, должна учитывать психологические особенности младших школьников, удовлетворять принципу «от простого, к сложному», способ перебора должен постепенно усложняться. В связи с этим методисты (С. А. Козлова, А. Г. Рубина, А. П. Тонких и др.) различают следующие группы задач [8]:
- задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех вариантов;
- задачи, в которых использовать прием полного перебора не целесообразно и нужно исключить некоторые варианты, не рассматривая их (то есть осуществить сокращенный перебор);
- задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам.
Методика обучения решению комбинаторных задачам и заданий комбинаторного характера предусматривает три этапа работы. На первом этапе при выполнении заданий комбинаторного характера младшие школьники составляют новые объекты, осуществляя хаотический перебор. На данном этапе учитель не ставит цели найти все варианты. Особое внимание следует уделять сравнению объектов, которые состоят из отдельных элементов. Сравнение проводится по следующим критериям:
- по количеству составленных объектов;
- составу, входящих в объект элементов;
- порядку расположения элементов в объекте.
Приведем примеры таких задач.
1. У Маши был мяч. Одна половинка мяча красная, другая — желтая, посередине проходят две полосы: синяя и зеленая. Нарисуйте, как при помощи этих цветов можно раскрасить мяч по-другому.
2. Даша решила посадить розу, тюльпан и ромашку. Нарисуйте, как можно посадить цветы в один ряд.
3. Имеется 3 кубика конструктора «Лего»: белый, желтый, зеленый. Нарисуйте несколько различных построек из этих кубиков.
4. Используя цифры 1, 3, 8, 9, оставьте всевозможные трехзначные числа.
Приобретение навыков хаотического перебора способствует появлению более высокой степени организации деятельности — использованию при решении заданий комбинаторного характера систематического перебора.
Следующий этап состоит в нахождении учащимися всех возможных вариантов решения комбинаторных задач. Цель данного этапа — обучение школьников систематическому перебору всех возможных вариантов. При решении задач на данном этапе может осуществляться как полный, так и сокращенный перебор. Приведем примеры задач, при решении которых учащиеся осуществляют полный перебор.
1. У Саши имеется 3 видеокассеты с мультфильмами и 2 кассеты с фильмами про Гарри Поттера. Сколькими способами он может выбрать одну кассету для просмотра?
2. У куклы Барби имеется 3 различных бальных платья и 2 шляпки: с вуалью и с перьями. Сколькими способами можно составить наряд для Барби?
3. Используя цифры 1, 3, 8, 9 составь всевозможные трехзначные числа. Составь всевозможные трехзначные числа так, чтобы цифры в записи числа не повторялись.
Приведем примеры задач, при решении которых учащиеся осуществляют сокращенный перебор.
1. Запишите все двузначные числа, которые можно составить из цифр 3, 4, 5, 6 так, чтобы число десятков было больше числа единиц.
2. Имеется 4 фигуры: большой и маленький треугольники, большой и маленький круги. Сколько существует способов расположения этих фигур в ряд, если на первое место поставить большой треугольник и одинаковые по форме фигуры не будут стоять рядом?
3. Запишите все четные двузначные числа, которые можно составить из цифр 3, 4, 5, 6.
Особенность задач, которые предлагаются для решения на третьем этапе, состоит в увеличении возможных вариантов перебора. С увеличением возможных вариантов меняются средства организации перебора: при решении таких задач целесообразно использовать таблицы, графы и «дерево возможностей», позволяющие логично строить ход рассуждений, четко провести полный перебор, не упустив никаких вариантов. Решение задач с использованием графов является основным содержанием третьего этапа в обучении младших школьников решению комбинаторных задач.
Процесс обучения решению задач с помощью графов также предполагает несколько этапов. На подготовительном этапе учащиеся переводят условие задачи на язык графических символов, при этом формируются умения переходить от конкретного предмета к его модели, умения символически изображать связи между объектами. Учителю необходимо уметь ввести условное обозначение объектов и связей между ними; построить графическую модель, отражающую все данные задачи. Следующий этап предполагает работу над задачами с небольшим числом объектов и связей между ними. Характерной особенностью второго этапа обучения является постепенное увеличение количества рассматриваемых объектов; увеличение количества связей между объектами; необходимость использования для решения задач более одного вида графов.
Так, в учебниках математики под редакцией Л. Г. Петерсон младших школьников знакомят с применением граф-дерева для решения комбинаторных задач. Вначале учат младших школьников понимать «язык» графов. Предварительная работа над графами помогает проводить перебор в определенной системе и не упускать какие-либо возможности. Затем учащиеся используют графы при решении комбинаторных задач.
Приведем примеры. Задача. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых использованы только цифры 1, 4, 0? Требуемый граф изображен на рисунке 1.
Рис.1.
Каждая ветвь этого дерева изображает одно из данных чисел. Кроме того, можно заметить, что количество чисел можно найти как произведение 2×3×3.
Задача. Из цифр 5, 8, 4, 0 составьте все возможные трехзначные числа, в которых нет одинаковых цифр. Сколько среди них чисел, меньших 800?
Если числа, меньше 800, то первой цифрой в числе может быть либо 5, либо 4. Ставим две точки (Рис. 2), и составим сначала все числа с цифрой 5, при этом второй цифрой может быть либо 8, либо 4, либо 0.
Если первая цифра 5, вторая 8, то третьей могут быть либо 4, либо 0 и т. д.
Данный граф помогает проводить перебор в определенной системе и не упускать какие-либо возможности.
Рис. 2.
Задача. Несколько приятелей при встрече пожали друг другу руки. Сколько встретилось приятелей, если рукопожатий было 10?
В процессе анализа выясняется, что решить задачу, как предыдущие, не удается, так как неизвестно, сколько поставить точек, зато известно количество рукопожатий, то есть количество отрезков или ребер графа. Поэтому в данной ситуации можно предложить ученикам рассмотреть последовательно варианты:
- если приятелей было двое (то получается одно рукопожатие, а это не соответствует условию задачи);
- если приятелей было трое (то рукопожатий было три);
- если приятелей было четверо (рукопожатий − шесть);
- если приятелей было пятеро, то получается десять рукопожатий.
Таким образом, если рукопожатий было десять, то встретилось пять приятелей.
Опыт работы показывает, что начальный курс математики должен включать в себя пропедевтическое знакомство младших школьников с комбинаторными задачами и методами их решения на соответствующем уровне. Учащимся начальных классов, как правило, приходится решать задачи на упорядочивание элементов некоторого множества, на образование и подсчет числа кортежей заданной длины, составленных из элементов некоторого множества; задачи в которых требуется осуществить выбор подмножеств с определенными свойствами. В основе способов решения ряда задач лежат правило суммы и правило произведения, хотя они обычно в явном виде младшим школьникам не формулируются. По мнению методистов и психологов, включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. Решение комбинаторных задач дает возможность расширить знания учащихся о процессе решения задачи, о количестве и характере результата.
Литература:
1. Селютин В. Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: Дис.... д-ра пед. наук. М., 2002. с.247.
2. Проценко Е. А., Трофименко Ю. В. Формирование профессиональной компетентности будущих учителей начальной школы при обучении стохастике. Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2013. № 1. С. 094–100.
3. Проценко, Е. А. Концептуальная модель формирования профессиональной компетентности будущих учителей начальной школы при обучении стохастике//Вопросы гуманитарных наук. -2008. -№ 3 (36). -С. 285–292.
4. Проценко Е. А., Трофименко Ю. В. Методические аспекты обучения младших школьников стохастике. Молодой ученый. 2013. № 11. С. 633–637.
5. Проценко, Е. А. Теоретические и методические основы изучения комбинаторики в начальной школе/Е. А. Проценко, Г. А. Семенова. -Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2008. -128 с.
6. Проценко, Е. А. Использование информационных технологий как средства организации самостоятельной работы студентов//Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. -2006. -№ S16. -С. 77–81.
7. Проценко, Е. А. Применение компьютерных средств обучения в процессе преподавания комбинаторики//Вестник Московского городского педагогического университета. -2006. -№ 6. -С. 167–170.
8. Демидова Т. Е., Козлова С. А., Тонких А. П., Рубина А. Г. Элементы стохастики в курсах математики факультетов подготовки учителей начальной школы // Начальная школа плюс-минус до и после, 2005, № 5,6.
