В настоящее время появилась возможность решения математических задач без составления компьютерных программ. Причиной этого является разработка специальных математических программ — математических систем. В вузах и научных учреждениях чаще всего применяются математические системы: MathCAD, MATLAB, Maple, Mathematika. С применением математических систем учебный процесс становится интереснее, студенты понимают содержание занятия быстрее, глубже, а для укрепления преподаваемых понятий и решения задач остаётся больше времени.
Сейчас задачи вычислительной математики [1] по преимуществу решают в математической системе MathCAD [2–4]. Именно в MathCAD задача формулируется в наиболее естественном математическом виде, а в других математических системах шаги алгоритма решения задачи записываются с помощью команд системы.
В статье алгоритм конечно-разностной схемы Кранка-Никольсона приближённого решения линейного параболического дифференциального уравнения с краевыми условиями организованы в математической системе MathCAD.
1. Метод решения дифференциалных уравнений в MathCAD.
Пусть дана краевая задача для дифференциального уравнения
в непрерывной области D. Сопоставим ей некоторую дискретную задачу 
в дискретной области 
, которая состоит из узлов 
, с параметром дискретизации 
и 
, 
, при 
, где 
- дискретный оператор, а переменные 
- дискретные функции, такие, что 
, 
, 
, 
, т. е. 
каркас –таблица значений функций 
на сетке точек 
. В качестве дискретной задачи мы берем конечно-разностную схему (КРС), и тогда дискретная задача есть система алгебраических уравнений (СЛАУ). В MathCAD идея решения дискретной задачи очень проста и естественна: 
.
В MathCAD задачи решаются тремя способами [4]:
1) с помощью внутренних функций MathCAD;
2) с помощью математического алгоритма решения задачи;
3) с помощью алгоритма решения задачи, реализованного, во внутреннем языке MathCAD.
2. Дифференциалные краевые задачи и КРС [1].
А) Рассмотрим краевую задачу для параболического уравнения:
,
,(1)
. (2)
(1), (2) называется краевой задачей для параболического дифференциального уравнения (КЗ для ПДУ). Функция 
, удовлетворяющая ПДУ и краевым условиям называется точным решением: 
, 
, 
.
Явная КРС ,для ПДУ точности 
имеет вид:
(3)
Чисто неявная КРС ,для ПДУ с точности имеет вид:
(4)
Схема Кранка-Николсона являетсяполусуммой явной и чисто неявнойсхем точности 
и имеет вид
(5)
К (3) — (5) необходимо присоединить начальные и краевые условия
,(6)
Явная КРС для ПДУ на каждом слое j+1 решается с помощью реккурентных формул:
, (7)
Неявная КРС для ПДУ на каждом слое j+1 сводиться к системе линейных уравнений:
. (8)
Чисто неявная КРС для ПДУ на каждом слое j есть система линейных уравнений с трёхдиогнальной матрицей и, начиная с первого слоя, решается методом прогонки.
Вводя матрицу 
с коэффициентами 
;
; 
,
и векторы 
чисто неявную схему можно записать в векторно-матричном виде, связывающим неизвестные 
го и 
го слоёв
. (9)
Вводя матрицы ,
с коэффициентами
,
и векторы схему Кранка-Николсона можно записать в векторно-матричном виде, связывающим неизвестные го и го слоёв
. (10)
Подробно эту схему можно написать в виде (откуда получена КРС (10)):
.
КРС (5) является частным случаем более общей КРС с весами [1]:
(11)
Для неё можно построить аналогичную СЛАУ (9).
. (12)
Это следует из равенств, которые получаются после преобразования (11):
Отсюда, в частности 
следует СЛАУ для КРС Кранка-Николсона.
3. Организация решения КРС для ПДУ в MathCAD.
Пусть дана краевая задача для параболического уравнения (1),(2) с данными:
,
. (13)
, 
. (14)
A) Решение с помощью внутренней функции Pdesolve.
Вводим в окне M следующие команды:
«область
«сетка
«начальные данные
Given 
«ПДУ, равенство жирное
«краевые условия, равенство жирное
«обращение к Pdesolve
«решения 
,
«выведем таблицу значений приближённого решения
«выведем таблицу значений точного решения
«выведем графики приближённого и точного решений
D) Решение КРС Кранка- Николсона для ПДУ в MathCAD.
Результат КРС высокой точности налицо: разница встречается только на пятом знаке после запятой.
Литература:
1. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.-656 с.
2. Ракитин В. И. Руководство по ВМ и приложения MathCAD.М.:ФМ, 2005.-264 с.
3. Охорзин В. А. Прикладная математика в системе MathCAD. СПб, Лань,2008–352с.
4. Имомов А. Решение краевой задачи для линейных ДУ в частных производных в MathCAD. Молодой учёный, № 8(67), июнь 1, 2014 г.-с. 6–12
