Рассматриваются практические вопросы определения градуировочных характеристик средств измерений, используемых для анализа кинетики формирования физико-механических характеристик композиционных материалов при их аппроксимации ортогональными полиномами Чебышева.
Ключевые слова: композиты, свойства, средства измерений, градуировочные характеристики, аппроксимация, точность.
После определения математической модели системы проводится ее параметрическая идентификация (определение числовых параметров математической модели, при которых решение задачи соответствовало бы экспериментальным данным; найденные значения констант не должны противоречить физическому смыслу и теоретическим соображениям). Результаты во многом будут определяться точностью используемых средств измерений. Модели могут быть в разной степени формализованными [1…4], но все они должны обладать главным свойством: связать результаты наблюдений в некоторую общую картину. Численные характеристики изучаемой системы (процесса) могут быть константами (не изменяются в ходе процесса) или переменными. Часть из них может быть измерена лабораторными методами в ходе эксперимента (измеряемые константы и переменные), а другая либо вообще не может быть измерена современными методами, либо их измерение чрезвычайно трудоемко и дорого (не измеряемые константы и переменные).
Выбор метода идентификации определяется неоднозначно, ибо в самой постановке задачи заранее предполагается неопределенность (неполнота знаний об объекте, ограничения в наблюдениях объекта во времени, неточность измерения сигналов на входе и на выходе объекта и т. п.).
В силу значительной сложности структурная идентификация часто сводится к эвристическому заданию структуры модели, опираясь на априорные данные. Здесь эффективность последующей параметрической идентификации во многом определяется тем, насколько удачно была выбрана структура модели. В известных методах параметрической идентификации учитываются особенности исследуемой системы, условия функционирования, способ тестирования, способы анализа экспериментальных данных, вид получаемых моделей и др.
Всегда важным остается выбор процедуры сравнения для оценки адекватности получаемой модели объекту. Основное требование к модели — адекватность объекту изучения; иначе теряется смысл моделирования. Создание адекватной модели возможно лишь в случае, когда свойства и взаимосвязи моделируемого объекта в достаточной степени изучены. Адекватность частных математических моделей для описания формирования физико-механических характеристик материалов в значительной степени определяется выбором и поверкой средств измерений (по точности градуировочных характеристик [5,6]).
Рассмотрим использование ортогональных полиномов Чебышева 
для аппроксимации градуировочных характеристик с указанием и способа выбора степени аппроксимирующего полинома.
Предполагается, что экспериментальные значения 
известны точно; значения 
содержат погрешности, которые имеют приближенно гауссовское распределение с дисперсиями 
. Тогда по данным 
можно последовательно построить, используя МНК, приближения полиномами со степенями 
:
, 
.
Максимальную степень полинома обычно выбирается, исходя из конкретной задачи (в большинстве случаев 
не превышает 5).
Далее вычисляются остаточные суммы квадратов
и оценки дисперсии 
, соответствующие различным степеням 
:
.
Степень полинома повышают до тех пор, пока оценки заметно убывают. Выбор степени полинома осуществляется, исходя из точности построения ГХ в конкретной методике. При поверке используемых средств измерений характеристик композитов значение выбиралось из условия, чтобы оценка 
была минимальна (
); а также при принятом значении 
оценка перестает заметно убывать (
). Если при всех степенях 
выбранное условие не достигается, то максимальная степень полинома принимается равной .
Для выбора степени полинома можно использовать и методы перекрестного выбора. Здесь все данные разбивают на 
группы (конкретные способы разбиения могут быть различны и устанавливаются в методиках). Одна из групп является проверочной, а по медианным точкам остальных групп строится полином 
. Согласие полинома с исходными данными оценивается по его отклонению от медианы проверочной выборки:
.
Описанную процедуру повторяют многократно, принимая последовательно каждую из групп за проверочную. В результате получится суммарный показатель адекватности полинома исходным данным:
.
В качестве искомой степени полинома принимается значение , для которого показатель 
минимален.
Рассмотрим далее оценку погрешностей ГХ, представленных в аналитической форме 
, которая производится на основе линеаризованного разложения
,
где коэффициенты
,
,
- оценки параметров ГХ по данным , 
; все производные вычисляются в точке 
.
Если границы погрешностей измерений величин 
есть 
и 
, то границы погрешности ГХ в точке 
определятся из:
.
При известных характеристиках случайных и систематических составляющих погрешностей измерений величин характеристики погрешности ГХ в точке определятся из условий:
,
.
При этом доверительные границы случайной погрешности ГХ в точке оценивают по формуле
,
где 
- коэффициент Стьюдента при вероятности 
с числом степеней свободы 
, 
и 
— объемы выборок, по которым получены оценки 
и 
.
Если известно, что погрешности исходных данных изменяются нерегулярным образом в заданных границах 
, 
, то можно построить приближенные доверительные границы погрешности ГХ в точке
,
исходя из 
при 
; 
при 
.
Если систематические погрешности исходных данных изменяются нерегулярным образом в заданных границах 
, то приближенные границы систематической погрешности ГХ в точке вычисляются по формулам
, 
.
Если систематические погрешности исходных данных остаются примерно постоянными для всех точек диапазоне, то границы систематической погрешности ГХ в точке оценивают по формуле
.
Предложенная методика использовалась при построении математических моделей отдельных свойств композиционных материалов [2,3,4,7].
Литература:
1. Сложные системы: идентификация, синтез, управление: монография / Данилов А. М., Гарькина И. А. — Пенза: ПГУАС. — 2011. — 308 с.
2. Гарькина И. А., Данилов А. М., Королев Е. В. Математическое и компьютерное моделирование при синтезе строительных композитов: состояние и перспективы / Региональная архитектура и строительство. — 2010. — № 2. — С. 9–13.
3. Данилов А. М., Гарькина И. А. Математическое моделирование сложных систем: состояние, перспективы, пример реализации. / Вестник гражданских инженеров. –2012. — № 2. — С. 333–337.
4. Королев Е. В., Смирнов В. А., Прошин А. П., Данилов А. М. Моделирование эволюции лиофобных дисперсных систем / Известия высших учебных заведений. Строительство. — 2004. — № 8. — С. 40–46.
5. Планирование эксперимента. Обработка опытных данных: монография / И. А. Гарькина [и др.]; под ред. проф. А. М. Данилова. — М.: Палеотип. — 2005. — 272 с.
6. Хнаев О. А., Данилов А. М. Методы планирования эксперимента в аппроксимации функций многих переменных / Молодой ученый. — 2014. — № 4. — С. 295–297.
7. Гарькина И. А., Данилов А. М. Опыт разработки композиционных материалов: некоторые аспекты математического моделирования / Известия ВУЗов. Строительство. — 2013. — № 8 (656). — С.28–33.
