Задача автоматического управления технологическими процессами предполагает широкое использование ЭВМ с целью обработки текущей измерительной информации о состоянии конкретного процесса и выработки оптимальных управляющих воздействий по этой информации.
Поэтому важной составной частью задачи управления является идентификация процессов по принятой модели и наблюдаемой информации. В статье на примере линейной модели управления процессом диффузии рассматривается задача восстановления концентрации диффундирующего вещества на основе измерения ее в отдельных точках пространства, где происходит процесс диффузии. Применением принципа дуальности задач управления и наблюдения вопрос сводится к решению задач об условном экстремуме. Рассмотренная ниже задача, относится к области обратных задач для параболических уравнений [1]. Для ее решения строится специальная сопряженная задача [2, 3], которая далее исследуется методом разделения переменных [4].
1. Задач об определении концентрации в процессе диффузии по наблюдению изменения концентрации в точке.
Рассмотрим процесс диффузии в пространстве между пластинками бесконечной длинны, расстояние между которыми равно 
. Предположим, что начальная концентрация и процесс диффузии проходит идентично по (толщине) 
. Тогда достаточно анализировать ход процесса в некотором «стержне», расположенном ортогонально пластинкам. Пусть концентрация по и по времени 
описывается функцией 
, где 
- фиксированная точка. Тогда в 
и при 
подчиняется уравнению
(1)
где 
.
Здесь 
— коэффициент диффузии. На концах «стержня» приняты следующие условия диффузии
(2)
где 
— коэффициент пористости, 
— коэффициент пропорции концентрации между пористой и внешней средой. Концентрацию внешней среды назовем управляющим воздействием или просто управлениям. Для того, чтобы решение уравнения (1), (2) было однозначно определено, достаточно еще задать конечное или начальное состояние диффузии 
или 
. Однако, непосредственно приборами такое состояние диффузии определить можно далеко не всегда.
Предположим, что в процессе диффузии имеется возможность измерять изменения состояния диффузии в некоторых точках «стержня» 
. Задача определения состояния диффузии на данный момент времени 
по известному изменению состояния диффузии 
в точке 
и законом диффузии (1)–(2) составляет предмет задачи идентификации процесса диффузии.
Функцию 
, связанную с состоянием диффузии соотношением
(3)
назовем измеряемой величиной процесса диффузии.
Задача 1. По функции 
, константам 
и соотношениями (1)-(3) определить 
.
Пусть 
— заданная функция из 
.
Задача 2. В условиях задачи 1 найти величину
(4)
Понятно, что решение задачи 2 при различных функциях q(x)=
, i=1, 2, …, n, … составляющих базис пространства 
позволит найти функцию 
по проекциям (4), как элемента . Поэтому далее будем рассматриватътолъко задачу 2 (случай 
=1 рассмотрен в 
).
2. Условия идентифицируемости проекции.
Будем далее считать, что 0<<1 и для представления величины (4) при связях (1)-(3) строим формулу
(5)
где 
и 
искомые функции из 
. Cледуя известной технике теории наблюдаемости в линейных задачах 
, выберем линейный функционал (
) так, чтобы при связях (1)-(3) выполнялось тождество
(6)
На решениях уравнения (1) образуем тождество
(7)
Здесь 
произвольная функция 
, П=
.
Добавим гипотетическое тождество (6) к соотношению (7) и, пользуясь интегрированием по частям (2), (3), преобразуем полученное равенство (7) к виду
(8)
Теперь в (8) приравняем коэффициенты при 
левой и правой частях. Это дает соотношения для
:
, (9)
(10)
(11)
, (12)
, t
(13)
(14)
(15)
Итак, для функции получена краевая задача (9)-(15). Пусть она имеет решение при некоторой функции . Тогда (8) сводится к следующему
Отсюда заключаем: для того чтобы выполнялось соотношение (6) при связях (1)-(3) и любом управлении 
достаточно, чтобы
(16)
Теорема. Для того, чтобы имело место тождество (16) при связях (1)-(3) достаточна, чтобы существовало решение краевой задачи (9)-(15). При этом функции и 
в (6) определяются решением этой задачи по связям (12)-(16).
3. Вычислительные аспекты.
Решим задачу (9)-(15). Пусть известно, что решение системы (1)-(2) принадлежит множеству 
где 
линейное множество в У₂(П). Пусть управление - известная функция. Возьмем некоторые функции
приближенно удовлетворяющие условиям граничной задачи (9)-(11), (14), (15), то есть возможны ненулевые невязки:
Ψ(х,о)=
,
=
(t), t
К(t)-a
Ψ(
)-ψ(-0,t)=
При таких 
формула (16) имеет согласно (8) погрешность
R(
)=
и оценку погрешности
Таким образом, для повышения точности формулы (6) необходимо минимизировать величину R(
) за счет выбора 
и 
. Практический от множеств L и M. Пусть, например L=
множество непрерывных функций в П, имеющих непрерывную
и удовлетворяющих неравенству
(19)
Здесь 
–весовой коэффициент. Тогда погрешность (18) равна R()=
Минимизируем этот функционал по 
Поскольку minR()
minJ(), то найдем
(20)
Будем решать задачу (20) приближенно, полагая
где 
и 
заданные системы базисных функций и 
— обобщенные полиномы.
Задачу о минимуме оценки (18) заменим задачей об экстремуме функции m+n вещественных 
:
minJ(
…, 
)
J=R(
)
Эту задачу решим в случае m=n, 
.
Следуя методу разделения переменных при решении уравнения (9), построим функции
(22)
где 
Функции 
удовлетворяют условиям (9), (11) и (13), когда
(23)
и коэффициенты С, 
связаны равенством
(24)
где 
. Тогда условие (12) будет выполнено при
(25)
где
(26)
При этом в (24) при 
будет 
и тогда
(26ʹ)
Если же в (24) при 
тогда
(26ʹʹ)
Теперь решение задачи (9), (11), (12), (13), (15), в которой искомыми являются 
и 
, можно строить в виде отрезка ряда по функциям (22):
(27)
Заметим, что здесь можно выбрать коэффициенты 
при соблюдении условий (26), (26ʹ), (26ʹʹ). Для функции (27)
Общее решение взяв в виде (22) можно получить оценку. Тогда оценка (20) примет вид
(28)
Ограничиваясь здесь отрезками 
рядов (27) получим
где
Здесь 
Теперь необходимо отыскивать минимум функций (28) по величинам 
при условиях (26), (26ʹ), (26ʹʹ). Найденное значение минимума будет давать оценку погрешности формулы (5). Считая 
фиксированным, обозначим
Необходимые условия экстремума
Таким образом, мы решили одно из возможных решений системы (9)-(15). Остальные решения находятся аналогичным образом.
Литература:
1. Алифанов О. М. Экстремальные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1988. — 288 с.
2. Иванов А. П., Кирин Н. Е., Устинов В. Л. Сопряженные задачи в проблеме наблюдаемости линейных систем с распределенными параметрами // Динамика систем и управления: Межвузов.сб.науч.труд. — Саранск, 1986. — С. 69–75.
3. Иванов А. П., Кирин Н. Е. Сопряженные задачи теории управления. — Л.: изд-во ЛГУ, — 1988. — 88 с.
4. Кирин Н. Е., Рустамов М. Д. К задаче наблюдения процесса нагрева тел / ТГПИ. — Т., 1988. — 10 с. — Библиогр. 4 назв. — Рус.-Деп.в УзНИИНТИ 13.09.88, № 840-Уз.
5. Рустамов М., Эрназарова Н., Жабборов Х. К задаче наблюдения процесса нагрева тел / Молодой ученый. Ежемесячный научный журнал. — Россия, Чита: — 2014. — № 19. — С. 4–9.
