Проблема миграции населения одна из самых актуальных в мире на сегодняшний день. От ее разрешения во многом зависят возможности развития экономики рассматриваемых территорий и условия жизни будущих поколений. Рациональное размещение населения способствует эффективному функционированию экономики, сглаживает региональные противоречия, устраняет внутреннюю социально-экономическую напряженность. Для любого цивилизованного государства важно, чтобы не происходила чрезмерная концентрация населения и экономики в одних регионах и запустение в других. Знания в области закономерностей миграционных процессов и управления ими, а также взаимодействия миграции населения с различными сторонами общественного развития влияют на выработку стратегий экономической, демографической и миграционной политики.
На миграционные процессы влияет множество факторов, но особое значение имеют экономические, среди которых выделяют наличие рабочих мест, уровень заработной платы, жилищная обеспеченность и т. д. Также учитывается и случайный фактор, поскольку участниками миграционных процессов являются люди, обладающие собственными целями и интересами, предугадать которые невозможно.
Существующие миграционные модели исследованы недостаточно и не имеют конкретных предложений в реальных условиях. Поэтому представляется актуальным развитие и модификация известных моделей с учетом различных факторов, влияющих на миграцию, и разработка на основе них собственных методик и приложений, позволяющих моделировать миграцию населения регионов Беларуси.
Моделирование миграционного процесса на основе детерминированного подхода
Рассматриваемая модель для исследования динамики численности населения позволяет учитывать дополнительные факторы, описывающие экономические перспективы развития территории. Характеристики системы выражаются тремя переменными: 
объем выпуска продукции, производимой на данной территории, 
численность населения, 
средние цены на первичном рынке жилья.
Первые два показателя являются ключевыми при сравнительном анализе привлекательности территориального образования. Динамика третьего показателя также позволяет оценить перспективы развития территории, поскольку сравнительно резкое падение среднего уровня цен на первичном рынке жилья может свидетельствовать о снижении благосостояния населения и депрессивном характере экономики страны, а взлет цен может служить индикатором предстоящего оттока жителей, в основном молодежи, в места с более доступным жильем.
Будем полагать, что выпускаемая территорией продукция промышленности идет на удовлетворение потребительских нужд населения или экспортируется.
Развитие территории описывается динамической моделью [4], представляющей собой систему трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
(1)
Где 
положительные числа. Модель содержит девять параметров:
Коэффициент 
характеризует номинированный на душу населения спрос на продукцию, производимую на рассматриваемой территории. Параметр 
интерпретируется как уровень предложения продукции внутри территории. В соответствии с принятыми определениями 
отображает общий спрос жителей на выпускаемую продукцию, 
общий поток произведенной продукции на рынок рассматриваемой территории. Таким образом, первое уравнение системы (1) показывает, что скорость изменения производства продукции пропорциональна избытку спроса; если спрос превышает предложение, то производство имеет тенденцию к расширению, и наоборот. Параметр 
имеет смысл скорости установления. Цена на жилье в данной модели не влияет на уровень производства.
Второе уравнение модели описывает изменение численности населения территории. Коэффициент 
интерпретируется как спрос на труд со стороны фирм для производства единицы продукции. Следовательно, 
это общий спрос на данный ресурс на рынке труда рассматриваемой территории. Параметр 
задает отношение численности жителей, занятых в экономике территории или находящихся в поиске работы, к общей численности населения территории. Слагаемое 
характеризует общую величину предложения на рынке труда рассматриваемой территории, а разность 
описывает избыток спроса на труд, и, следовательно, определяет направление миграции. На уровень миграции влияет также уровень цен на жилье, так как люди стараются выбирать для проживания местность с невысокой стоимостью жилья. Член 
описывает это условие.
Третье уравнение системы (1) построено с учетом предположения о том, что на скорость изменения цены на жилье положительно влияют объем производимой на территории продукции и численность населения, и отрицательно влияет текущая величина цены на жилье. То есть при высоком уровне цен на рынке жилья дальнейшее увеличение цены затруднительно, а при низком уровне дальнейшее снижение цены сдерживается.
Интерпретация результатов моделирования на основе реальных данных
Для демонстрации возможностей рассмотренной модели применим описанный подход к анализу реальной ситуации, характерной для социально-экономического развития Республики Беларусь с 2009–2012г.г.
В качестве переменных модели рассматриваем следующие социально-экономические показатели, публикуемые Национальным статистическим комитетом Республики Беларусь [6]: X- объем валового внутреннего продукта, Y — численность населения, Z — средние цены на первичном рынке жилья.
Методика построения модели, описывающей социально-экономическое развитие Беларуси включает в себя следующие этапы:
1. Вычисление производных в уравнениях модели.
Для начала определяем временной период, за который будет производиться анализ системы, так для Республики Беларусь в дальнейшем будет рассматриваться период 2009–2012г.г
Далее для нахождения производных 
в уравнениях модели строим приближающую функцию 2-ой степени для динамики переменных 
, минимизируя отклонения от реальных значений, зафиксированных Национальным статистическим комитетом Республики Беларусь, методом наименьших квадратов. Затем в каждой точке, соответствующей рассматриваемым годам периода, вычисляем производную построенной функции. Данные вычисления производим на основе вычислительной системы Mathcad, распечатка представлена в Приложении 2.
2. Расчет коэффициентов модели.
2.1. Расчет коэффициентов, однозначно определяющихся из уравнений модели.
Опишем расчет таких коэффициентов, которые могут быть однозначно определены из уравнений модели.
Для первого уравнения в качестве члена будем рассматривать ВВП страны, в качестве
— значение фактического конечного потребления домашних хозяйств на территории страны (КПДХ). Таким образом, разница между ними будет показывать, насколько регион производит больше, чем потребляет. И эта разница определяет тенденцию к расширению производства. Чем она больше, тем выше скорость увеличения производства, и наоборот — чем меньше, тем ниже скорость.
Оба члена определяются по соответствующим показателям, публикуемым Национальным статистическим комитетом Республики Беларусь. Поэтому коэффициенты 
рассчитываются по формулам ниже:
Параметр 
, имеющий смысл скорости установления объема ВВП, определяем исходя из ранее определенных значений коэффициентов 
, и значения производной 
, расчет которой был представлен в пункте 1:
Рассмотрим второе уравнение, описывающее динамику изменения численности населения. В качестве члена 
, определяющего спрос на труд, будем рассматривать сумму экономически активного населения, занятого в экономике (работающие), и числа заявленных вакансий в органы службы занятости. В качестве
, выражающего предложение труда, — сумму работающего населения и числа безработных, зарегистрированных органами службы занятости. Значения перечисленных показателей публикуются Национальным статистическим комитетом Республики Беларусь. Таким образом, мы можем рассчитать коэффициенты 
:
2.2. Расчет коэффициентов, не определяющихся однозначно из уравнений модели.
Во втором уравнении такими коэффициентами являются 
, в третьем — 
. Данные коэффициенты определяют влияние членов уравнения на скорость изменения переменных модели и не могут быть однозначно определены из уравнений по статистическим данным.
Поэтому будем использовать следующий алгоритм их расчета. Так как наша динамическая модель предполагает, что с течением времени значения коэффициентов постоянны, то будем их находить из условия минимизации отклонений между ними на всем временном интервале. Поставленную задачу минимизации решаем с помощью вычислительной системы Mathcad.
3. Нахождение итоговых коэффициентов модели
Таким образом, на предыдущем этапе были определены значения всех коэффициентов модели за каждый год рассматриваемого периода. На данном шаге мы вычисляем среднее значение каждого коэффициента за весь период. Эти усредненные коэффициенты и будут определять модель для анализа социально-экономического развития страны.
4. Анализ построенной модели
Полученная модель с коэффициентами, рассчитанными на третьем этапе, определяет динамику развития страны по основным социально-экономическим показателям. Далее строим решение модели на всем рассматриваемом периоде, беря за начальные значения переменных — данные Национального статистического комитета Республики Беларусь на начало периода. После чего мы можем вычислить погрешность модели, сравнивая за каждый год полученное решение согласно модели и реальные значения переменных.
Применим теперь описанную методику к моделированию ситуации, характерной для социально-экономического развития Республики Беларусь за 2009–2012г.г.
Для определения производных по реальным данным за рассматриваемый период методом наименьших квадратов были построены приближающие функции:
Вычисляем производные за каждый год и коэффициенты модели, рассчитанные согласно методике на период 2009–2012г.г.
Как итог, находим средние значения коэффициентов модели (1), которые и будут определять динамику развития Республики Беларусь:
= 1,117427237
= 29,73409384
= 0,609681009
= 0,0001
= 0,231300968
= 0,492817797
= 0,0000000280
= 0,0000022812
= 0,89628659
Погрешность модели при этом составляет для переменной X- 6,39 %, для переменной Y- 0,026 %, для переменной Z — 10,518 %. То есть в среднем по модели по всем переменным 5,645 %.
Таким образом, мы показали, что рассмотренная нами модель и ее интерпретация, включающая разработанную методику определения коэффициентов, являются адекватными и хорошо воспроизводят реальные процессы в социально-экономическом развитии Беларуси и может быть использована для дальнейшего прогнозирования.
В частности, были проведены прогнозы численности населения на 2015 год. Численность населения составила 8435,688135 тыс. человек. Однако в долгосрочной перспективе прогноз численности населения не представляется возможным, так как на показатель влияет ряд внешних факторов, чье влияние в модели не учитывается.
Вывод
Таким образом, выполненное в данной работе математическое моделирование процесса миграции с учетом дополнительных факторов, характеризующих экономическое развитие страны, подтвердило возможность изучения процесса с помощью детерминированной динамической системы. Разработанная методика для интерпретации уравнений использованной модели в контексте проблем миграции населения и производства продукции позволяет применить полученные результаты для объяснения феномена развития страны.
Литература:
1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Наука, 1966.
2. Валентей Д. И., Кваша А. Я. Основы демографии — М.: «Экономика», 1989.
3. Зайончковская Ж. Методология и методы изучения миграционных процессов / Под ред. Зайончковской Ж., Молодиковой И., Мукомеля В. — М., 2007.
4. Занг В. Б. Синергетическая экономика. — М.: Мир, 1999.
5. Зиновский В. И. Регионы Республики Беларусь. Социально-экономические показатели — Национальный статистический комитет Республики Беларусь, 2014
6. Зиновский В. И. Статистический ежегодник Республики Беларусь — Нацио-нальный статистический комитет Республики Беларусь, 2014
7. Калиткин Н. Н. Численные методы / Под ред. Самарского А. А. — М.: Наука, 1978.
8. Плис А. И., Кливина Н. А. MathCAD: Математический практикум для экономистов и инженеров. — М.: Финансы и Статистика, 1999.
9. Национальная стратегия устойчивого социально-экономического развития Республики Беларусь на период до 2020 г.
