Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 30 ноября, печатный экземпляр отправим 4 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №2 (82) январь-2 2015 г.

Дата публикации: 19.01.2015

Статья просмотрена: 2534 раза

Библиографическое описание:

Баеков, Ш. Г. Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней / Ш. Г. Баеков. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2015. — № 2 (82). — С. 1-5. — URL: https://moluch.ru/archive/82/15086/ (дата обращения: 16.11.2024).

В данной работе выведены формулы для объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней. Полученные формулы могут быть использованы для решения различных задач, в частности при n=2 и n=3 в школьном курсе геометрии.

 

Для нахождения площади треугольника, стороны которого заданы уравнениями где  известна формула

,                                                                                                             (1)

где , а - алгебраическое дополнение элемента . [1, c. 54]

Лемма. Для невырожденной квадратной матрицы  порядка  выполняется следующее равенство

,

где - алгебраическое дополнение элемента

Доказательство. Используя невырожденность матрицы , получим:

Откуда следует:

Теорема 1. Пусть гиперграни n-мерного симплекса заданы уравнениями

,

тогда объем симплекса будет равен

                                                                                         (2)

где  и - алгебраическое дополнение элемента

Доказательство. Пусть – гипергрань симплекса в гиперплоскости, заданной уравнением  где , – вершины симплекса, причем для  выполняется условие

.

В частности для вершины получим:

Решая систему по формулам Крамера, найдем координаты вершины в виде:

.

Аналогично найдем координаты вершин, где :

.

Подставив координаты вершин, где , в известную формулу для объема n-мерного симплекса

,

получим:

.

Данное выражение преобразуем к более компактному виду:

Откуда, используя лемму и обозначения данной теоремы, получим искомую формулу (2):

или

Теорема 2. Пусть -гиперграни n-мерного параллелепипеда заданы уравнениями

где , причем, и параллельны между собой, тогда объем n-мерного параллелепипеда будет равен

                                                             (3)

где , где

Доказательство. Перейдем от координат  к новым координатам  по формуле:

.                                                                           (4)

Якобиан преобразования (4) имеет вид:

.

После преобразования (4) получим прямоугольный n-мерный параллелепипед, уравнения гиперграней  которого, имеют вид:

.

Объем этого параллелепипеда равен:

. (5)

Искомый объем и  связаны формулой:

.

Учитывая формулу (5), получим искомый объем  n-мерного параллелепипеда:

.

Полученные формулы (2) и (3) применяются при решении различных задач. Заметим, что применение формул (2) и (3) является более рациональным и избавляет от трудоемких вычислений по сравнению со стандартными методами решений.

Задача 1. Докажите формулу

для вычисления объем пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.

Задача 2. Докажите формулу

для вычисления объем пирамиды, ограниченной плоскостями  и .

Решение. При n=3 вычислим определители :

 

найдем объем данной пирамиды по формуле (2) при n=3:

Задача 1 получается из задачи 2, при .

Задача 3. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостями , ,  и

Решение. Вычислим определители :

или

Найдем объем пирамиды по формуле (3) при n=3:

 или .

Задача 4. Вычислить объем параллелепипеда, ограниченного плоскостями  , ,  и .

Решение. Применим формулу (3) при n=3, получим:

 или .

 

Литература:

 

1.                  В. А. Садовничий, А. С. Подколзин. Задачи студенческих олимпиад по математике. М.: Наука, 1978.

2.                  http://ru.wikipedia.org/wiki/simplex

3.                  http://ru.wikipedia.org/wiki/parallelepiped

4.                  http://ru.wikipedia.org/wiki/Jacobian

Основные термины (генерируются автоматически): формула, n-мерного параллелепипед, объем, n-мерного симплекс, алгебраическое дополнение элемента, задача, ограниченная плоскость, координата вершин, пирамида, решение.


Похожие статьи

Определение максимального прогиба прямоугольных пластинок

В статье на нескольких примерах показано, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы можно достаточно просто определять величину максимального прогиба прямоугольных пластинок со сложными граничными условиями, нагруженных равномерно распр...

Несобственные интегралы. Метод обратных координат

В данной статье представлена связь между несобственными интегралами первого рода и несобственными интегралами второго рода, а также особые приемы вычисления несобственных интегралов. Если имеется значение некоторого, не берущегося элементарно, несобс...

О квадратурных формулах, использующих значения производных заданного порядка

Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы для квадратур, использующие значения функции и ее производных до m-го поряд...

Нахождение k-error линейной сложности бинарной последовательности при помощи точных алгоритмов для частных случаев (k=0 и k=2^m, где m — целое число)

Данная работа посвящена исследованию задачи нахождения k-error линейной сложности бинарной последовательности. Написаны программы нахождения точного решения k-error линейной сложности для частных случаев.

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева

В работе в пространстве -функций, заданных на сфере и обладающих квадратично суммируемыми обобщенными производными порядка , вычислены нормы функционала погрешности весовой кубатурной формулы с производными. А также исследовано выражение нормы фу...

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

Рассмотрена задача интерполяции функции, заданной на регулярной сетке, для случая большого числа переменных. Предложена формула для интерполирующей функции в случае произвольного числа переменных n. Исследованы свойства интерполирующей функции и по...

Декомпозиционный метод решения линейной трехиндексной транспортной задачи

Метод последовательной модификации целевой функции, применяемый ранее для классической транспортной задачи, распространяется на случай трех индексов. В итерационном процессе решаются задачи с тремя ограничениями и одной связывающей переменной. Затем ...

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу заданной площади

В настоящей статье определяется положения плоскостей общего положения пересекающих поверхностей 2-го порядка (на примере трёхосного эллипсоида) по эллипсу на перёд заданной площади.

О построении формул аппроксимации периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита

Рассмотрена задача приближения периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы представления этих многочленов, которые используют значения функции и ее производных до n-го порядка включительно в заданной ...

О представлении функции многочленом, имеющим заданные значения производных на концах отрезка

Рассмотрена задача построения многочлена, приближающего заданную функцию с известными значениями ее самой и определенного набора ее производных на концах заданного отрезка. Получены явные формулы представления аппроксимирующего многочлена в различных...

Похожие статьи

Определение максимального прогиба прямоугольных пластинок

В статье на нескольких примерах показано, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы можно достаточно просто определять величину максимального прогиба прямоугольных пластинок со сложными граничными условиями, нагруженных равномерно распр...

Несобственные интегралы. Метод обратных координат

В данной статье представлена связь между несобственными интегралами первого рода и несобственными интегралами второго рода, а также особые приемы вычисления несобственных интегралов. Если имеется значение некоторого, не берущегося элементарно, несобс...

О квадратурных формулах, использующих значения производных заданного порядка

Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы для квадратур, использующие значения функции и ее производных до m-го поряд...

Нахождение k-error линейной сложности бинарной последовательности при помощи точных алгоритмов для частных случаев (k=0 и k=2^m, где m — целое число)

Данная работа посвящена исследованию задачи нахождения k-error линейной сложности бинарной последовательности. Написаны программы нахождения точного решения k-error линейной сложности для частных случаев.

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида над фактор-пространством Соболева

В работе в пространстве -функций, заданных на сфере и обладающих квадратично суммируемыми обобщенными производными порядка , вычислены нормы функционала погрешности весовой кубатурной формулы с производными. А также исследовано выражение нормы фу...

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

Рассмотрена задача интерполяции функции, заданной на регулярной сетке, для случая большого числа переменных. Предложена формула для интерполирующей функции в случае произвольного числа переменных n. Исследованы свойства интерполирующей функции и по...

Декомпозиционный метод решения линейной трехиндексной транспортной задачи

Метод последовательной модификации целевой функции, применяемый ранее для классической транспортной задачи, распространяется на случай трех индексов. В итерационном процессе решаются задачи с тремя ограничениями и одной связывающей переменной. Затем ...

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу заданной площади

В настоящей статье определяется положения плоскостей общего положения пересекающих поверхностей 2-го порядка (на примере трёхосного эллипсоида) по эллипсу на перёд заданной площади.

О построении формул аппроксимации периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита

Рассмотрена задача приближения периодических функций составными двухточечными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы представления этих многочленов, которые используют значения функции и ее производных до n-го порядка включительно в заданной ...

О представлении функции многочленом, имеющим заданные значения производных на концах отрезка

Рассмотрена задача построения многочлена, приближающего заданную функцию с известными значениями ее самой и определенного набора ее производных на концах заданного отрезка. Получены явные формулы представления аппроксимирующего многочлена в различных...

Задать вопрос