В данной работе выведены формулы для объемов n-мерного симплекса и n-мерного параллелепипеда через коэффициенты уравнений их гиперграней. Полученные формулы могут быть использованы для решения различных задач, в частности при n=2 и n=3 в школьном курсе геометрии.
Для нахождения площади треугольника, стороны которого заданы уравнениями где известна формула
, (1)
где , а - алгебраическое дополнение элемента . [1, c. 54]
Лемма. Для невырожденной квадратной матрицы порядка выполняется следующее равенство
,
где - алгебраическое дополнение элемента
Доказательство. Используя невырожденность матрицы , получим:
Откуда следует:
Теорема 1. Пусть гиперграни n-мерного симплекса заданы уравнениями
,
тогда объем симплекса будет равен
(2)
где и - алгебраическое дополнение элемента
Доказательство. Пусть – гипергрань симплекса в гиперплоскости, заданной уравнением где , – вершины симплекса, причем для выполняется условие
.
В частности для вершины получим:
Решая систему по формулам Крамера, найдем координаты вершины в виде:
.
Аналогично найдем координаты вершин, где :
.
Подставив координаты вершин, где , в известную формулу для объема n-мерного симплекса
,
получим:
.
Данное выражение преобразуем к более компактному виду:
Откуда, используя лемму и обозначения данной теоремы, получим искомую формулу (2):
или
Теорема 2. Пусть -гиперграни n-мерного параллелепипеда заданы уравнениями
где , причем, и параллельны между собой, тогда объем n-мерного параллелепипеда будет равен
(3)
где , где
Доказательство. Перейдем от координат к новым координатам по формуле:
. (4)
Якобиан преобразования (4) имеет вид:
.
После преобразования (4) получим прямоугольный n-мерный параллелепипед, уравнения гиперграней которого, имеют вид:
.
Объем этого параллелепипеда равен:
. (5)
Искомый объем и связаны формулой:
.
Учитывая формулу (5), получим искомый объем n-мерного параллелепипеда:
.
Полученные формулы (2) и (3) применяются при решении различных задач. Заметим, что применение формул (2) и (3) является более рациональным и избавляет от трудоемких вычислений по сравнению со стандартными методами решений.
Задача 1. Докажите формулу
для вычисления объем пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.
Задача 2. Докажите формулу
для вычисления объем пирамиды, ограниченной плоскостями и .
Решение. При n=3 вычислим определители :
найдем объем данной пирамиды по формуле (2) при n=3:
Задача 1 получается из задачи 2, при .
Задача 3. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостями , , и
Решение. Вычислим определители :
или
Найдем объем пирамиды по формуле (3) при n=3:
или .
Задача 4. Вычислить объем параллелепипеда, ограниченного плоскостями , , и .
Решение. Применим формулу (3) при n=3, получим:
или .
Литература:
1. В. А. Садовничий, А. С. Подколзин. Задачи студенческих олимпиад по математике. М.: Наука, 1978.
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/simplex