Основной задачей формальной логики является отделение правильных способов рассуждения от неправильных. Рассуждение можно считать верным лишь в том случае, если из истинных суждений — посылок нельзя получить ложное суждение — ложное заключение. Рассуждение, допускающее получение ложного заключения из истинных посылок, не только не расширяет наши знания об окружающем мире, но доставляет о нем неправильную информацию. Поэтому такие рассуждения недопустимы.
Совокупность общественной практики, являющейся критерием истинности получаемых суждений из имеющихся, вылилась в ряд правил, законов, которые зависят только от формы рассуждений, от взаимосвязей составных частей рассуждения, но не от их содержания. Отсюда понятна важность законов и правил вывода. О формах мышления и правилах вывода не ведется разговора ни в одном школьном предмете, хотя все предметы их широко используют. И это, вероятно, справедливо — не обязательно знать законы пищеварения, чтобы правильно переваривать пищу.
Говоря о логической составляющей в обучении учащихся остановимся на смысле фразы, что логика приводит мысли в порядок, выясним, какой смысл вкладывал М. В. Ломоносов в известные его слова о том, что математика ум в порядок приводит.
Установить порядок на некотором множестве объектов — значит пронумеровать их. Существуют определения строгого и нестрогого порядков. Можно установить порядок на множестве понятий и на множестве высказываний. Порядок на множестве понятий определяется с помощью отношения «предшествовать». Пример: понятие отрезок предшествует понятию многоугольник. Никакое понятие не предшествует самому себе. Порядок на множестве суждений можно установить с помощью отношения «следовать», «быть следствием». Теорема о вписанном угле треугольника следует из теоремы о сумме углов треугольника. Отношение «предшествовать» — отношение строгого порядка, отношение «следовать» — пример отношения нестрогого порядка.
Дедуктивное (аксиоматическое) построение курса математики и есть наведение порядка на множестве понятий и суждений.
Почему важно, чтобы имеющаяся в голове человека информация была упорядочена? На этот вопрос ответ можно найти в работе А. А. Столяра «Педагогика математики»: «Эта информация может оказаться в уме человека неупорядоченной, т. е. размытые знания — изолированными, несвязанными между собой и поэтому малоэффективными в качестве исходного материала для получения новых знаний. Во-вторых, возможно также, эта информация будет лежать «мертвым грузом», т. е. заполнять лишь память человека, но не преобразовываться им, не использоваться для получения новых знаний логическим путем, с помощью рассуждений».
Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те логические действия, которые выполняются учащимися, изучающими дедуктивно построенный математический курс. Номенклатура умений может быть упорядочена следующим образом:
Учащиеся должны уметь:
- формулировать определения понятий с использованием различных связок и кванторов;
- приводить примеры понятий, подводить объекты под определения различных логических конструкций;
- приводить контр примеры, т. е. строить отрицание определений различных логических конструкций;
- понимать отношения между двумя понятиями;
- проводить классификацию известных понятий;
- понимать свойства конкретных отношений — рефлективность, симметричность, транзитивность — без употребления соответствующей терминологии;
- понимать смысл терминов «следует», «следовательно», «если..., то.»..;
- выделять условия и заключения теоремы;
- строить отрицание утверждений различной структуры;
- различать свойства и признаки понятий;
- понимать смысл доказательства, различать правдоподобные и дедуктивные рассуждения;
- уметь проводить полученное доказательство;
- понимать эквивалентность отдельных определений, доказывать это в отдельных случаях;
- понимать смысл терминов «хотя бы один», «не более», «не менее», «все», «некоторые»;
- использовать отдельные методы доказательства — метод от противного, полную индукцию, доказательства методом исключения;
- понимать основные принципы построения дедуктивной теории.
Овладение перечисленными действиями по упорядочиванию изучаемого материала и является содержанием проблемы развития логического мышления.
Для решения задач развития логического мышления не требуется включения в курс дополнительного математического материала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале. Организационным фактором, направляющим в этом случае процесс развитии, является усваиваемое содержание предмета. Рассмотрим пример развитие логического мышления в геометрии.
Основными задачами курса геометрии являются:
- систематическое изучение основных фактов геометрии, методов их получения и возможностей их применения;
- развитие умений и навыков учащихся, обеспечивающих применение полученных знаний для изучения смежных дисциплин и в сфере производства;
- развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся.
При этом основой для развития пространственного воображения и логического мышления учащихся является овладение ими основными фактами и методами геометрии.
В высказываниях ряда ученых и в учебниках, написанных ими, можно заметить определенные акценты, которые они делают на отдельных задачах преподавания геометрии в школе. Так, у академика А. Д. Александрова — это «лед и пламень» органического единства строгой логики и живого восприятия реального мира.
Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать».
Стремлением к форсированному развитию логического мышления учащихся обусловлено в его учебнике «основное учебное требование» доказывать все, особенно в начале обучения; повышенное внимание к строгости доказательств «очевидных» фактов; широкое использование способа доказательства от противного с первых шагов обучения; сознательный отрыв мышления от чертежа как «эффективное обучающее средство». Приведем пример упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала.
ПРИМЕР: При изучении равнобедренного и равностороннего треугольника наряду с другими заданиями можно предложить учащимся следующие вопросы:
— Верно ли сформулировано определение: треугольник, у которого две стороны равны и два угла равные, называется равнобедренным?
— Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?
— Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники являются равносторонними?
— Какими могут быть неравносторонние треугольники?
— Верно ли сформулировано предложение: биссектриса угла равнобедренного треугольника является его медианой и высотой?
Основная работа для развития логического мышления должна вестись с задачей. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Однако что зачастую наблюдается на практике? Учащимся предлагается задача, они знакомятся с нею и вместе с учителем анализируют условие и решают ее. Но извлекается ли из такой работы максимум пользы? Нет. Если дать эту задачу через день-два, то часть учащихся может вновь испытывать затруднения при решении.
Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей, которые классифицированы и детально рассмотрены в работе З. И. Слепкань «Методика преподавания математики». Это:
1. Работа над решенной задачей. Многие учащиеся только после повторного анализа осознают план решения задачи. Это путь к выработке твердых знаний по математике. Конечно, повторение анализа требует времени, но это окупается.
2. Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решению задач разными способами в основном из-за нехватки времени. А ведь это умение свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Кроме того, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем. Считаю, что это доступно не всем учащимся, а лишь тем, кто любит математику, имеет особые математические способности.
3. Правильно организованный способ анализа задачи — с вопроса или от данных к вопросу.
4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать «картинку»). Учитель обращает внимание детей на детали, которые нужно обязательно представить, а которые можно опустить. Мысленное участие в этой ситуации. Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.
5. Самостоятельное составление задач учащимися.
6. Решение задач с недостающими или лишними данными.
7. Изменение вопроса задачи.
8. Составление различных выражений по данным задачи и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи.
9. Объяснение готового решения задачи.
10. Использование приема сравнения задач и их решения.
11. Запись двух решений на доске — одного верного и другого неверного.
12. Изменение условий задачи так, чтобы задача решалась другим действием.
13. Закончить решение задачи.
14. Какой вопрос и какое действие, лишние в решении задачи (или наоборот, восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче.)
15. Составление аналогичной задачи с измененными данными.
16. Решение обратных задач.
На первых порах при решении каждой задачи следует использовать иллюстрации, которые помогут выбору арифметического действия, а позднее достаточно выполнить краткую запись задачи сначала под руководством учителя, а потом самостоятельно, анализируя при этом задачу.
Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида.
Для закрепления умения решать задачи надо предлагать решать их по представлению без использования наглядных пособий. Полезно выполнять упражнения по составлению и преобразованию задач. Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Так, содержание многих задач, решаемых в школе, отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области техники, науки, культуры, исторические факты.
Литература:
1. Заг А. В. Как определить уровень мышления школьников.
2. Поспелов Н. Н., Поспелов И. Н. Формирование мыслительных операций у школьников. М.: Просвещение, 1989.
3. Столяренко Л. Д. Основы психологии. 3-е издание. М., 1999.
4. Бабанский, Ю. К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. — Москва: Просвещение, 1985.
5. Гетманова, А. Д. Учебник по логике / А. Д. Гетманова. — Москва: Владос, 1995.
6. Гик, Е. Я. Занимательные математические игры / Е. Я. Гик. — Москва: Знание, 1987.
7. Дышинский, Е. А. Игротека математического кружка / Е. А. Дышницкий. — Москва: Наука, 1972.
8. Гусев, Д. А. Искусство правильного мышления / Д. А. Гусев. — Москва: НЦ ЭНДС, 2003.
9. Столяр А. А. Педагогика математики. Минск: Высшая школа. 1974.
10. Слепкань З. И. Психолого — педагогические основы обучения математики. Методическое пособие. Киев.рад.шк. 1983.
