Существует множество различных классификаций задач, но одна из них почти не находит отражения в действующих учебниках за редкими исключениями. Речь идёт о классификации по характеру условия задачи — определённые, неопределённые и переопределённые.
Учащимся преимущественно предлагаются задачи определённые, т. е. задачи, содержащие в условии ровно столько данных, сколько их требуется для получения ответа, не больше и не меньше. На наш взгляд, это не совсем правильно. Целью любого педагога стоит научить работать с задачей, а это подразумевает:
1) Составлять математическую модель задачи исходя из различных условий;
2) выбирать необходимые для решения величины из множества данных и осуществлять вариативный поиск данных, недостающих для решения задачи;
3) решать полученную математическую задачу;
4) анализировать найденные решения, сравнивать их, выбирать наиболее экономичные;
5) дать правильный ответ согласно условию задачи, так сказать, выход из математической модели.
В основном в процессе обучения выполняется лишь третий пункт, выделенных нами умений. Ученики редко задумываются над всеми данными, а анализу результата вообще не уделяют времени. Например, если вспомнить о задачах неопределённых и переопределённых, то таких в современных учебниках насчитывается не более полупроцента, да и тех учителя чаще всего не замечают.
Приятным исключением из указанного правила является учебник Н. М. Рогановского «Геометрия 7–9». Его автор предлагает задачи под рубриками, среди которых есть и такие: «Все ли возможные случаи рассмотрены?", «Достаточно ли данных для решения задачи?", «Сколько решений имеет задача?" и т. п. Естественно, задачи, предлагаемые под этими рубриками, соответствуют поставленному вопросу, т. е. имеют несколько вариантов реализации условия, несколько возможных путей решения, и количество данных в условии не обязательно является необходимым и достаточным для получения ответа.
В большинстве случаев у авторов других учебников такие задачи не встречаются. Однако, многие известные педагоги — исследователи считают использование таких задач полезным и необходимым. Например, В. А. Крутецкий в своей книге «Психология математических способностей школьников» приводит такую классификацию:
1. Задачи с несформированным условием — задачи, в которых имеются все данные, но вопрос задачи лишь подразумевается.
2. Задачи с избыточным условием — задачи, в которых имеются лишние данные, не нужные для решения, а лишь маскирующие необходимые для решения задачи данные.
3. Задачи с неполным составом условия — задачи, в которых отсутствуют некоторые данные, необходимые для решения задачи, вследствие чего дать конкретный ответ на вопрос задачи не всегда представляется возможным.
4. Задачи с противоречивым условием — задачи, содержащие в условии противоречие между данными.
В. А. Крутецкий описывает исследование, которое он с группой исследователей проводил во многих школах в течение 12 лет с 1955 по 1966 годы. Исследователи использовали задачи различных типов, среди которых были и приведённые в этой классификации, в качестве тестовых заданий для выявления психологических аспектов математических способностей школьников. По результатам этого исследования получилось, что сильные ученики справляются с задачами указанных типов практически самостоятельно, быстро, практически без помощи испытателя. Ученики средних способностей также неплохо справляются с подобными заданиями, однако для их решения им требуется больше времени и иногда наводящий вопрос, наталкивающий на решение. Слабые ученики практически не могли самостоятельно провести решение этих задач, не видели связи между объектами задачи, и даже с подсказкой испытателя не могли справиться с заданием. Следует отметить, что именно с указанными типами задач исследователи связывали наибольшие надежды.
В книге Д. Пойа «Как решать задачу» приводится похожая классификация, отличающаяся лишь тем, что в ней отсутствуют задачи с несформированным составом условия. Более того, в своей таблице, направленной в помощь решателю, Д. Пойа первыми пунктами поставил вопросы: Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? или недостаточно? или чрезмерно? или противоречиво? Вроде бы Пойа предполагает решение самых обычных, школьных задач, однако он не исключает возможности наличия некоторых «аномалий» в условии задачи, к существованию которых ученики должны быть готовы.
П. М. Эрдниев в своей книге «Преподавание математики в школе» предлагает использовать в обучении математике задачи с неполным составом условия ещё с младших классов, причём он считает, что использование таких задач (деформированных примеров, как он их называет) позволяет проводить обучение опережающими темпами, с их помощью можно коренным образом изменить мыслительные процессы решающего, превратив их в более сложные, более содержательные и потому лучше развивающие способности ученика.
У Н. В. Метельского встречается такая классификация задач. Между условием задачи (А) и её требованием (X) может быть различное соотношение, определяющее число решений. Обычно школьная задача имеет одно или несколько определённых решений и потому называется определённой. Этот тип задачи условно можно изобразить формулой импликации А = > X, которую будем понимать так, что условие А содержит достаточно и только достаточно данных для выполнения требования X.
Если из условия А какое — либо данное опустить, то получим неопределённую задачу. Она имеет бесконечное множество решений, зависящих от бесконечного множества значений той величины (параметра), которой принадлежало значение, выброшенное из условия.
Наконец, условие может содержать, кроме А, некоторое дополнительное данное, и тогда задача называется переопределённой. В частном случае это «лишнее» данное может вытекать из тех, что уже имеются в задаче, и тогда задача оказывается определённой задачей.
В остальных случаях переопределённая задача не имеет решения, поскольку её данные противоречат друг другу, несовместимы.
Основные функции задач в обучении выполняют определённые задачи, однако известную пользу, по мнению Н. В. Метельского, приносит учащимся знакомство с неопределёнными и переопределёнными задачами. Задачи из рассматриваемой классификации полезны тем, что: они не обладают алгоритмичностью решения, они активизируют умственную деятельность учащихся, заставляют их искать нестандартные подходы к решению задач, а также допускают как несколько способов решения, так и несколько решений вообще.
В подтверждение этого мнения интересные факты приводит в своей статье «Остроугольный или тупоугольный?" И. Дегтянникова. Она пишет: «Решая задачу, часто даже не задумываемся о реальности её условия. Поэтому правы те авторы, которые включают в свои учебники задачи с нереальными условиями. Это заставляет проверять условия у всех задач. Кроме того, нереальные задачи — это готовая проблемная ситуация».
Отсутствие указанных задач в школьных учебниках приводит к тому, что и учителя не ориентируют свои умения на такие задачи, в результате чего их педагогическая подготовка содержит изъяны. В заметке В. З. Игнатенко пишет об ошибке, найденной в учебнике Л. С. Атанасяна «Геометрия 7–9». В этом учебнике на с. 135 приведена задача 536 (б). Вот её текст: «Отрезок ВD является биссектрисой треугольника АВС Найдите ОС, если АВ = 30, АD = 20, ВD= 16 и Ð ВDС = ÐС». Вроде бы ничего особенного в этой задаче нет. Однако автор, проведя решение двумя различными способами, заметил, что ответы в них не совпадают. Попытка смоделировать треугольник с данными, указанными в задаче, показала, что данные содержали противоречие. Оказывается, маститые авторы популярного учебника, включив противоречивую задачу в свой учебник, не заметили её противоречивости, как не замечали её и тысячи учителей, несколько лет работавших по этому учебнику.
Итак, анализ литературных источников выявляет важную для математического образования проблему: многие педагоги — исследователи указывают на целесообразность использования в обучении задач с «аномальными» условиями, а авторы учебников на это указание почти не реагируют.
Литература:
1. Акимова И. В., Буркина В. А., Титова Е. И. Моделирование задач с аномальным условием и методика пути поиска их решения // Современные проблемы науки и образования. — № 1, 2014г.
2. Буркина В. А., Титова Е. И. Методика работы с аномальными задачами// Молодой ученый. 2014. № 2 (61). С. 740–741.
3. Титова Е. И., Чапрасова А. В. Различные трактовки понятия «задача» и методика их решения// Молодой ученый. 2014. № 6 (65). С. 760–762.
4. Титова Е. И., Романкова А. А. Неопределенные задачи в школьном курсе математики// Вестник магистратуры. 2014. № 6–1 (33). С. 128–129.
