В статье были рассмотрены задачи и математические модели оптимизации в математике и информатике. Оптимизация, в общем смысле, является поиском максимума и минимума в определенной области конечномерного векторного пространства, ограниченной, в свою очередь, набором линейных и нелинейных равенств или неравенств.
Ключевые слова: оптимизация, задачи, модели, система, моделирование, свойства, структура, планирование, проектирование, элементы.
Оптимизация (от лат. optimus — наилучший) представляет из себя процесс, в котором увеличивается количественная характеристика желательного свойства объекта или уменьшается количественная характеристика нежелательного свойства. Теория оптимизации является разделом математики, который посвящен исследованию экстремальных значений функций, а также количественному их определению.
В современном мире методы оптимизации достаточно эффективно используются в различных областях человеческой деятельности. Особенно важные успехи были достигнуты при проектировании, прогнозировании и анализе довольно больших технических систем, прежде всего в экономике и организации производства.
В общем понимании теория оптимизации представляет из себя сумму численных методов и фундаментальных математических результатов, ориентированных в первую очередь на поиск и идентификацию наиболее лучших вариантов из большого количества альтернатив и позволяющих избежать перебора и оценивания всех возможных вариантов. В большей степени эффективность оптимизационных методов, позволяющих сделать выбор лучшего варианта без проверки всех возможных вариантов связанных с достаточно широким использованием достижений в математики: теории матриц, элементов нелинейной и линейной алгебры и дифференциального исчисления, а также положений математического анализа.
С точки зрения математической постановки, сами задачи оптимизации относятся напрямую к задачам математического программирования. Наиболее важным этапом исследования явлений, предметов и процессов является их систематизация. Итогом систематизации является классификация. Классификация осуществляется по определенным признакам: содержание задачи, область применения, класс математической модели.
Приложение методов оптимизации довольно обширное:
– проектирование процессов и структурных элементов систем;
– планирование стратегий вложений;
– определение оптимальных графика и маршрутов передвижения грузового транспорта;
– проектирование составных сооружений и частей машин;
– планирование и анализ функционирования уже существующих систем;
– инженерный анализ и обработка больших объёмов информации;
– управление динамическими системами.
Области возможного применения задач оптимизации включают:
– организацию и управление — оптимизация распределения ресурсов (сырьевых, трудовых, энергетических, основных фондов);
– проектирование и исследование — оптимизация параметров объекта проектирования, структуры объекта проектирования, функционирования;
– разработка технологических процессов — оптимизация маршрута изготовления изделия и параметров технологических процессов.
В процессе решения задач используются разные математические модели, которые классифицируются по определенным элементам: исходным данным (также исходные данные называют случайными величинами), зависимостям, искомым переменным, описывающим целевую функцию и ограничения. Исходные данные, которые заданы определенными величинами, называют детерминированными. Переменные могут быть дискретными и непрерывными. Непрерывными являются величины, которые в заданном интервале могут принять разные значения. Дискретными (или целочисленными) называют такие величины, которые могут принимать только целые значения.
Зависимости между переменными могут быть как линейными, так и нелинейными. В линейные зависимости входят в первой степени переменные, но в них нет произведений переменных. В нелинейных зависимостях переменные имеют разные степени, и они могут быть трансцендентными.
Элементы структуры математической модели:
– исходные данные — детерминированные и случайные;
– искомые переменные — непрерывные и дискретные;
– зависимости — линейные и нелинейные.
Сочетание различных элементов модели требует разного рода методов решения оптимизационных задач. Оптимизация по форме целевой функции связана напрямую с определением минимума или максимума функции. Задачи по наличию ограничений могут быть как условной, так и безусловной оптимизации.
Литература:
- Гребенникова, И. В. Методы оптимизации: учебное пособие / И. В. Гребенникова. — Екатеринбург: УрФУ, 2017. — 148 с.
- Ибятов Р. И. Методы оптимизации в задачах математического моделирования: методические указания для лабораторных и самостоятельных работ. — Казань: Изд-во Казанского ГАУ, 2016–32 с.
- Козлов В. Н. Системный анализ, оптимизация и принятие решений: учебное пособие. — Москва: Проспект, 2010. — 176 с.
- Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач / И. В. Орлова. — Москва: Вуз. учеб., 2008. — 143 с.
- Попов В. И., Касвенов В. С., Савченко И. П. Системный анализ в менеджменте: учебное пособие; под ред. В. И. Попова. — М.: КНОРУС, 2007. — 304 с.
- Санников А. А., Куцубина Н. В. Системный анализ при принятии решений: учебное пособие. — Екатеринбург: Урал. гос. лесотехн. ун-т, 2015. — 137 с.
