Основные виды кинетических процессов (набор прочности; изменение модуля упругости; контракция и усадка; нарастание внутренних напряжений; тепловыделение; изменение водопоглощения, водостойкости и химической стойкости и др.) формально описываются идентичными кинетическими уравнениями, а именно, решениями задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка [1…3]. Правда, как показывает практика, рассмотренные кинетические модели не всегда можно использовать для описания процессов в полидисперсных композиционных материалах. При их описании можно воспользоваться методами ретроспективной идентификации процессов по данным нормального функционирования (по синхронным измерениям фазовых координат в процессе нормальной эксплуатации).
Кинетические процессы второго порядка (увеличение порядка, не меняя сути, лишь усложняет техническую реализацию) можно описать уравнением вида:
, 
. (1)
Если хотя бы одно из чисел 
не равно нулю, то матрицу B можно записать виде 
. Действительно, при 
, 
обозначим 
снова через u;если 
, 
, то обозначим 
через u, перенумеруем уравнения и координаты 
системы. Каноническим видом матрицы В будет вектор-столбец 
. Изменив масштаб, коэффициент усиления всегда можно привести к 1. Если ни одно из чисел не является нулем, то каноническое по управлению представление можно получить, используя невырожденное линейное преобразование с матрицей С:
, 
(2)
(из не вырожденности матрицы С следует наблюдаемость системы).
Вид матрицы 
зависит от выбора матрицы С. В частности: =
, если
. Произведя масштабирование u, получим канонический вид . При выборе матрицы С возможен некоторый произвол (два свободных параметра). В общем случае каноническое по управлению представление системы (1) будет иметь вид
,
, 
, 
(3)
Собственные числа матриц А и D одинаковы (следует из общей теории линейных операторов: матрицы А и D — подобны). Здесь
,
;
. (4)
Возможны три принципиально различных случая.
1. 
- вещественные собственные числа матрицы А и им соответствуют два линейно независимых вектора (в случае
имеем 
).
Пусть 
, 
— собственные векторы; 
.
Заменой 
система (1) приведется к виду
,
. (5)
Возможны случаи:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
(учтена возможность перенумерации 
).
2. Если 
и 
преобразование Q определится через собственный вектор 
и присоединенный 
: 
. При этом матрица (основная) системы преобразуется к виду 
.
Качественно различных систем здесь три: 7) 
; 8) ; 9) 
; 6) и 9) отличаются структурой матрицы 
.
3. - комплексно сопряженные. Систему (1) можно записать в виде (5), но уже в комплексифицированном пространстве.
Качественно различных систем здесь три: 10) 
; 11) 
; 12) 
.
Если — вещественные (если 
, то должно быть 
), то:
1) эквивалентно
, 
(
, 
);
2) 
эквивалентно, 
;
3) 
эквивалентно
, ;
4) 
эквивалентно, 
;
5) 
эквивалентно
, ;
6) 
эквивалентно
, .
При 
; 
:
7) эквивалентно ; 8) 
эквивалентно ; 9) эквивалентно .
Наконец, если — комплексно-сопряженные, 
, то:
10) эквивалентно ; 11) эквивалентно ; 12) эквивалентно .
Приведенная классификация систем по матрице А хоть и грубая, но связана с устойчивостью и неустойчивостью нулевого решения (принципиальная и важная классификация) системы 
.
Не лишне указать алгоритм построения оптимальной матрицы обратной связи для системы уравнений второго порядка (аналогичной будет и общая схема построения таких матриц для произвольных конечномерных систем; технические трудности при этом, естественно, возрастают). После преобразования, канонического по управлению, система общего вида преобразуется к виду:
;
;
; 
;; ,
При : 
.
Параметры 
и 
оптимальной матрицы обратной связи 
должны выбираться из условий минимума функционала 
(
) (собственные числа матрицы подставляются в функционал Ф [1], а затем p и q выбираются из условия минимума Ф). Имеем: 
, 
;
— собственные числа матрицы (
и 
— след и определитель матрицы А совпадают со следом 
и определителем 
матрицы D, как инварианты при невырожденных преобразованиях координат).
Пришли к задаче минимизации функции 
при ограничениях на координаты 
и энергию управляющих воздействий 
:
, 
. (6)
При выборе р и q величины 
и 
предполагаются наименьшими. Задача легко решается для систем, если коэффициент 
по абсолютной величине мал по сравнению с 
. Алгоритм минимизации функции 
при условии (6) значительно упрощается: 
минимизируется при 
; если при выбранном q значение 
можно сделать равным нулю, то задача решена, если нет, то выбрав шаг 
, следует минимизировать , осуществляя выбор q для значений 
; k=0,1,2,…, (
).
Приведенные методики успешно использовались при разработке композиционных материалов специального назначения [4,5].
Литература:
1. A.Danilov, I.Garkina. Systems approach to the modeling and synthesis of building materials Contemporary Engineering Sciences, Vol. 8, 2015, no. 5, 219–225. http://dx.doi.org /10. 12988/ces.2015.517.
2. I.Garkina. Modeling of kinetic processes in composite materials. Contemporary Engineering Sciences, Vol. 8, 2015, no. 10, 421–425. http://dx.doi.org/10.12988/ces.2015.5258.
3. Данилов А. М., Гарькина И. А., Сорокин Д. С. Логико-методологические модели при синтезе композиционных материалов // Региональная архитектура и строительство. — 2015. — № 1(22). — С.23–28.
4. Данилов А. М., Гарькина И. А., Дулатов Р. Л. Ретроспективная идентификация сложных систем // Региональная архитектура и строительство. — 2015. — № 1(22). –С.130 -136.
5. Тюкалов Д. Е., Данилов А. М. Формирование критериев динамического подобия модели реальному объекту / Молодой ученый. — 2015. — № 4(84). — С.278–280.
