В работе рассматривается модельный дискретный оператор Шредингера 
описывающий системы трех квантовых частиц, движущихся на одномерной решетке и взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Построен аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для собственных функций оператора .
Ключевые слова: дискретный оператор Шредингера, нелокальный потенциал, уравнение Фаддеева, операторное уравнение, определитель Фредгольма, класс Гильберта-Шмидта.
Исследованию существенного спектра непрерывных и дискретных операторов Шредингера посвящены многие работы (см. например [1,2] и [3,4], соответственно). При этом один из основных инструментов при изучении существенного и дискретного спектра многочастичного оператора Шредингера является аналог уравнения Фаддеева и его симметризованный вариант. Заметим, что потенциалы, рассматриваемые в работах [3,4] являются локальными, т. е. операторами умножения на функцию в координатном представлении.
В настоящей статье изучен модельный дискретный оператор Шредингера описывающий системы трех квантовых частиц, движущихся на одномерной решетке и взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов [1,2]. Отметим, что для многочастичных гамильтонианов нелокальные потенциалы в импульсном представлении являются частично-интегральными операторами. Построен аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для собственных функций оператора .
Пусть 
— 
-мерный тор с соответствующим отождествлением противоположных граней и 
гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) симметричных функций, определенных на 
В гильбертовом пространстве 
рассмотрим модельный дискретный оператор Шредингера действующий по формуле
где 
— оператор умножения на функцию 
в 
:
,
a 
, 
— нелокальные операторы взаимодействия вида
, 
,
.
Здесь 
и 
произвольные вещественные постоянные.
При этих предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве 
.
Приведем несколько основных обозначений, которые будут применяться на работе. При каждом фиксированном 
определим регулярные в области 
функцию
,
где функции 
, 
определены следующим образом:
, 
, 
,
а числа 
и 
определяются равенствами
, 
.
Пусть 
— множество тех точек 
для которых равенство 
имеет место хотя бы для одной и 
. Обозначим через 
единичный оператор в 
и положим
, 
При каждом 
вводим блочно-операторные матрицы (размера 
) 
и 
действующие в пространстве 
по формулам
и 
где 
— оператор умножения на функцию 
,
а операторы 
— интегральные операторы с ядрами 
переменная интегрирования)
, 
.
Заметим, что при каждом 
интегральные операторы 
принадлежат классу Гильберта-Шмидта, следовательно, 
является компактным оператором.
Отметим, что при каждом 
оператор обратим, поэтому для таких 
мы можем определить оператор вида 
Следующая теорема устанавливает связь между собственными значениями операторов и 
Теорема 1. Число 
является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда оператор 
имеет собственное значение, равное единице, и их кратности совпадают.
Доказательство. Пусть 
собственное значение оператора и 
— соответствующая собственная функция. Тогда функция 
удовлетворяет уравнению 
или
. (1)
Так как 
, при всех 
имеет место соотношение 
. Поэтому из уравнения (1) для имеем равенство
(2)
где
(3)
Подставляя выражение (2) для в системе обозначений (3), получим, что система уравнений
или
;
;
;
.
или же матричное уравнение
(4)
имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение (1) имеет нетривиальное решение и линейные подпространства, порожденные решениями уравнений (1) и (4), имеют одинаковые размерности.
При каждом 
оператор обратим, и следовательно, уравнение 
т. е. уравнение 
имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение (4) имеет нетривиальное решение. Здесь также линейные подпространства, порожденные решениями уравнений (4) и 
имеют одинаковые размерности. Теорема доказана.
Замечание. Отметим, что операторное уравнение 
обычно называется аналогом уравнения Фаддеева для собственных функций оператора .
Один из важных применений уравнения Фаддеева для собственных функций оператора можно видит при доказательстве включение 
, см. [4]. Ещё другое важное применение симметричного варианта этого уравнения можно наблюдать при доказательстве конечности или бесконечности дискретного спектра оператора .
Литература:
1. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов, Москва: Мир, 1982 г.
2. Г. М. Жислин. Исследование спектра оператора Шредингера для системы многих частиц // Труды Московского математического общества. — 1960, — V. 9, — C. 81–120.
3. S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics // Ann. Henri Poincare. — 2004, — V. 5, — P. 743–772.
4. С. Н. Лакаев, М. Э. Муминов. Существенный и дискретный спектр трехчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика, — 2003, — Т. 135, — № 3, С. 478–503.
