Об одном применение леммы Морса

В настоящей работе изучается обобщенная модель Фридрихса. На примере рассматриваемого оператора, с помощью леммы Морса получено разложение соответствующего определителя Фредгольма.

Ключевые слова: обобщенная модель Фридрихса, пространство Фока, определитель Фредгольма, лемма Морса.

Поведения определителя Фредгольма для двухчастичного дискретного оператора Шредингера изучены в работах [1–3], a для семейства модели Фридрихса с одномерным возмущением, которые ассоциированы с системой двух частиц на решетке изучен в работах [4,5]. Как известно, что некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств обобщенной модели Фридрихса [6,7]. Поэтому изучение поведения определителя Фредгольма для обобщенной модели Фридрихса играет важную роль в современной математической физике. При этом лемма Морса о локальном приведении гладкой вещественнозначной функции к каноническому виду в окрестности невырожденной критической точки является основным инструментом. Это лемма красива сама по себе и важна в приложениях. Лемма Морса является один из основных результатов теории Морса, названной по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американским математиком Х. К. М. Морса (1892–1977).

Ради удобства для читателей сначала сформулируем лемму Морса [8].

Лемма Морса. Пусть - открытое множество, функция принадлежит классу  и  невырожденная критическая точка этой функции. Тогда существует диффеоморфизм отображающее некоторое окрестность точки в окрестность  точки такое, что

для любых .

Пусть - трехмерный тор, - одномерное комплексное пространство, - гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Обозначим через  прямую сумму пространств  и , т. е.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса , действующую в гильбертовом пространстве  по формуле

;

Здесь  и -вещественнозначные непрерывные функции на , а функция -вещественнозначная непрерывная симметрическая функция на . Очевидно, что оператор  ограничен и самосопряжён в

Отметим, что обобщенная модель Фридрихса обладает основными спектральными свойствами двухчастичного дискретного оператора Шредингера (см. например [9]). По этой причине гильбертово пространство  называется двухчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства, а обобщенная модель Фридрихса  называется гамильтонианом системы с не более чем двумя частицами на решетке.

Для точной формулировки нужного нам результата, приведем несколько условий:

 Условие 1. a) Функция  является четной в  по совокупности переменных  имеет единственный невырожденный минимум в точке  и все частные производные четвертого порядка функции  непрерывны в ;

б) Существуют положительно определенная матрица , числа  такие, что

Из условие 1 вытекает, что

Условие 2. Функции и  четны, а также функция  имеет единственный минимум в точке

Замечание 1. Условия 1–2 выполняются в случае, когда

где функция  определена по формуле

При каждом фиксированном определим регулярную в  функцию (определитель Фредгольма, ассоциированный с оператором )

где числа и определяются следующим образом:

В силу условие 1 функция  имеет единственный невырожденный минимум в точке   а функция  является аналитической на  по предположению, поэтому существует конечный интеграл

.

Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега следует, что

Положим

Теперь сформулируем результат о разложении определителя Фредгольма.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1–2. Существует число , такое, что для любых  и  имеет место представление

где при  и  при  равномерно по

Доказательство. Пусть функция  определена в  как

,

где  и для любого  точка  является точкой невырожденного минимума.

При каждом  определим аналитическую функцию  в  по формуле

Так как в силу определение функции  условие 1,2 получим, что функция принадлежит классу  для любых

Пользуясь разложением

при  получим, что существует число  такое, что при всех  и  имеет место неравенства

В силу теоремы Лебега о предельном переходе имеем

Применяя лемму Адамара получим, что

где при каждом  функция  является непрерывной в и

В силу неравенств (1) и (2) имеем

для любых  равномерно по .

При каждом  функция  является четной в  и поэтому

Таким образом, при каждом  функция  принадлежит классу  и имеет место разложение  где  при равномерно по .

Теперь докажем, что существует правая производная от  в точке  и имеет место оценка

для некоторого

Действительно, функцию  можно представит в виде

где

, .

Так как функция  является непрерывной в компактном множестве

и имеет единственный минимум в точке  существует число  такое, что  для любых . Тогда из  вытекает, что

для некоторого

Рассмотрим следующий разность

Функция имеет единственный невырожденный минимум в точке .

Следовательно, в силу леммы Морса существует взаимно-однозначное отображение

 из  в некоторое окрестность  точки  такое, что

                                                                                                           (7)

где  и для Якобиана  отображении  имеет место равенство  В интеграле (6) делая замену переменных  и пользуясь равенством (7) имеем

В интеграле (8) переходя в сферическую систему координат  запишем ее в виде

где  - единичная сфера в , a  элемент единичной сферы. Учитывая факты  и  имеем

                                                                                                        (9)

Теперь согласно оценки (9) получим

Следовательно, существует правая производная функции  в точке  и

Таким образом,

                                                                                  (10)

для некоторого

Тогда из неравенств (5) и (10) следует, что существует правая производная функции  в точке  и  Сопоставляя неравенства (5) и (10) получим (3). Аналогично доказывается оценка (4). Теперь утверждение теоремы вытекает из равенства  Теорема доказана.

Литература:

1.      S. Albeverio, S. N. Lakaev, K. A. Makarov, Z. I. Muminov. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians in lattice // Comm. Math. Phys. — 2006, — V. 262, P. 91–115.

2.      S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics // Ann. Henri Poincare, — 2005, — V. 5, — P. 743–772.

3.      Абдуллаев Ж. И., Лакаев С. Н., Асимптотика дискретного спектра разностного трехчастичного оператора Шредингера на решетке // Теор. и мат. физ., — 2003, — Т. 136, — № 2, С. 231–245.

4.      S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbations // J. Math. Anal. Appl. — 2007, — V. 330, — P. 1152–1168.

5.      Т. Х. Расулов Т. Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теор. и матем. физ. — 2010, — Т. 163, — № 1, С. 34–44.

6.      Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Труды Мат. Инс-та АН СССР, -1964, — Т. 73, — С. 292–313.

7.      Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа // Теор. и матем. физ. -1979, — Т. 2, — № 2, — С. 230–243.

8.      В. А. Зорич. Математический анализ. Часть I. Изд-во ФАЗИС, Москва, 1997.

9.      S. Albeverio, S. N. Lakaev, T. H. Rasulov. The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of a non Conserved Number of Particles // Methods Func. Anal. Topol. — 2007, -V. 13, — no. 1, — P. 1–16.