Рассматривается самосопряженная обобщенная модель Фридрихса 
, которая ассоциирована гамильтонианом системы, состоящей из не более чем двух частиц. Обсуждается случай, когда существенный спектр оператора может содержать лакуны. Получено достаточное условие конечности дискретного спектра оператора .
Ключевые слова: обобщенная модель Фридрихса, молекулярно-резонансной модель, блочно-операторная матрица, операторы рождения и уничтожения, лакуна существенного спектра.
В настоящей работе рассматривается гамильтониан описывающий двухканальной молекулярно-резонансной модели [1–5]. В настоящей заметке найдено достаточное условие конечности дискретного спектра оператора . Следует отметит, что некоторые актуальные задачи анализа, математической физики и теории вероятностей сводятся к исследованию спектра рассматриваемой модели. В [1–5] изучены спектр и резонансы аналогичных гамильтонианов.
Через 
, 
и 
обозначим множества всех комплексных, вещественных и натуральных чисел, соответственно. Пусть 
, 
, (
) -ограниченная область с евклидовой мерой в 
-мерном пространстве 
, а также 
, 
и 
.
Пусть 
— двухканальное гильбертово пространства, состоящее из одномерного гильбертово пространства 
(канал 1) и ядерного гильбертово пространства 
— квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
(канал 2). Элементы пространства 
представляются как векторы 
, где 
и 
. Для двух элементов 
, их скалярное произведение 
в естественно определяется через скалярные произведения
.
Рассмотрим гамильтониан , действующий в гильбертовом пространстве как 
блочно-операторная матрица
, (1)
где матричные элементы 
, , 
определяются по формулам
,
.
Здесь 
; 
— фиксированное вещественное число, 
и 
— вещественнозначные ограниченные функции на и 
, соответственно, 
— вещественнозначная кусочно-непрерывная и ограниченная функция на . В этих предположениях на параметры оператор , действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным. При этом 
сопряженный оператор к 
и
.
Оператор называется оператором уничтожения, а 
называется оператором рождения. Оператор уничтожения снижает количество частиц в заданном состоянии на единицу, а оператор рождения увеличивает число частиц в данном состоянии на единицу, и является сопряженным к оператору уничтожения. Такие операторы имеют широкое применение в квантовой механике, в частности, при изучении квантовых гармонических осцилляторов и систем многих частиц [6].
Следует отметить, что обобщенная модель Фридрихса также называется двухканальной молекулярно-резонансной моделью [1], которая ассоциирована гамильтонианом системы, состоящей из не более чем двух частиц. Например, если
,
то эти частицы взаимодействуют как с помощью нелокального потенциала, так и с помощью операторов рождения и уничтожения. В работе [2] показано существование и аналитичность собственных значений оператора типа (1) в случае 
.
Цель нашей работы — нахождение достаточного условия конечности дискретного спектра обобщенной модели Фридрихса , определенной по формуле (1). При этом результат полученной для 
в работе [7] переносятся на . Заметим, что характер спектра, структура резольвенты, вид собственных векторов дискретного и непрерывного спектра, проблема существования и полноты волновых операторов полностью или частично изучались в литературе применительно к обычной модели Фридрихса (см. [8–10]).
На протяжении всей работы под обозначениями 
, 
и 
понимаются спектр, существенный спектр и абсолютно непрерывный спектр ограниченного самосопряженного оператора, соответственно.
Так как оператор 
является компактным, а операторы 
, , являются одномерными, из теоремы Вейля о существенном спектре следует, что существенный спектр 
оператора совпадает со спектром оператора 
. При этом состоит из замыкания области значений 
функции , т. е.
.
Отметим, что существенный спектр оператора может содержит множеству с изолированной точкой 
такое, что 
(
означает лебегово мера). Следовательно, мы не сможем утверждать, что существенный спектр оператора является абсолютно непрерывным. Например, если 
, 
, 
, 
и функция определена по формуле
,
то 
. Так как 
, то имеет место равенство 
.
Более того, если является кусочно абсолютно непрерывная функция на и 
при всех 
, то имеем 
.
Далее, мы будем дополнительно предполагать, что оператор является положительным. Положительный квадратный корень 
оператора имеет вид
,
где через 
формально обозначено ядро оператора и является квадратично-интегрируемой функцией на .
Пусть 
— единичный оператор в 
, и 
. В исследованиях дискретного спектра оператора основную роль играет компактный (симметризованный) оператор 
, 
, действующий в как блочно-операторная матрица
где матричные элементы 
, 
определяются по формулам
.
Основным результатом данной заметки является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть 
и оператор-функция при 
и 
сходится равномерно к некоторым операторам 
и 
, соответственно. Тогда оператор на интервале 
может иметь лишь конечное число собственных значений.
Заметим, что в теореме 1 компактность оператора является достаточным условием для конечности дискретного спектра оператора на . Для обоснования этого факта рассмотрим следующий пример.
Пример. Пусть 
и 
. Опишем свойства параметр-функций, входящих в (1) для этого случая: — вещественнозначная непрерывная функция на 
, а функции и определяются равенствами 
где 
— вещественнозначная непрерывная функция на . Тогда 
и оператор имеет не более двух (не более одного) простых собственных значений, лежащих левее 
(правее 
), см. [4]. Далее, найдя вид оператора 
, после несложных вычислений получаем, что матричные элементы 
, семейства операторов , 
, имеют вид:
,
.
Ниже покажем, что равномерная сходимость семейства операторов , 
при 
зависят от поведений функций и в малой окрестности точки 
. Очевидно, что если 
, то интеграл
(2)
расходится. Поэтому при 
, семейство операторов , не сходится равномерно ни к какому оператору при .
Пусть теперь 
. Допустим, что существуют константы 
и 
такие, что 
и 
при 
. Тогда интеграл (2) сходится. В этом случае семейство операторов , сходится равномерно к оператору 
при 
. Аналогичные рассуждения верны при 
.
Благодарность. Работа поддержана программой фонда Эйнштейна при международном математическом обществе. Автор приносит благодарность Берлинской математической школе и институту Вейерштрасса по прикладному анализу и стохастики за приглашение, поддержку и гостеприимство.
Литература:
1. A. K. Motovilov, W. Sandhas, Y. B. Belyaev. Perturbation of a lattice spectral band by a nearby resonance // J. Math. Phys., — 2001. — V. 42. — P. 2490–2506.
2. С. Н. Лакаев, Ш. М. Латипов. О существовании и аналитичности собственных значений двухканальной молекулярно-резонансной модели // Теор. и матем. физика, — 2011. — Т. 169. — №. 3. — С. 341–351.
3. M. I. Muminov, T. H. Rasulov. The Faddeev Equation and Essential Spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Func. Anal. Topology, — 2011. -V. 17. — no. 1. — P. 47–57.
4. Т. Х. Расулов. Исследование существенного спектра одного матричного оператора // Теор. и матем. физика, — 2010, — Т. 164, — № 1, — С. 62–77.
5. Т. Х. Расулов. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Известия вузов. Математика. — 2008, — № 12, С. 59–69.
6. R. P. Feynman. Statistical mechanics: a set of lectures (2nd ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1998, p. 151.
7. М. Э. Муминов. О выражение числа собственных значений модели Фридрихса // Матем. заметки, — 2007, — Т. 82, — № 1, С. 75–83.
8. K. O. Friedrichs. Uber die Spectralzerlegung einee Integral operators // Math. Ann., — 1938, — V. 115, — no. 1, P. 249–272.
9. К. Фридрихс. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М., 1969.
10. K. O. Friedrichs. On the perturbation of continuous spectra // Comm. Pure Appl. Math., — 1948, — V. 1, — no. 4, — P. 361–406.
