Модельный оператор, ассоциированный с системой трех частиц на d-мерной решетке рассматривается как тензорная сумма моделей Фридрихса. Найден явный вид существенного и дискретного спектра.
Ключевые слова: модельный оператор, тензорная сумма, модель Фридрихса, определитель Фредгольма, существенный и дискретные спектры.
Пусть 
и 
бесконечномерные гильбертовы пространства и 
их тензорное произведение. Рассмотрим линейные ограниченные самосопряженные операторы 
и 
, действующие в и , соответственно. Обозначим через 
тензорное произведение операторов и . Оператор 
также является линейным ограниченным самосопряженным оператором, действующим в гильбертовом пространстве 
. Положим 
где 
и 
— тождественные операторы в и , соответственно. Оператор 
мы будем называть тензорной суммой и , и будем обозначать через 
. Оператор также является линейным ограниченным самосопряженным оператором, действующим в гильбертовом пространстве . Для спектра оператора имеет место равенства [1]
.
Очевидно, что если 
и 
то 
.
В моделях физики твердого тела [2,3], а также решетчатой теории поля [4,5] возникают так называемые дискретные операторы Шредингера, являющиеся решетчатым аналогом обычного оператора Шредингера в непрерывном пространстве. Все гамильтонианы этих моделей коммутируют с группой трансляций на решетке. Однако, большое количество интересных задач в физики твердого тела связаны с неидеальными кристаллами, трансляционная инвариантность которых нарушена примесями или дефектами, т. е. один или конечное число узлов решетки оказываются выделенными.
Исследование спектров операторов Шредингера является наиболее интенсивно изучаемым объектом в теории операторов. Одним из важных вопросов в спектральном анализе таких операторов является изучение конечности числа собственных значений, лежащих вне существенного спектра.
В работе [6] изучены спектральные свойства решетчатого гамильтониана 
физической системы, состоящей из двух свободных электронов и одной примеси на решетке. Гамильтониан в импульсном представлении действует в тензорном произведении 
гильбертово пространства 
, где 
— 
-мерный тор, и он представляется в виде 
, где 
— оператор умножения на функцию 
(как невозмущенный оператор), а оператор 
(т. е. некомпактное возмущение) действует по формуле
.
Здесь 
— аналитическая функция на 
и 
, а 
— дельта функция Дирака.
В настоящей работе рассмотрим специальный случай:
.
Данная работа посвящена изучению существенного и дискретного спектров операторов 
в рассматриваемом специальным случае. С помощью тензорной структуры изучен спектр оператора .
Пусть 
— гильбертово пространство квадратично-интегрируемых симметричных (комплекснозначных) функций, определенньх на . В гильбертовом пространстве рассмотрим гамильтониан , действующий по формуле
.
При этом 
; 
и 
— вещественнозначные непрерывные функции на 
В этих предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным в .
Наряду с оператором , рассмотрим еще оператор 
действующий в гильбертовом пространстве 
по формуле 
, где
, 
, 
.
Из определения операторов и 
получим, что оператор можно представит как тензорная сумма 
Здесь 
означает тождественный оператор в .
В данной работе будем изучать спектральные свойства оператора с помощью тензорной суммы операторов.
Оператор возмущения 
оператора 
является самосопряженным оператором ранга не более, чем 
. Из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр 
оператора совпадает с существенным спектром оператора 
. Известно, что 
, где числа 
и 
определяются равенствами
.
Из последних двух фактов следует, что 
.
Определим регулярные в области 
функции
где
.
Видно, что 
при всех 
.
Установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции 
Лемма 1. Число 
является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда 
Доказательство. Пусть число 
есть собственное значение оператора , 
— соответствующая собственная функция. Тогда функция 
удовлетворяет уравнению
. (1)
Заметим, что для любых 
имеет место соотношение 
Тогда из уравнения (1) для имеем
, (2)
где
. (3)
Подставляя выражение (2) для в равенства (3), получим, что уравнение (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда система линейных уравнений с неизвестными
имеют ненулевое решение 
, т. е. когда 
где 
- декартова -ная степень множества 
Лемма 1 доказана.
Из леммы 1 вытекает, что имеет место равенство
.
Следовательно, функция 
является определителем Фредгольма, ассоциированным с оператором .
Для любого 
и ограниченного самосопряженного оператора , действующего в гильбертовом пространстве 
обозначим через 
такое подпространство, что 
для любого 
и положим 
Число
равно бесконечности, если 
и если число конечно, то оно равно числу собственных значений оператора (с учетом кратности), меньших чем 
.
Следующая лемма описывает число и местонахождение собственных значений оператора 
Лемма 2. Оператор может иметь не более чем п собственных значений (с учетом кратности), лежащих левее и не имеет собственных значений, лежащих правее .
Доказательство. Так как является -мерным оператором, в силу теоремы 9.3.3 из книги [7] имеем
,
.
Учитывая равенство 
, получим, что 
. Следовательно, 
Из 
следует, что при всех 
и 
имеет место cоотношение
.
Это означает, что оператор не имеет собственных значений, лежащих правее 
т. е. 
. Лемма 2 доказана.
Теперь сформулируем основной результат работы.
Теорема 1. а) Если 
, то 
.
б) Пусть 
. Предположим, что 
. Тогда имеет место равенства
.
Доказательство. Как отметили выше из определения операторов и получим, что оператор можно представит как тензорная сумма 
. Поэтому для спектра оператора имеем
. (4)
Если , и следовательно, 
, то 
.
Пусть теперь. По предположению . Теперь соотношение (4) завершает доказательство теоремы 1.
Из утверждения б) теоремы 1 следует, что множество 
представляет собой объединение не более чем 
отрезков, а число собственных значений (с учетом кратности) не превосходит чем 
, т. е. 
.
Литература:
1. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 4. Анализ операторов, М.: Мир. 1982.
2. D. C. Mattis. The few-body problem on lattice // Rev.Modern Phys., — 1986, — V. 58, P. 361–379.
3. A. I. Mogilner. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schroedinger operators: problems and results // Advances in Sov. Math., — 1991, — V. 5, P. 139–194.
4. В. А. Малышев, Р. А. Минлос. Кластеpные опеpатоpы // Тpуды семинаpа им. И. Г. Петpовского. — 1983, — Вып. 9, С. 63–80.
5. С. Н. Лакаев, Р. А. Минлос. О связанных состояниях кластерного оператора. Теоретическая и математическая физика, — 1979, — Т. 39, С. 83–92.
6. Ю. Х. Эшкабилов. Об одном некомпактном возмущении в непрерывном спектре оператора умножения на функцию // Узб. матем. журнал, — 2003, — № 1, С. 81–88.
7. М. Ш. Бирман, М. З. Саломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Издательство ЛГУ, Ленинград, 1980.
