Моделирование синхронного неявнополюсного дугостаторного двигателя (Z1 = 12) с укладкой обмотки индуктора через спинку ярма

В данной работе моделирование синхронного неявнополюсного дугостаторного двигателя (СНДД) проводилось с помощью магнитных и электрических схем замещения [1]. Эта работа опирается на статью [2] и основным отличием является намотка обмотки индуктора через ярмо. Магнитопровод и обмотка подвижного элемента (ротора) остаются без изменений (рис. 2).

Так как работа адресована студентам, то для лучшего овладения материалом выводы математических формул даны без сокращений.

Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.

Баланс магнитных напряжений магнитной цепи

Рис. 1. Магнитная схема замещения «n»-ого участка

 

Рис. 2. а) Синхронный неявнополюсный дугостаторный двигатель (2р = 2, Z₁ = 12); б) Магнитная схема замещения

 

 — контурные магнитные потоки;

 — магнитные сопротивления воздушных участков;

 — магнитодвижущая сила, созданная статорным током , протекающим по всем проводникам паза ();

 — М. Д. С. тока в обмотке ротора;

 — в шунтирующих зонах.

Баланс М. Д. С. для «n»-го участка имеет следующий вид:

где     

Ток  условно назовем асинхронной составляющей полного тока в роторной обмотке. Этот ток создается от Э. Д. С. трансформации, Э. Д. С. движения, от изменяющегося потока во времени или от движущего потока в пространстве. При построении обобщенной математической модели двигателей, исключая вторую составляющую М. Д. С.  с помощью соответствующих ключей, можно перейти к линейным (дугостаторным) асинхронным двигателям [4], [5], …, [9].

Вторая составляющая М. Д. С. (условно назовем синхронная составляющая  представляет собой бегущую в пространстве ступенчатую фигуру в соответствии с дискретным расположением роторной обмотки.

В данной работе синхронную составляющую выразим 1-й гармоникой бегущей волны:

где      - полюсное деление;

 — линейная скорость .

Отсюда асинхронная составляющая тока в обмотке ротора определится по следующему выражению:

                            (1)

Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора для асинхронной составляющей тока ротора

                                        (2)

Выразим производные во времени через конечные разности:

,

где      n — номер зубцового деления;

k — номер шага разбиения по времени.

В формуле (2) линейную скорость ротора принимаем равной  и в пределах «k» интервала считается постоянным.

Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:

.

С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:

                                                        (3)

Исключим из уравнения (3) асинхронную составляющую тока в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:

                    (4)

Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец X, состоящей из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует первые двадцать четыре элемента матрицы-столбца свободных членов S в (k-1) момент времени. Элементы 25, 26, …, 36 строк матрицы А и соответствующие элементы s₂₅, s₂₆, …, s₃₆ будут сформированы из баланса напряжений статорной обмотки.

Матрица-столбец Х сформирована из первых двадцати четырех элементов, соответствующих потокам Ф₁, Ф_2, …, Ф₂₄, а остальные — токам статорной обмотки

Общий вид матриц при числе полюсов 2р = 2 и общем числе пазов индуктора (статора) Z₁ = 12 приведен на рис. 3.

Введем следующие обозначения:

    

-                   Магнитные сопротивления в шунтирующих зонах:

R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = R₂₂ = R₂₃ = R₂₄ = 500∙R_δ;

R₅ = R₂₁ = 50∙R_δ;

R₆ = R₂₀ = 5∙R_δ.

-                   Магнитные сопротивления в индукторной зоне:

R₇ = R₈ = … = R₁₉ = R_δ.

-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:

-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на токи матрицы Х:

-                   Элементы матрицы-столбца свободных членов S:

С учетом вышеприведенных обозначений (N1, N2, …, N5, T, Y, W1, P, P1, Q) уравнение 4 приобретет следующий вид:

После подстановки в (4’) выражений (T, Y, D_n, E_n, B_n, C_n, G_n) получаем простое выражение удобное для программирования:

Уравнение (4) позволит определить для первых двадцати четырех строк элементы матрицы А и с первый по двадцать четвертый элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:

n = 1.

Запишем элементы матрицы А:

; ; ; ;

В правой части сформирован элемент  матрицы-столбца S:

Примечание: вначале матрица А предстанет «пустой» и после каждой операции  определятся постепенно элементы для каждой строки и только в конце всех операций матрица А предстанет перед читателем в том виде как она дана на рис. 3. Но эта «пустая» матрица А уже должна быть подготовлена. Эта «пустая» форма направляет, выступает «организующим началом» по поиску элементов в каждой строке.

При n = 1, как было показано выше, определились элементы первой строки. Найденные коэффициенты вписываем в матрицу А. В дальнейшем становится понятным алгоритм заполнения матрицы.

n = 2.

; ; ; ;

n = 3.

; ; ; ;

n = 4.

; ; ; ;

n = 5.

; ; ; ;

n = 6.

; ; ; ;  

n = 7.

; ; ; ; ; ;

n = 8.

; ; ; ; ;

; ;

n = 9.

; ; ; ; ;

; ;

n = 10.

; ; ; ; ;

; ;

Матрица А

Х

S

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

1

a1,1

a1,2

a1,3

a1,23

a1,24

×

x1 = Ф1

=

s1

2

a2,1

a2,2

a2,3

a2,4

a2,24

x2 = Ф2

s2

3

a3,1

a3,2

a3,3

a3,4

a3,5

x3 = Ф3

s3

4

a4,2

a4,3

a4,4

a4,5

a4,6

x4 = Ф4

s4

5

a5,3

a5,4

a5,5

a5,6

a5,7

x5 = Ф5

s5

6

a6,4

a6,5

a6,6

a6,7

a6,8

a6,25

x6 = Ф6

s6

7

a7,5

a7,6

a7,7

a7,8

a7,9

a7,25

a7,26

x7 = Ф7

s7

8

a8,6

a8,7

a8,8

a8,9

a8,10

a8,25

a8,26

a8,27

x8 = Ф8

s8

9

a9,7

a9,8

a9,9

a9,10

a9,11

a9,26

a9,27

a9,28

x9 = Ф9

s9

10

a10,8

a10,9

a10,10

a10,11

a10,12

a10,27

a10,28

a10,29

x10 = Ф10

s10

11

a11,9

a11,10

a11,11

a11,12

a11,13

a11,28

a11,29

a11,30

x11 = Ф11

s11

12

a12,10

a12,11

a12,12

a12,13

a12,14

a12,29

a12,30

a12,31

x12 = Ф12

s12

13

a13,11

a13,12

a13,13

a13,14

a13,15

a13,30

a13,31

a13,32

x13 = Ф13

s13

14

a14,12

a14,13

a14,14

a14,15

a14,16

a14,31

a14,32

a14,33

x14 = Ф14

s14

15

a15,13

a15,14

a15,15

a15,16

a15,17

a15,32

a15,33

a15,34

x15 = Ф15

s15

16

a16,14

a16,15

a16,16

a16,17

a16,18

a16,33

a16,34

a16,35

x16 = Ф16

s16

17

a17,15

a17,16

a17,17

a17,18

a17,19

a17,34

a17,35

a17,36

x17 = Ф17

s17

18

a18,16

a18,17

a18,18

a18,19

a18,20

a18,35

a18,36

x18 = Ф18

s18

19

a19,17

a19,18

a19,19

a19,20

a19,21

a19,36

x19 = Ф19

s19

20

a20,18

a20,19

a20,20

a20,21

a20,22

x20 = Ф20

s20

21

a21,19

a21,20

a21,21

a21,22

a21,23

x21 = Ф21

s21

22

a22,20

a22,21

a22,22

a22,23

a22,24

x22 = Ф22

s22

23

a23,1

a23,21

a23,22

a23,23

a23,24

x23 = Ф23

s23

24

a24,1

a24,2

a24,22

a24,23

a24,24

x24 = Ф24

s24

25

a25,7

a25,25

x25 = i1S

s25

26

a26,8

a26,26

x26 = i2S

s26

27

a27,9

a27,27

x27 = i3S

s27

28

a28,10

a28,28

x28 = i4S

s28

29

a29,11

a29,29

x29 = i5S

s29

30

a30,12

a30,30

x30 = i6S

s30

31

a31,13

a31,31

x31 = i7S

s31

32

a32,14

a32,32

x32 = i8S

s32

33

a33,15

a33,33

x33 = i9S

s33

34

a34,16

a34,34

x34 = i10S

s34

35

a35,17

a35,35

x35 = i11S

s35

36

a36,18

a36,36

x36 = i12S

s36

Рис. 3. Общий вид матриц A, X и S.

 

n = 11.

; ; ; ; ;

; ;

n = 12.

; ; ; ; ;

; ;

n = 13.

; ; ; ; ;

; ;

n = 14.

; ; ; ; ;

; ;

n = 15.

; ; ; ; ;

; ;

n = 16.

; ; ; ; ;

; ;

n = 17.

; ; ; ; ;

; ;

n = 18.

; ; ; ; ; ;

n = 19.

; ; ; ; ;

n = 20.

; ; ; ;

n = 21.

; ; ; ;

n = 22.

; ; ; ;

n = 23.

; ; ; ;

n = 24.

; ; ; ;

Остальные элементы матрицы А (для строк n = 25, …, 36) и соответствующие элементы матрицы-столбца S определяются из баланса электрических напряжений обмоток статора.

В данной работе принято отдельное управление напряжением обмотки каждого паза (Z₁ = 12), следовательно, необходимо задать двенадцать напряжений. В качестве одного из вариантов примем косинусоидальные напряжения со сдвигом на π/6:

                            

                

                  

              

Рассмотрим баланс напряжений для первой обмотки.

,

где       — число витков паза (обмотки);

 — сопротивление обмотки, проходящей через спинку ярма;

 — индуктивность обмотки первого паза.

Выразим производные через конечные разности:

;         .

Тогда после подстановки получим:

.

Преобразуем выражение к виду:

.

Обозначим:

;       .

Тогда для элементов двадцать пятой строки матрицы А и двадцать пятого элемента матрицы-столбца S (n = 25):

.

Отсюда элементы матрицы А: ; .

Двадцать пятый элемент  матрицы-столбца S:

.

Аналогично для n = 26, …, 36 запишем:

n = 26.         

.

;  

n = 27.         

.

  

n = 28.         

.

  

n = 29.         

.

  

n = 30.         

.

  

n = 31.         

.

  

n = 32.         

.

  

n = 33.         

.

  

n = 34.         

.

  

n = 35.         

.

  

n = 36.         

.

  

Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MATLAB (рис. 4):

Рис. 4

 

Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-й момент времени определяются в результате следующей операции с матрицами:

X=A^-1·S.

Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1…24, определяем суммарные токи (М. Д. С.) в роторе:

Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:

                                      

                                       

                                                          

                     

                     

                     

                     

                    

                    

Суммарное усилие: .

Линейная скорость ротора в k-й момент времени:

Литература:

 

1.      Веселовский О. Н. и др. Линейные асинхронные двигатели / Веселовский О. Н., Коняев А. Ю., Сарапулов Ф. Н. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 256 с.

2.      Емельянов А. А., Козлов А. М., Бесклеткин В. В., Авдеев А. С., Киряков Г. А., Чернов М. В., Габзалилов Э. Ф., Фуртиков К. А., Реутов А. Я., Боброва С. Д., Андреева Е. Д. Программирование синхронного двигателя (Z₁/Z₂ = 12/24) с трехфазной обмоткой индуктора с нулевым проводом // Молодой ученый. — 2014. — № 18 (77, ноябрь). — С. 24–47.

3.      Сарапулов Ф. Н., Емельянов А. А., Иваницкий С. В., Резин М. Г. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя // Электричество. — 1982. — № 10. — С. 54–57.

4.      Емельянов А. А., Богатов Е. А., Клишин А. В., Медведев А. В., Симонович В. Г. Математическая модель линейного асинхронного двигателя на основе магнитных схем замещения // Молодой ученый. — 2010. — № 5. — С. 14–22.

5.      Емельянов А. А., Медведев А. В., Богатов Е. А., Кобзев А. В., Бочкарев Ю. П. Программирование линейного асинхронного двигателя в MATLAB // Молодой ученый. — 2013. — № 3. — С. 129–143.

6.      Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А. В., Козлов А. М., Бесклеткин В. В., Авдеев А. С., Киряков Г. А., Чернов М. В., Габзалилов Э. Ф., Иванин А. Ю. Программирование линейного асинхронного двигателя с числом пазов в индукторе равном шесть // Молодой ученый. — 2013. — № 10. — С. 23–38.

7.      Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А. В., Козлов А. М., Бесклеткин В. В., Авдеев А. С., Киряков Г. А., Чернов М. В., Габзалилов Э. Ф., Иванин А. Ю. Моделирование линейного асинхронного двигателя с укладкой обмотки индуктора (Z₁=6) через спинку ярма // Молодой ученый. — 2013. — № 10 — С. 39–54.

8.      Емельянов А. А., Кобзев А. В., Козлов А. М., Бесклеткин В. В., Бочкарев Ю. П., Авдеев А. С., Киряков Г. А., Чернов М. В., Габзалилов Э. Ф., Иванин А. Ю. Программирование линейного асинхронного двигателя (Z1 = 6) с трехфазной обмоткой индуктора с нулевым проводом // Молодой ученый. — 2014. — № 2. — С. 36–51.

9.      Емельянов А. А., Кобзев А. В., Козлов А. М., Бесклеткин В. В., Авдеев А. С., Киряков Г. А., Чернов М. В., Габзалилов Э. Ф. Математическая модель синхронного неявнополюсного дугостаторного двигателя (Z₁/Z₂ = 6/12) с трехфазной обмоткой индуктора с нулевым проводом // Молодой ученый. — 2014. — № 15 (74, сентябрь). — С. 9–30.