О спутниках τ-замкнутых n-кратно Ω-расслоенных формаций конечных групп

В статье изучаются свойства n-кратно Ω-расслоенных формаций конечных групп. Установлена взаимосвязь между τ-замкнутостью -кратно Ω-расслоенной формации с bnr-направлением  и τ-замкнутостью ее -спутника в случае, когда  — регулярный -радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов.

Ключевые слова:конечная группа, класс групп, формация групп, Ω-расслоенная формация, подгрупповой функтор.

 

Теория формаций конечных групп представляет собой один из важных разделов современной теории классов групп. Понятие формации было введено В. Гашюцем в 1963 году [1]. Формации представляют собой классы групп, замкнутые относительно гомоморфных образов и подпрямых произведений. Ключевые результаты о формациях конечных групп представлены в монографиях Л. А. Шеметкова [2] и А. Н. Скибы [3]. При построении формаций важную роль играют функциональные методы. Так, например, в основе построения локальных и композиционных формаций, наиболее изученных в настоящее время, лежат функции, называемые в [2] экранами. В 1999 году В. А. Ведерников разработал новый функциональный подход к исследованию формаций групп, основанный на рассмотрении для них двух сопутствующих функций — функции-спутника и функции-направления [4]. Введенное в работе [4] понятие Ω-расслоенной формации является естественным обобщением понятия локальной формации, а композиционные формации представляют один из видов Ω-расслоенных формаций.

В последние годы была выявлена тесная связь между подгрупповыми функторами и классами конечных групп (см., например, [5]). Большую роль в этом направлении играют τ-замкнутые формации, то есть такие формации, которые вместе с каждой своей группой содержат и все ее -подгруппы. В настоящей работе рассматриваются τ-замкнутые формации для регулярного подгруппового функтора , замкнутого относительно композиционных факторов.

Хорошо известно, что свойства локальных, композиционных, Ω-расслоенных формаций во многих случаях зависят от свойств их спутников (см., например, [4, 6, 7]). В этой связи интерес представляет изучение свойств спутников τ-замкнутых n-кратно Ω-расслоенных формаций. Целью данной работы является исследование взаимосвязи между τ-замкнутостью n-кратно Ω-расслоенной формации с bnr-направлением  и τ-замкнутостью ее -спутника.

1. Основные определения, обозначения и предварительные результаты

Рассматриваются только конечные группы. Используются определения и обозначения, принятые в [2, 4, 5]. Приведем лишь некоторые из них.

 — класс всех конечных групп.

 — класс всех конечных простых групп.

 — класс всех конечных абелевых групп.

 — класс всех конечных p-групп.

 — класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы ;  — объединение классов  для всех .

Ω — непустой подкласс класса .

 — класс всех конечных Ω-групп, т. е. таких групп, для которых .

Пусть  — формация групп. F-корадикалом группы  называется пересечение всех тех нормальных подгрупп группы , факторгруппы по которым принадлежат , и обозначается .

Пусть  — класс Фиттинга. F-радикалом группы  называется произведение всех нормальных подгрупп группы , принадлежащих , и обозначается .

Пусть  — класс групп,  — формация групп. Корадикальным произведением классов  и  называется класс .

Пусть ,  — классы групп. Гашюцевым произведением классов  и  называется класс .

Функция {формации групп} называется ΩF-функцией; функция {формации групп} называется F-функцией; функция {непустые формации Фиттинга} называется FR-функцией. Функции ,  и  принимают одинаковые значения на изоморфных группах из области определения [4, с. 126].

Формация  называется Ω-расслоенной формацией с Ω-спутником  и направлением ; формация  называется расслоенной формацией со спутником  и направлением  [4, с. 127].

Направление  Ω-расслоенной формации называется b-направлением, если  для любой абелевой группы; n-направлением, если  для любой неабелевой группы ; r-направлением, если  для любой группы ; -направлением, если  является -направлением для любого  [7, с. 218].

Через  обозначается направление Ω-композиционной формации, т. е.  для любого , где  — класс всех конечных групп, у которых каждый главный А-фактор централен [4, с. 128].

Ω-спутник  Ω-расслоенной формации  называется внутренним, если  для любой группы ; минимальным Ω-спутником формации , если  является минимальным элементом множества всех Ω-спутников формации .

Пусть ,  — некоторая FR-функция. Всякая формация считается 0-кратно Ω-расслоенной формацией с направлением . Формация  называется n-кратно -расслоенной с направлением , или, иначе, -расслоенной формацией, если  обладает -спутником, т. е. таким Ω-спутником, всякое значение которого является -кратно Ω-расслоенной формацией с направлением  [7, с. 218].

Пусть  — отображение, которое ставит в соответствие всякой группе  некоторую систему  ее подгрупп. Отображение  называется подгрупповым функтором, если  для любого изоморфизма  каждой группы  [5, с. 13]. Подгрупповой функтор  называется регулярным, если выполняются два условия: 1) ,   ; 2)    [5, с. 14]. Подгрупповой функтор  называется Ω-радикальным, если для любой группы  и для любой  справедливо ; φ-радикальным, если для любой группы  и для любой  для всех  выполняется ; Ωφ-радикальным, если  является Ω-радикальным и -радикальным [10, с. 76]. Подгрупповой функтор  называется замкнутым относительно композиционных факторов, если для любой  справедливо включение  для каждой группы  [10, с. 76].

Формация  называется τ-замкнутой, если  для любой группы  [3, с. 23]. Ω-спутник Ω-расслоенной формации  называется τ-замкнутым, если все его значения являются τ-замкнутыми формациями.

Лемма 1.1 [4, лемма 5]. Пусть  — произвольная FR-функция, , где , . Тогда , где .

Лемма 1.2 [4, лемма 3]. Пусть  — формация, . Тогда , где  — -функция такая, что ,  для всех ,  — произвольная FR-функция. В частности, формации  и  являются Ω-расслоенными формациями для любого непустого класса .

Лемма 1.3 [7, лемма 3]. Пусть  и  — Ω-расслоенные формации с r-направлением ,  и  — внутренние Ω-спутники формаций  и  соответственно. Если  с внутренним Ω-спутником  таким, что ,  для всех  и  для всех , то  и  является внутренним Ω-спутником формации .

Лемма 1.4 [4, лемма 4]. Пусть , где  — произвольная FR-функция. Тогда: 1) , где  для любого ; 2) , где  и  для любого .

Лемма 1.5 [7, следствие 3]. Пусть  — Ω-расслоенная формация с внутренним Ω-спутником  и br-направлением . Тогда: 1)  для всех ; 2)  обладает внутренним Ω-спутником  таким, что  для всех  и  для всех .

Лемма 1.6 [9, теорема 5.38]. Если  — -замкнутый класс групп,  — формация, то .

Лемма 1.7 [8, следствие 5.8]. Пусть  — внутренний Ω-спутник Ω-расслоенной формации  с br-направлением , удовлетворяющим условию . Тогда формация  обладает единственным максимальным внутренним Ω-спутником , причем  для всех  и  для всех .

2. Свойства -кратно -расслоенных формаций

Лемма 2.1. Если  — -расслоенная формация, то  — -расслоенная формация для любого .

Доказательство. Докажем лемму методом математической индукции.

1.      Установим справедливость утверждения при . Действительно, если  — Ω-расслоенная формация с направлением , то  — формация. Это означает, что  — 0-кратно Ω-расслоенная формация с направлением .

2.      Предположим, что при  утверждение верно.

3.      Покажем, что утверждение верно при . Пусть  — -расслоенная формация. Тогда по определению n-кратно Ω-расслоенной формации  обладает -спутником , то есть таким Ω-спутником , все значения которого являются -расслоенными формациями. Согласно предположению индукции, все значения  являются -расслоенными формациями. Следовательно,  является -спутником формации , и значит,  — -расслоенная формация. Итак, утверждение верно при .

Из пунктов 1–3 по методу математической индукции утверждение верно для любого . Лемма доказана.

Следствие 2.1.1. Если  — n-кратно расслоенная формация с направлением , то  — -кратно расслоенная формация с направлением  для любого .

В следующих леммах приводятся примеры n-кратно Ω-расслоенных формаций.

Лемма 2.2. Пусть  — -функция. Тогда формации  и  являются -расслоенными формациями для любого .

Доказательство. Докажем лемму методом математической индукции.

1.      Установим справедливость утверждения при . Действительно, по лемме 1.2 формации  и  являются Ω-расслоенными формациями с направлением .

2.      Предположим, что при  утверждение верно.

3.      Покажем, что утверждение верно при .

Пусть . Согласно лемме 1.2, , где  и  для любого . По предположению индукции формации  и  являются -расслоенными формациями. Следовательно,  является -спутником формации , и значит,  — -расслоенная формация.

Пусть . Согласно лемме 1.2, , где  для любого . По предположению индукции формация  является -расслоенной формацией. Следовательно,  является -спутником формации , и значит,  — -расслоенная формация.

Из пунктов 1–3 по методу математической индукции утверждение верно для любого . Лемма доказана.

Следствие 2.2.1. Пусть  — FR-функция. Тогда формации  и  являются n-кратно расслоенными формациями с направлением  для любого .

Лемма 2.3. Пусть ,  — b-направление Ω-расслоенной формации. Тогда формация  является -расслоенной формацией для любого .

Доказательство. Докажем лемму методом математической индукции.

1.      Установим справедливость утверждения при , то есть покажем, что  — Ω-расслоенная формация с направлением . Пусть , где ,  для любого , . Докажем, что .

Пусть . Так как , то . Поскольку  является b-направлением, то , и значит, . Тогда  и . Так как  и  — формация, то . Следовательно,  и .

Допустим, что  и  — группа наименьшего порядка из . Тогда  — монолитическая группа с монолитом . Пусть . Если , то  и . Так как , то . Противоречие. Пусть . Тогда  и, ввиду , получаем . Следовательно, . Из строения Ω-спутника  следует, что , и значит,  и . Тогда, в силу , имеем . Противоречие. Следовательно, , и поэтому  — Ω-расслоенная формация с направлением .

2.      Предположим, что при  утверждение верно.

3.      Покажем, что утверждение верно при . В пункте 1 доказано, что  совпадает с формацией , которая обладает Ω-спутником , имеющим следующее строение: ,  для любого , . Так как, учитывая лемму 2.2 и предположение индукции, все значения Ω-спутника  являются -расслоенными формациями, то  — -расслоенная формация.

Из пунктов 1–3 по методу математической индукции утверждение верно для любого . Лемма доказана.

В лемме 1.1 доказано, что пересечение любой совокупности Ω-расслоенных формаций с направлением  является Ω-расслоенной формацией с направлением . Следующее утверждение является обобщением данного результата для τ-замкнутых n-кратно Ω-расслоенных формаций.

Лемма 2.4. Пусть  — подгрупповой функтор,  — FR-функция. Тогда пересечение любой совокупности τ-замкнутых -расслоенных формаций является τ-замкнутой -расслоенной формацией для любого .

Доказательство. Пусть ,  — τ-замкнутая -расслоенная формация, , и . Покажем, что  — τ-замкнутая -расслоенная формация.

1)      Покажем, что  — τ-замкнутая формация. Пусть . Тогда  для любого . Так как  — τ-замкнутая формация, то  для любого . Следовательно,  и  является τ-замкнутой формацией.

2)      Методом математической индукции докажем, что  — -расслоенная формация.

1.      Установим справедливость утверждения при . Действительно, если  — Ω-расслоенная формация с направлением , , то по лемме 1.1  — Ω-расслоенная формация с направлением .

2.      Предположим, что при  утверждение верно.

3.      Покажем, что утверждение верно при . Пусть  — -расслоенная формация, . Тогда  обладает -спутником , то есть таким спутником , все значения которого являются -расслоенными формациями, . Пусть  — такая ΩF-функция, что  для любого . Тогда, согласно предположению индукции, все значения Ω-спутника  являются -расслоенными формациями. По лемме 1.1 . Следовательно,  — -расслоенная формация. Итак, утверждение верно при .

Из пунктов 1–3 по методу математической индукции утверждение верно для любого .

Из пунктов 1)–2) следует, что  — τ-замкнутая -расслоенная формация. Лемма доказана.

Следствие 2.4.1. Пусть  — подгрупповой функтор,  — FR-функция. Тогда пересечение любой совокупности τ-замкнутых n-кратно расслоенных формаций с направлением  является τ-замкнутой n-кратно расслоенной формацией с направлением  для любого .

В работе [7] изучаются произведения Ω-расслоенных формаций. Следующий результат продолжает данные исследования.

Лемма 2.5. Пусть ,  — Ω-расслоенная формация с bnr-направлением . Тогда формация  является Ω-расслоенной формацией с направлением .

Доказательство. Согласно лемме 2.3, формация  является Ω-расслоенной формацией с направлением . Пусть ,  и  — внутренние Ω-спутникиформаций  и  соответственно,  — ΩF-функция, такая что ,  для всех  и  для всех . Пусть . Покажем, что .

Так как  является r-направлением, то по лемме 1.3 . Допустим, что  и  — группа наименьшего порядка из . Тогда  — монолитическая группа с монолитом . Так как , то . Поскольку , то , и значит, . Тогда . Поэтому .

Пусть . Так как , то  и . Если , то , и значит, ввиду , имеем . Следовательно, . Противоречие. Пусть  — неабелева группа. Так как  — n-направление, то . Следовательно, , и значит, . Тогда . Противоречие. Следовательно, , и поэтому формация  является Ω-расслоенной формацией с направлением . Лемма доказана.

3. Спутники -замкнутых -кратно -расслоенных формаций

В следующей теореме устанавливается взаимосвязь между τ-замкнутостью -кратно Ω-расслоенной формации с направлением  и τ-замкнутостью ее -спутника в случае, когда .

Теорема 3.1. Пусть ,  — Ω-расслоенная формация с bnr-направлением , ,  — регулярный Ωφ-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, . Тогда формация  является τ-замкнутой -расслоенной формацией в том и только том случае, когда  обладает хотя бы одним τ-замкнутым -спутником.

Доказательство. Необходимость. Пусть  — -замкнутая -расслоенная формация. Поскольку  — br-направление и , то по лемме 1.7  имеет единственный максимальный внутренний Ω-спутник , причем  для всех  и , где  — произвольный внутренний Ω-спутник формации . Поэтому для любого  формация  является τ-замкнутой, а согласно лемме 2.1 — -расслоенной формацией.

Покажем, что  — τ-замкнутая -расслоенная формация. Согласно доказательству леммы 2 [10],  — τ-замкнутая формация. Покажем, что  —-расслоенная формация. Так как  — -расслоенная формация, то  обладает -спутником . Пусть  — ΩF-функция, такая, что  для всех . Согласно лемме 1.4,  является Ω-спутником формации . Так как по лемме 2.1  является -расслоенной формацией, то по лемме 2.4  — -расслоенная формация для любого . Таким образом, Ω-спутник  формации  является -спутником. Тогда, согласно леммам 1.6 и 2.5,  — -расслоенная формация. Из строения  следует, что  является внутренним Ω-спутником формации , и поэтому . Тем самым установлено, что  — τ-замкнутый -спутник формации .

Достаточность. Пусть  — τ-замкнутый -спутник формации ,  и . Покажем, что . Так как , то  для любого . Поскольку  и  — подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов, то , и значит,  для любого . Пусть . Из , ввиду регулярности подгруппового функтора , получаем . Отсюда, в силу τ-замкнутости формации , следует, что . Так как подгрупповой функтор  является φ-радикальным и , то  и . Далее, из ,  и τ-замкнутости формации  имеем . Так как  — Ω-радикальный подгрупповой функтор, то  и . Таким образом, по определению Ω-расслоенной формации, , и значит, формация  является τ-замкнутой. Согласно определению n-кратно Ω-расслоенной формации,  — -расслоенная формация. Теорема доказана.

Обозначим через  пересечение всех τ-замкнутых -расслоенных формаций, содержащих множество групп ;  — пересечение всех -расслоенных формаций, содержащих  и обладающих хотя бы одним τ-замкнутым -спутником.

Следствие 3.1.1. Пусть  — непустой класс групп, ,  — bnr-направление Ω-расслоенной формации, ,  — регулярный -радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов. Тогда .

Теорема 3.2. Пусть  — непустой класс групп, ,  — τ-замкнутая -расслоенная формация с bnr-направлением , ,  — регулярный Ωφ-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов. Тогда  обладает единственным минимальным τ-замкнутым -спутником  таким, что ,  для всех  и , если .

Доказательство. Так как множество  всех конечных групп является τ-замкнутой -расслоенной формацией и , то формация  существует, и согласно следствию 3.1.1, множество  всех τ-замкнутых -спутников формации  непусто. Пусть  — пересечение всех элементов из . Тогда  является Ω-спутником формации . По лемме 2.4 все значения  являются τ-замкнутыми -расслоенными формациями. Следовательно,  — единственный минимальный -спутник формации  в силу своего строения.

Пусть  — ΩF-функция, описанная в заключении теоремы. Покажем, что . Пусть . Тогда  и  для всех . Это означает, что  и . Поскольку все значения  являются τ-замкнутыми -расслоенными формациями, то формация  является -расслоенной формацией и .

Покажем, что . Пусть . Тогда найдется такая группа , что . Поэтому  и . Пусть . Если , то . Пусть . Так как  — r-направление, то  и . Таким образом, . Из  имеем . Если , то . Следовательно,  и . Тем самым установлено, что , и значит, . Поскольку  — единственный минимальный τ-замкнутый -спутник формации , то  влечет . Теорема доказана.

Замечание. В [11] получено описание единственного минимального τ-замкнутого -спутника τ-замкнутой -расслоенной формации  мультиоператорных -групп в том случае, когда  обладает по крайней мере одним τ-замкнутым -спутником.

Введем обозначение:

Теорема 3.3. Пусть , , где ,  — bnr-направление Ω-расслоенной формации, ,  — регулярный Ωφ-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов,  — τ-замкнутая -расслоенная формация. Тогда .

Доказательство. Пусть , . Покажем, что . Отметим, что для любой группы  справедливо равенство:

Если , то , и значит, . Пусть . Так как , то по теореме 3.2 формация  обладает единственным минимальным τ-замкнутым -спутником , причем для любого  справедливо равенство . Следовательно, . Так как  является -направлением и  — внутренний -спутник формации , то по лемме 1.5  и, поскольку , получаем . Теорема доказана.

Следствие 3.3.1. Пусть , ,  — bnr-направление Ω-расслоенной формации, , τ — регулярный Ωφ-радикальный подгрупповой функтор, замкнутый относительно композиционных факторов,  — τ-замкнутая -расслоенная формация с внутренним -спутником . Тогда .

 

Литература:

 

1.                  Gaschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen. — Math. Z., 1963. Vol. 80, № 4. — S. 300–305.

2.                  Шеметков Л. А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 272 с.

3.                  Скиба А. Н. Алгебра формаций. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.

4.                  Ведерников В. А., Сорокина М. М. Ω-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. Т.13. Вып. 3, 2001. — С. 125–144.

5.                  Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Минск: Беларуская навука, 2003. — 254 с.

6.                  Скиба А. Н., Шеметков Л. А. О минимальном композиционном экране композиционной формации // Вопросы алгебры. Вып. 7, 1992. — С. 39–43.

7.                  Vedernikov V. A. Maximal satellites of Ω-foliated formations and Fitting classes // Proc. Steklov Inst. Math. № 2, 2001. — P. 217–233.

8.                  Ведерников В. А., Демина Е. Н. Ω-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп // Сиб. матем. ж., 2010. Т. 51. № 5. — С. 990–1009.

9.                  Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. — Минск: Вышэйшая школа, 2006. — 207 с.

10.              Корпачева М. А., Сорокина М. М. Критические Ω-расслоенные τ-замкнутые формации конечных групп // Вестник Брянского государственного университета. № 4: Точные и естественные науки. Выпуск 2. — Брянск: РИО БГУ, 2012. — С. 75‒79.

11.              Demina E. N. Ω₁-foliated τ-closed formations of T-groups // 8th International Algebraic Conference in Ukraine: book of abstracts. — Luhansk: LTSNU, 2011. — P. 97.