Пространственные векторы в асинхронном двигателе в относительной системе единиц

Целью данной работы является вывод математического аппарата, описывающего процессы в асинхронном двигателе, в доступной для понимания студентами форме. Открытия сделанные учеными в 1940-50 г.г. при исследовании асинхронных двигателей оказывают потрясающие воздействия. В данной работе сделана попытка реконструкции хода исследовательской мысли ученых и передачи студентам специфической красотыв движениях математических формул. Пройти школу на материалах такого наследия является важнейшим условием формирования будущих исследователей.

Вначале, на примере мгновенных трехфазных напряжений в косинусоидальной форме сдвинутых во времени на 120° с помощью формулы Эйлера (1707…1783 г.г.) преобразовываются в виде степенных функций. Переход к степенным функциям позволяет производить замену произведений множества тригонометрических формул в простые алгебраические суммы выражений находящихся в степени. Далее, используя известную формулу суммы от произведения мгновенных значений напряжений по фазам на соответствующие единичные векторы переходим к пространственному вектору напряжения статора вращающемуся с циклической частотой питающего напряжения (в данной работе рассматривается двухполюсный двигатель). Аналогично производится переход к пространственным токам статорных и роторных величин, причем фазовые сдвиги токов естественно отразятся в пространственном расположении векторов. В потокосцеплениях фаз статора и ротора показаны взаимосвязи от угла поворота магнитных осей. Перед взглядом студентов предстает множество уравнений с переменными коэффициентами. При переходе к пространственным векторам происходит существенное сокращение числа уравнений. Производные от угла поворота магнитных осей дают скорость вращения ротора.

1. Преобразование мгновенных значений напряжений в степенные функции

Мгновенные значения трехфазных напряжений описываются следующими зависимостями:

где - циклическая частота напряжения, рад/c.

На рис. 1 показана связь мгновенных значений напряжений  с векторами  во временной системе координат, как их проекции на действительную ось  Работа в векторной форме существенно ускоряет процесс исследования, причем в любой момент времени легко перейти к косинусоидальной форме мгновенных значений. Выполнить, например, произведение множества косинусоид  (синусоид) представляет довольно трудоемкую задачу, а в векторной форме произвести перемножение значительно легче.

Рис. 1. Связь мгновенных значений напряжений с векторами, соответствующими во временной системе координат

 

Не меньшую роль в ускорении процессов математических преобразований играет представление с помощью формулы Эйлера мгновенных значений в степенные функции.

Выразим систему уравнений  через степенные функции:

Итак, система уравнений в степенной форме имеет следующий вид:

2. Переход от мгновенных значений напряжений к пространственному вектору

Пространственный вектор напряжения  определяется по следующей зависимости:

где  - единичные пространственные векторы.

Подставив в уравнение  мгновенные значения напряжений в степенной форме  и единичные пространственные векторы  получим:

Геометрический смысл преобразования мгновенных значений напряжений в пространственный вектор показан на рис. 2 (в электронном варианте все векторы и их проекции даны в цветном варианте).

Последовательность построений: во временной системе координат определяются мгновенные значения векторов на действительную ось  далее они переносятся на действительную ось в пространственную систему координат в виде отрезков. Затем осуществляется разворот этих отрезков с помощью единичных пространственных векторов. Далее производиться геометрическая сумма  и наконец, умножив полученный вектор на множитель  получим искомый вектор

 

Рис. 2. Геометрический смысл построения пространственного вектора  по составляющим  и

3. Основные уравнения асинхронного двигателя в фазных переменных статора и ротора

Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 3.

R_s, l_s, l_ms – параметры статорной обмотки,

R_r, l_r, l_mr – параметры роторной обмотки,

|l_msr|=|l_mrs|=|l_m| – коэффициенты взаимоиндуктивности при совпадении магнитных осей статора и ротора

Баланс фазных напряжений статорных и роторных цепей:

                  

Потокосцепление фаз статорных и роторных цепей с учетом взаимоиндуктивностей с переменными коэффициентами, зависящими от расположения магнитных осей ротора и статора:

(11) (12) (13) (14) (15) (16)

4. Преобразование балансов напряжений в фазных переменных в соответствующий баланс пространственных векторов

Умножив обе части уравнения  на единичный пространственный вектор  уравнения  и  – соответственно на  и  Далее, просуммируем уравнения:

В векторной форме баланс напряжений для статора:

Аналогично, произведем преобразование баланса напряжений для роторных фазных переменных:

В векторной форме баланс напряжений для ротора:                

5. Вектор потокосцепления статора АД

Пространственный вектор потокосцепления статора:

где  - мгновенные значения потокосцеплений статора;                                

, ,  - единичные пространственные векторы.

Уравнения  ÷  представим по трем столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на единичный пространственный вектор  второе – на  и последнее уравнение  – на . С целью уменьшения громоздкости получаемых выражений вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем сумму в соответствии с формулой .

Переведем мгновенные значения токов статора и ротора с фазными переменными в степенные функции:

Аналогично, представим   и  в степенной форме:

Или иначе, в удобной для запоминания форме:

Для первого столбца уравнения (20) определим пространственный вектор :

Потокосцепление  можно выразить в следующей форме:

Для второго столбца:

Наконец, для третьего столбца:

,

где

где

Обозначим ;   ;   ;   .

Окончательно, вектор потокосцепления статора [1]:                                             

                                   

6. Вектор потокосцепления ротора АД

Уравнения (14) ÷ (16) представим по трём столбцам соответствующих индуктивностей:

Первое уравнение умножим на , второе – на , третье – на . Вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем полную сумму в соответствии с формулой (22).

Пространственный вектор для первого столбца :

Пространственный вектор для второго столбца системы уравнений (23):

Пространственный вектор для третьего столбца (23):

,

 

Обозначим ;   ;   ;   .

Окончательно, вектор потокосцепления ротора:

(24)

 

7. Векторные уравнения АД в различных системах координат

Основные уравнения асинхронного двигателя в векторной форме имеют вид:

Сделаем существенное замечание по полученным обобщенным векторам. В уравнении (25) векторы , ,  записаны в неподвижной системе координат статора, но в некоторых задачах их необходимо привести к другим системам координат. Рассмотрим схему преобразования одного из векторов, например,  из одной системы координат в другую. Поясним это преобразование на следующем рис. 4.

 

 – неподвижная система координат статора ;

 – система координат, связанная с ротором;

 - угол сдвига системы координат R по отношению к S, причем ;

 – произвольная система координат,  - угол сдвига к неподвижной системе();

 – пространственный вектор напряжения статора.

 и  – этот же пространственный  вектор  напряжения статора в системах координат ротора  и  соответственно.

Связь между векторами в разных системах координат:

Система уравнений (25) – (28) примет следующий вид:

(29)

где , ,  – записаны в не подвижной системе координат статора .

(30)

где , ,  – пространственные векторы роторных величин в роторной системе координат R.

(31)

где ,  – векторы потокосцепления и ток статора в неподвижной системе координат S, а  – в роторной системе координат сдвинутой в неподвижной системе на угол .

(32)

где ,  – векторы потокосцепления и ток ротора в роторной системе координат R, а  – в неподвижной системе координат .

7.1 Приведение векторных уравнений к неподвижной системе координат статора

Уравнение (20) уже записано в статорной системе координат, поэтому показываем процесс приведения следующего уравнения. Для этого умножим обе части уравнение (21) на :

.

В соответствии с вышерассмотренной схемой приведения векторов из одной системы координат в другую, получим:

 и .

Выражение  преобразуем к следующему виду:

.

Окончательно .

В выражении  представим: , тогда

;

.

В уравнении (27) умножим обе части на :

,

.

Окончательно уравнения (24) ÷ (27) в статорной системе координат примет следующий вид:

Опуская индекс «статорная система координат», получим:

(33)

7.2 Приведение уравнений к роторной системе координат

Умножим обе части уравнение (24) на :

;

;

.

Уравнение (25) перепишем без изменений, т.к. оно уже записано в роторной системе координат:

.

Уравнение (26) умножим обе части на :

;

.

В уравнении (27) выразим , тогда

;

.

Окончательно в роторной системе координат уравнения (24) ÷ (27) имеют следующий вид:

Опуская индекс «роторная система координат», получим:

(34)

7.3. Приведение уравнений к системе координат вращающейся с произвольной скоростью

Уравнение (24) умножим на  и сразу выразим :

;

;

.

Уравнение (25) умножим на :

;

;

.

Уравнение (26) умножим на , тогда

, т.к. , то

.

Уравнение(27) умножим на , тогда

;

.

Для системы координат вращающейся с произвольной скоростью  система уравнений:

Опуская индекс «произвольная система координат», получим:

(35)

В работах [2, с. 196], [3, с. 457] Т-образная схема замещения для одной фазы имеет следующий вид:

Рис. 5. Т-образная схема замещения фазы АД

 

 и  - активные сопротивления обмоток статора и ротора;

 и  - индуктивные сопротивления рассеяния обмоток статора и ротора;

 - индуктивное сопротивление намагничивающего контура [3, с. 457].

 - относительная разность скоростей вращения поля () и ротора ().

Связь между скоростью вращения в об/мин с циклической частотой в рад/с следующая:

 - циклическая частота вращения поля, рад/c;

 - циклическая частота вращения ротора, рад/c.

Скольжение s выражено через циклические частоты:

, тогда .

Для анализа режимов частотного управления асинхронными двигателями целесообразно представить индуктивные сопротивления через индуктивности.

Сделаем привязку параметров, принятых в данной статье, с параметрами в схеме замещения на рис. 5 (обозначения приняты для системы в абсолютных единицах):

  

Рис. 6. Т-образная схема замещения для частотного управления в а.е.

 

 - активное сопротивление статорной обмотки, Ом;

 - активное сопротивление роторной обмотки, приведенного к статорной обмотке, Ом;

 - индуктивность рассеяния статорной обмотки, Гн;

 - индуктивность рассеяния роторной обмотки, Гн;

 - индуктивность от главного потока, Гн;

 - циклическая частота напряжения сети, рад/с.

В обозначениях, приведенных в уравнении (21) и (24):

;

, отсюда

В работе [3, с. 457] аналогичные выражения связей параметров в привязке к параметрам схемы замещения на рис. 5 даны в следующем виде:

 - сопротивление взаимной индуктивности;

;

;

;

,

где  - частота напряжения сети;

 - индуктивность собственной статорной обмотки;

 - индуктивность собственной роторной обмотки;

 - взаимоиндуктивность фаз статорных обмоток;

 - взаимоиндуктивность фаз роторных обмоток;

, , , ,  - относительные значения параметров приводятся в справочниках, например [4].

;   ;   ;   ;   .

Для перехода к системе относительных единиц введем базовые величины [5, с. 117]:

 - амплитуда номинального фазного напряжения;

 - амплитуда номинального фазного тока;

 - номинальная угловая частота напряжения статора;

 - угловая скорость ротора в режиме идеального холостого хода при номинальной частоте напряжения статора;

 = 1 эл. рад. – единица измерения углов;

 - время;

 - потокосцепление;

 - индуктивность;

 - сопротивление;

 - мощность, равная номинальной электромагнитной мощности двигателя;

 - момент, равный номинальному электромагнитному моменту двигателя;

 - коэффициент, равный отношению полной мощности на зажимах обмотки статора к электромагнитной мощности в номинальном режиме.

Относительные значения амплитуд напряжения на зажимах обмотки статора и электродвижущих сил (полной ЭДС обмотки статора; ЭДС, наводимой в обмотках машин главным магнитным потоком; полной ЭДС обмотки ротора):

;   ;   ;   .

Относительные значения амплитуд тока статора, тока намагничивания и тока ротора:

;   ;   .

Относительные значения амплитуд потокосцепления статора, главного потокосцепления и потокосцепления ротора:

;   ;   .

Относительный электромагнитный момент двигателя и момент статического сопротивления механизма:

;   .

Относительные угловая частота напряжения статора и скорость вращения ротора с учетом числа пар полюсов :

;      .

По значениям относительной частоты напряжения статора и скорости вращения ротора может быть следующим образом определено абсолютное скольжение ротора двигателя:

.

Относительные значения активных сопротивлений в Т-образной схеме замещения (рис. 7) определяются выражениями:

 - относительное активное сопротивление обмотки статора;

 - относительное активное сопротивление обмотки ротора, приведенное к цепи статора.

Индуктивные сопротивления в данных каталога даются при номинальной частоте [5]. Для анализа режимов частотного управления более удобно перейти от индуктивных сопротивлений к индуктивностям, которые в общем случае определяются формулой:

,

где f – частота, при которой определено значение индуктивного сопротивления.

Индуктивности и индуктивные сопротивления реактивных элементов схемы замещения связаны соотношениями:

;   ;   .

В системе относительных единиц они представляются следующим образом:

 - относительная индуктивность от главного магнитного потока;

 - относительная индуктивность рассеяния обмотки статора;

 - относительная индуктивность рассеяния обмотки ротора, приведенная к цепи статора.

Схема замещения асинхронного двигателя при переменной частоте [5, с. 120]:

Рис. 7. Схема замещения асинхронного двигателя при переменной частоте

 

Примечание: при переходе от Т-образной схемы (рис. 6) в абсолютных единицах к схеме замещения на рис. 7 сделаны следующие преобразования:

1.        

,

где  - циклическая (угловая) частота вращения поля.

2.         ,

где .

3.         .

4.         .

Для неподвижной системы координат были получены следующие уравнения:

	(36)
	(37)
	(38)
	(39)

Переведем эти уравнения в систему относительных единиц. Обе части уравнения (36) разделим на :

,

где

Аналогичные уравнения произведем для второго уравнения:

В уравнении (38) обе части умножим на :

,

где                           

Аналогично в уравнении (39) умножим обе части на :

Окончательно, система уравнений в относительных единицах примет вид:

	(40)
	(41)
	(42)
	(43)

 

Литература:

 

1.             Ковач К.П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока / Пер. с нем. - М.Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 735 с.: ил.

2.             Копылов И.П. Проектирование электрических машин: Учеб. пособие для вузов / И.П. Копылов, Ф.А. Горяинов, Б.К. Клоков и др. – М.: Энергия, 1980. – 496 с.

3.             Чиликин М.Г. Основы автоматизированного электропривода: Учеб. пособие для взуов / М.Г. Чиликин, М.М. Соколов, В.М. Терехов, А.В. Шинянский. – М.: Энергия, 1974. – 568 с.

4.              Кравчик А.И. Асинхронные двигатели серии 4А. Справочник: Энергоиздат, 1982. – 502 с.

5.             Шрейнер Р.Т. Электромеханические и тепловые режимы асинхронных двигателей в системах частотного управления: учеб. пособие / Р.Т. Шрейнер, А.В. Костылев, В.К. Кривовяз, С.И. Шилин; под. Ред. проф. д.т.н. Р.Т. Шрейнера. – Екатеринбург: ГОУ ВПО «Рос. гос. проф.-пед. ун-т», 2008. – 361 с.