В работе предложено решать задачу об оптимальной стабилизации для функционально-дифференциального уравнения на основе функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Для этого используется метод предельных уравнений.
Ключевые слова:оптимальная стабилизация, метод предельных уравнений, функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной.
В середине 20-го столетия получила большое развитие теория оптимальных процессов в управляемых динамических системах, которая охватывает широкий круг проблем прикладного характера. Среди этих проблем важное техническое значение имеет поставленная А. М. Летовым [1] проблема аналитического конструирования регуляторов, относящаяся к задачам синтеза оптимальных систем с обратной связью. Развивая идеи А. М. Летова, Н. Н. Красовский разработал теорию оптимальной стабилизации управляемых движений [2]. Это — задача о построении регулирующих воздействий, которые обеспечивают устойчивое осуществление желаемого движения при наилучшем возможном качестве переходного процесса. Задача об оптимальной стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляемых систем. Методы исследования проблем оптимальной стабилизации переплетаются с классическими методами теории устойчивости Ляпунова. Подход Н. Н. Красовского с успехом применяется при решении оптимальных задач аналитического конструирования регуляторов для линейных систем. Однако при применении этой теории к нелинейным системам с целью получения синтезирующего управления в замкнутой форме возникают серьезные математические трудности, источником которых является отсутствие универсального способа построения функционала Ляпунова в каждом конкретном случае. Ведь, как известно, задача об оптимальной стабилизации движения управляемой системы на бесконечном интервале времени сводится к отысканию оптимального функционала Ляпунова и оптимальных управляющих воздействий, удовлетворяющих уравнению в частных производных типа Беллмана, которое необходимо решить с учетом дополнительного неравенства. В работе [3] предложено решать задачу об оптимальной стабилизации для обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций Ляпунова со знакопостоянной производной. В данной работе предлагается аналогичное решение для функционально-дифференциального уравнения.
Отметим, что структура функционала качества и выбор его коэффициентов не являются фиксированными и могут, вообще говоря, выбираться с определенным произволом, так как основная задача состоит не в минимизации конкретного функционала, а в построении стабилизирующего управления.
1. Постановка задачи об оптимальной стабилизации.
Пусть 
— линейное действительное пространство 
- векторов 
, 
с нормой 
, 
> 0 — действительное число, 
— банахово пространство непрерывных функций 
c нормой 
= sup
, для 
, если 
есть непрерывная функция, тогда для 
функция 
определяется равенством 
, под 
понимается правосторонняя производная.
Рассматривается управляемая система, движение которой описывается функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа:
(1.1) 
Здесь 
, где 
есть управляющее воздействие, 
— некоторый класс допустимых управлений; 
есть непрерывное отображение, удовлетворяющее в 
условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решений (1.1) от начальных данных.
Пусть 
есть некоторое выбранное управляющее воздействие, под действием которого уравнения (1.1) принимают вид:
(1.2) 
.
Предполагаем, что правая часть системы (1.2) удовлетворяет предположениям 1.1–1.3 [4]. Тогда можно построить семейство предельных уравнений к (1.2):
(1.3) 
,
где 
Рассмотрим функционал:
(1.4) 
Здесь 
есть некоторый непрерывный неотрицательный функционал переменных 
, характеризующий качество переходного процесса. Выбор 
в конкретной прикладной задаче осуществляется с учетом особенностей ее постановки, ограничения ресурсов управления, требования к оценке переходного процесса и возможностях формы или способа решения задачи.
Введем обозначения: 
есть движение, удовлетворяющее начальному условию 
и порождаемое управляющим воздействием 
, где 
. Соответственно 
порождается управляющим воздействием 
.
Определение 1.1. Задача оптимальной стабилизации заключается в нахождении управляющего воздействия 
, обеспечивающего асимптотическую устойчивость невозмущенного движения 
, и такого что по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями 
, решающими задачу о стабилизации движения , для всех 
выполняется неравенство:
при условиях 
.
Замечание 1.1. Область 
в определении 1.1 принята независимой от 
.
2. Теорема об оптимальной стабилизации на основе знакоопределенного функционала Ляпунова
Обозначим через 
непрерывную, строго монотонно возрастающую функцию 
.
Пусть 
: 
есть непрерывный знакоопределенный функционал Ляпунова: 
.
Определение 2.1. Пусть 
есть некоторая последовательность. Для каждого 
и 
определим множество 
следующим образом: точка 
, если существует подпоследовательность 
, такая, что: 
.
Введем следующее выражение:
(2.1) 
В силу того, что 
зависит от 
, то 
также зависит от . Выражение (2.1) совпадает и близко по смыслу с соответствующим выражением Беллмана в методе динамического программирования. Предположим, что 
удовлетворяет вышеупомянутым предположениям 1.1, 1.3.
Теорема 2.1. Предположим, что в некоторой окрестности для системы 
можно найти непрерывный функционал 
и управляющее воздействие
, удовлетворяющие условиям:
1) движение системы 
из некоторой окрестности 
равномерно ограничены областью 
;
1. 2) 
;
2) имеет место тождество: 
3) существуют предельная пара 
с множеством 
, такие, что для каждого значения 
множество
не содержит решений уравнения 
.
4) для всех 
справедливо неравенство: 
;
5) для каждого движения 
, соответствующего управлению 
, 
, 
, имеет место свойство:
, .
Тогда управляющее воздействие 
решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения (1.1), а именно: при 
решение асимптотически устойчиво равномерно по 
с областью притяжения 
и для каждого соответствующего движения 
, 
выполняется:
.
Доказательство. Согласно условию 3) теоремы:
.
Следовательно:
.
Из теоремы 3.1.2 [5], в силу условий 1), 2) и 4) теоремы, получаем, что решение 
уравнения (1.1) асимптотически устойчиво равномерно по с областью притяжения 
. Таким образом, для каждого движения системы (1.1) при 
имеем: 
, 
, 
. Из условия 4), кроме того, следует, что для каждого решения 
, выполняется:
.
Из условия 3) теоремы следует, что:
.
Интегрируем последнее тождество по 
от 
до 
, получаем:
.
Переходим к пределу при 
, получаем:
.
Пусть 
есть любое другое управляющее воздействие, для которого соответствующее движение 
, , . В силу условия 5) теоремы следует неравенство:
.
Интегрируя последнее неравенство по от до и переходя к пределу при из условия 6) теоремы, получаем:
.
Теорема доказана.
Теорема 2.1 дополняет некоторые результаты работы [6].
Замечание 2.1. Из доказательства теоремы 2.1 видно, что важным условием является условие 6) теоремы, так как из первых пяти условий теоремы, вообще говоря, не следует, что 
, когда, 
, . В следующей теореме [6] показано, что условие 6) можно заменить на условие существования бесконечно малого высшего предела у функционала 
и при этом видоизменить условие 1.
Теорема 2.2. Предположим, что в некоторой окрестности для системы можно найти непрерывный функционал и управляющее воздействие, удовлетворяющие условиям:
1) 1) 
;
2) имеет место тождество:
3) каждая предельная пара такова, что множество
не содержит решений уравнения , кроме нулевого;
4) для всех справедливо неравенство: ;
Тогда управляющее воздействие решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения (1.1), а именно: при решение равномерно асимптотически устойчиво с областью притяжения и для каждого соответствующего движения , выполняется:
.
Доказательство. Согласно условию 2) теоремы:
.
Следовательно:
.
Из теоремы 3.1.3 [5], в силу условий 1) — 3) теоремы, получаем, что решение уравнения (1.1) равномерно асимптотически устойчиво с областью притяжения . Таким образом, для каждого движения системы (1.1) при имеем: , , .
Из условия 2) теоремы следует, что:
.
Интегрируем последнее тождество по от до , получаем:
.
Переходим к пределу при , учитывая, что функционал 
допускает бесконечно малый высший предел, получаем:
.
Пусть есть любое другое управляющее воздействие, для которого соответствующее движение , , 
. В силу условия 4) теоремы следует неравенство:
.
Интегрируя последнее неравенство по от до и переходя к пределу при из условия 1) теоремы, получаем:
.
Теорема доказана.
Литература:
1. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов//АиТ. –1960. — Т.21. –№ 4–6.; 1961. — Т. 22. — № 4.; 1962. — Т.23. — № 11.
2. Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений. В кн.:Малкин И. Г. «Теория устойчивости движения», Дополнение 4. –М.:Наука, 1966. — С. 475–515.
3. Ким Е. Б. О моделировании нелинейной управляемой системы //Социально-экономические и технические системы. — 2006. — № 3(19) — Режим доступа: http://kampi.ru/sets/.
4. Павликов С. В. О стабилизации систем, моделируемых функционально-дифференциальными уравнениями второго порядка // Социально-экономические и технические системы. — 2006. — 1(17). — Режим доступа: http://kampi.ru/sets/.
5. Павликов С. В. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации. Набережные Челны. — Изд-во Института управления. — 2010. — 394 с.
6. Павликов С. В., Савин И. А., Емельянов Д. В. К методу функционалов Ляпунова в задаче об оптимальной стабилизации управляемых систем // Вестник КГТУ им. А. Н. Туполева. — 2013. — № 4. — С. 170–176.
