Теория аукционов является одной из успешных и динамически развивающихся областей экономической теории, микроэкономики.
Метод математического моделирования широко используется в различных отраслях науки и техники: биологии [9, 10, 22–24], экономике [1, 8, 12, 19, 32], робототехнике [26], теории аукционов [29] и др. Математические модели конфликтных ситуаций и их разрешение представлены в работе [28]. В работе [44] производится построение математической модели оптимальных стратегий в условиях конфликта. Приложения математического моделирования рассмотрены в статье [45]. Модели многоагентного взаимодействия в условиях конкуренции рассмотрены в [16, 17, 20, 21, 30, 33, 34, 41, 42]. В статье [27] подробно рассмотрены устойчивость и некоторые численные методы в конфликтно управляемых системах. В статьях [13, 15] исследуется вероятностно-детерминированная модель влияния различных факторов на функционирование организации, осуществляющей инновационную деятельность, и стохастическая модель принятия решения о выводе на рынок какого-либо инновационного продукта. В работе [18] моделируются процессы реконструкции жилой застройки мегаполиса в условиях конкурентной среды. Математическая модель коррупции представлена и рассмотрена в работах [25, 31, 35–40, 43, 46]. Проблема коррупции в современном обществе затронута в статьях [2–7, 11].
В данной работе рассматривается модель многошагового многотоварного аукциона на рынке риэлтерских услуг. Аукцион проходит в несколько этапов, в каждом из которых поочередно выставляется на продажу одна квартира. Перед аукционом покупатели знакомятся с информацией о квартирах. Каждый покупатель для себя оценивает квартиры определенными денежными суммами, при этом каждый стремится максимизировать разницу между суммой его оценок приобретенных им квартир и суммой, потраченной на их приобретение.
На каждом этапе аукциона каждый покупатель делает ставку втайне от остальных, после чего любой из покупателей может дать ведущему аукциона взятку, тем самым неофициально увеличив свою ставку. Сумма, на которую увеличивается ставка агента, давшего взятку, рассчитывается ведущим после получения всех взяток. Тот агент, чья итоговая ставка оказалась максимальной, объявляется победителем, при этом он уплачивает цену, указанную в его заявке. На каждом этапе аукциона внешним образом задан строгий приоритет участников, так что в случае совпадения итоговых ставок квартиру получает наиболее приоритетный участник.
Пусть 
, 
— множество агентов (покупателей), 
, 
— множество квартир, выставленных на аукцион. Каждый агент, участвующий в аукционе, имеет в своем распоряжении определенную денежную сумму, бюджет. Пусть 
— это начальный набор бюджетов всех агентов: 
В продолжении аукциона агент может потратить сумму, не превышающую его бюджет. Аукционист задает стартовые цены, которые для простоты вычислений будем считать натуральными числами. Пусть 
— это набор стартовых цен. Агенты должны делать ставки не меньшие стартовых цен. В случае если агент не участвует в этапе аукциона, будем говорить, что он сделал нулевую ставку. На каждом этапе ведущий аукциона принимает ставки агентов 
. После этого любой агент (пусть его номер — i), сделавший ненулевую ставку 
, может дать ведущему взятку 
, которая приводит к неофициальному увеличению ставки этого агента. Если агент не участвует в данном этапе аукциона (делает нулевую ставку), будем считать, что он не дает взятку. Ведущий рассчитывает процент, на который увеличивается ставка i-го агента, умножая сумму его взятки на число 
, вычисляемое по заранее установленному правилу по исходным ставкам агентов. Таким образом, итоговая ставка каждого агента (пусть его номер — i), используемая для определения победителя данного этапа аукциона, составляет 
. Определим множество стратегий i-го агента. Для начала зададим множество возможных ставок 
(стратегий) i-го агента на первом этапе аукциона 
Далее зададим множество 
стратегий i-го агента на j-м этапе. В данном случае это множество зависит от набора 
стратегий i-го агента на 
предыдущем этапе. В данном случае стратегией является не ставка агента, а функция, зависящая от исходов предыдущих этапов для 
-го агента. Для записи этих исходов будем использовать упорядоченные наборы 
из элементов. В этих наборах элемент, стоящий на k-ом месте, является нулем, если агент не получил квартиру, выставленную на 
-ом этапе, и единицей, если агент ее приобрел.
Тогда можно задать множество стратегий i-го агента таким образом:
Рассмотрим ситуацию в игре 
, элементами которой являются стратегии агентов. Каждая такая стратегия является набором 
стратегий агента на каждом этапе. Обозначим множество всех ситуаций в игре 
. Покажем, как можно по заданным стратегиям 
(i-го агента на j-м этапе) определить, кому какая квартира досталась. По заданным стратегиям однозначно определяется, что первую квартиру получает агент с номером 
. На j-м этапе аукциона строим набор 
, j-й элемент которого будет равен 1, если -й агент получил j-ю квартиру, и 
в противном случае. Тогда 
квартиру получает агент с номером
После аукциона у j-го агента останется сумма
Полученные результаты можно использовать для составления некоторой функции выигрышей 
, которая каждой ситуации в игре ставит в соответствие набор вещественных чисел — выигрышей каждого агента 
. В случае если максимальная итоговая ставка на квартиру нулевая, никто из агентов ее не получает. Если же максимальная итоговая ставка ненулевая и сделана одним агентом, то квартиру получает он. В случае равенства максимальных итоговых ставок агент, получающий квартиру, определяется с помощью заранее установленного правила приоритета. Последнее означает, что задана функция 
, где 
— итоговые ставки, сделанные агентами на j-ом этапе аукциона. Значением функции является номер выигравшего агента, либо 0, если никто из агентов не получает j-ю квартиру. Для удобства дальнейших вычислений зададим функцию
которая вычисляет 
не по итоговым ставкам агентов, а по их исходным ставкам и взяткам 
. Пусть каждый агент оценивает квартиры определенной денежной суммой. Выпишем матрицу оценок 
размерности 
из целых неотрицательных чисел:
Элемент матрицы 
означает оценку, которую i-й агент делает j-й квартире. Если агент заведомо не собирается приобретать квартиру, в качестве такой оценки следует взять число 0. В данной модели в качестве функции выигрыша 
для i-го агента будем рассматривать разницу между суммой его оценок приобретенных им квартир и потраченными им во всем аукционе денежными средствами, включая взятки: 
Напомним определение равновесия Нэша. Ситуация называется равновесной по Нэшу, если для любого игрока 
и для любой его стратегии 
Пример
Пусть в аукционе 
принимают участие агенты 
и 
, на аукцион выставляются 
квартиры 
и 
. Агент обладает бюджетом 3 млн. рублей, а — 4 млн. рублей
. Аукционисты задают стартовые цены на квартиры: квартира оценивается в 1 млн. рублей, а — в 2 млн. рублей 
. Агент оценивает обе квартиры в 2 млн. рублей, а — квартиру в 1 млн. рублей, а — в 3 млн. рублей 
Пусть после уплаты взяток агентами ведущий аукциона решает увеличить ставку агентам, давшим взятку, на 5 % от взятки 
. На каждом этапе аукциона в случае, если максимальная ставка на квартиру нулевая, никто из агентов ее не получает. Если же максимальная ставка не нулевая и сделана одним агентом, то квартиру получает он. Если ставки одинаковы и не нулевые, то на первом этапе аукциона квартиру получает агент , а на втором этапе — . У первого агента существует 37 стратегий, у второго — 126. Всего в аукционе существует 4662 ситуации, 318 из которых являются равновесными по Нэшу. Значения функции выигрышей в равновесных ситуациях различны и равны (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), где первый элемент означает выигрыш агента , а второй — агента . Агенту , чтобы максимизировать свой выигрыш, нужно выбрать стратегии, дающие значение функции выигрышей (1,0) и 
, а агенту — стратегии, дающие значение функции выигрышей 
и (1,1). Всего равновесных ситуаций по Нэшу, в которых функция выигрышей равна (0,0), 140. (0,1) — 66 ситуаций. (1,0) — 84. (1,1) — 28. Каждая ситуация
состоит из 12 чисел 
— ставка агента на первом этапе, 
— взятка агента на первом этапе, 
— ставка агента на втором этапе, если он не приобрел квартиру на первом этапе, 
— взятка агента на втором этапе, если он не приобрел квартиру на первом этапе, 
— ставка агента на втором этапе, если он приобрел квартиру на первом этапе, 
— взятка агента на втором этапе, если он приобрел квартиру на первом этапе, 
— ставка агента на первом этапе, 
— взятка агента на первом этапе, 
— ставка агента на втором этапе, если он не приобрел квартиру на первом этапе, 
— взятка агента на втором этапе, если он не приобрел квартиру на первом этапе, 
— ставка агента на втором этапе, если он приобрел квартиру на первом этапе, 
— взятка агента на втором этапе, если он приобрел квартиру на первом этапе.
Примеры равновесных ситуаций: для функции выигрышей (0,0): 
; для функции выигрышей (0,1): 
; для функции выигрышей (1,0): 
; для функции выигрышей (1,1): 
.
Литература:
1. Алферов Г. В., Малафеев О. А., Мальцева А. С. Модель проведения антикоррупционных инспекций // Управление социально-экономическим развитием регионов: проблемы и пути их решения. — 2014. — С. 20–24.
2. Басова Л. А. Является ли коррупция нормой? (нормативно-правовые основания коррупционного поведения, на примере Г. Ярославля) // Молодой ученый. — 2011. — № 11–2. — С. 6–8.
3. Бидова Б. Б. Для кого — взятка, для кого — оплата услуг? // Молодой ученый. — 2014. — № 18. — С. 683–685.
4. Боккоева Г. Н. Противодействие коррупции и теневой экономике в целях улучшения делового климата бизнес-сообщества // Молодой ученый. — 2013. — № 12 (59). — С. 252–255.
5. Бородина А. Ю. Универсальная электронная карта как инструмент в борьбе с коррупцией // Молодой ученый. — 2014. — № 1. — С. 205–208.
6. Бочарова А. Э. Коррупция в России // Молодой ученый. — 2014. — № 21 (80). — С. 499–501.
7. Вершинина Е. С. Коррупционная составляющая государственных закупок // Молодой ученый. — 2015. — № 3 (83). — С. 626–630.
8. Гасратова Н. А., Столбовая М. В., Неверова Е. Г., Бербер А. С. Математическая модель «ресурс-потребитель» // Молодой ученый. — 2014. — № 10 (69). — С. 5–14.
9. Гасратова Н. А., Столбовая М. В., Бойцов Д. С., Степанова Д. С. Математическая модель хищник-жертва на линейном ареале // Молодой ученый. — 2014. — № 11. — С. 1–10.
10. Гасратова Н. А., Бойцов Д. С., Габриелян Л. А., Тюганова Т. М. Математическая модель иммунного ответа организма млекопитающих на поражение кожи ожогом // Молодой ученый. — 2014. — № 12 (71). — С. 1–7.
11. Головченко А. В. Криминологическая характеристика коррупции // Молодой ученый. — 2009. — № 11. — С. 207–210.
12. Гордеев Д. А., Малафеев О. А., Титова Н. Д. Probabilistic and deterministic model of the influence factors on the activities of the organization to innovate // Экономическое возрождение России. — 2011. — № 1. — С. 73–82.
13. Гордеев Д. A., Малафеев О. А., Титова Н. Д. Стохастическая модель принятия решения о выводе на рынок инновационного продукта // Вестник гражданских инженеров. — 2011. — № 2. — С. 161–166.
14. Григорьева К. В., Малафеев О. А. Динамический процесс кооперативного взаимодействия в многокритериальной (многоагентной) задаче почтальона // Вестник гражданских инженеров. — 2011. — № 1. — С. 150–156.
15. Григорьева К. В., Иванов А. С., Малафеев О. А. Статическая коалиционная модель инвестирования инновационных проектов // Экономическое возрождение России. — 2011. — № 4. — С. 90–98.
16. Григорьева К. В., Малафеев О. А. Методы решения динамической многокритериальной задачи почтальона // Вестник гражданских инженеров. — 2011. — № 4. — С. 156–161.
17. Грицай К. Н., Малафеев О. А. Задача конкурентного управления в модели многоагентного взаимодействия аукционного типа // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2007. — № 39. — С. 36–45.
18. Дроздова И. В., Малафеев О. А., Паршина Л. Г. Эффективность вариантов реконструкции городской жилой застройки // Экономическое возрождение России. — 2008. — № 3. — С. 63–67.
19. Ершова Т. А., Малафеев О. А. Конфликтные управления в модели вхождения в рынок // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2004. — № 36. — С. 19–27.
20. Колокольцов В. Н., Малафеев О. А. Динамические конкурентные системы многоагентного взаимодействия и их асимптотическое поведение (часть I) // Вестник гражданских инженеров. — 2010. — № 4. — С. 144–153.
21. Колокольцов В. Н., Малафеев О. А. Динамические конкурентные системы многоагентного взаимодействия и их асимптотическое поведение (часть II) // Вестник гражданских инженеров. — 2011. — № 1. — С. 134–145.
22. Колпак Е. П., Горбунова Е. А., Балыкина Ю. Е., Гасратова Н. А. Математическая модель одиночной популяции на билокальном ареале // Молодой ученый. — 2014. — № 1 (6). — С. 28–33.
23. Колпак Е. П., Горбунова Е. А., Столбовая М. В., Балыкина Ю. Е. Математическая модель логистической популяции на линейном ареале // Молодой ученый. — 2014. — № 3 (62). — С. 6–14.
24. Колпак Е. П., Жукова И. В., Степанова Д. С., Крицкая А. В. О численных методах решения эволюционных уравнений на примере математической модели «хищник-жертва» // Молодой ученый. — 2014. — № 4 (63). — С. 20–30.
25. Колпак Е. П., Селицкая Е. А., Габриелян Л. А. Математическая модель коррупции в системе «власть — общество» // Молодой ученый. — 2015. — № 10. — С. 9–16.
26. Кулаков Ф. М., Алферов Г. В., Малафеев О. А. Кинематический анализ исполнительной системы манипуляционных роботов // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2014. — № 46. — С. 31–38.
27. Малафеев О. А., Троева М. С. Устойчивость и некоторые численные методы в конфликтно управляемых системах. — 1999.
28. Малафеев О. А., Муравьев А. И. Математические модели конфликтных ситуаций и их разрешение // Том 1 Общая теория и вспомогательные сведения. — 2000.
29. Малафеев О. А., Грицай К. Н. Конкурентное управление в моделях аукционов // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2004. — № 36. — С. 74–82.
30. Малафеев О. А., Соснина В. В. Модель управления процессом кооперативного трехагентного взаимодействия // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2007. — № 39. — С.131–144.
31. Малафеев О. А., Королева О. А. Модель коррупции при заключении контрактов // Процессы управления и устойчивости Труды XXXIX международной научной конференции аспирантов и студентов. — 2008. —С. 446–449.
32. Малафеев О. А., Пахар О. В. Динамическая нестационарная задача инвестирования проектов в условиях конкуренции // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2009. — № 41. — С. 103–108.
33. Малафеев О. А., Зенович О. С., Севек В. К. Многоагентное взаимодействие в динамической задаче управления венчурными строительными проектами // Экономическое возрождение России. — 2012. — № 1. — С. 124–131.
34. Малафеев О. А., Колокольцов В. Н. Математическое моделирование многоагентных систем конкуренции и кооперации (теория игр для всех) // Учебное пособие. — 2012.
35. Малафеев О. А., Рединских Н. Д. Модель оптимального распределения антикоррупционных ресурсов // Институты и механизмы инновационного развития: мировой опыт и российская практика. — 2014. — С. 248–250.
36. Малафеев О. А., Рединских Н. Д., Парфенов А. П., Смирнова Т. Е. Коррупция в моделях аукциона первой цены // Институты и механизмы инновационного развития: мировой опыт и российская практика. — 2014. — С. 250–253.
37. Малафеев О. А., Рединских Н. Д. Математический анализ многоагентных коррупционных сетей // Институты и механизмы инновационного развития: мировой опыт и российская практика. — 2014. — С. 254–257.
38. Малафеев О. А., Рединских Н. Д., Колокольцов В. Н. Модель конкуренции на рынке коррупционных услуг // Институты и механизмы инновационного развития: мировой опыт и российская практика. — 2014. — С. 257–260.
39. Малафеев О. А., Алферов Г. В., Мальцева А. С., Парфенов А. П. Модель распределения заданий антикоррупционным группам, оперирующим в коррупционной среде // Управление социально-экономическим развитием регионов: проблемы и пути их решения. — 2014. — С. 189–192.
40. Малафеев О. А., Неверова Е. Г. Модель взаимодействия антикоррупционных органов с коррупционными группами // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2014. — № 4 (27). — С. 53–57.
41. Малафеев О. А. [и др.] Компромисс и равновесие в моделях многоагентного управления в коррупционной сети социума // Молодой ученый. — 2014. — № 10. — С. 14–17.
42. Парфенов А. П., Малафеев О. А. Равновесие и компромиссное управление в сетевых моделях многоагентного взаимодействия // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы. — 2007. — № 39. — С. 154–167.
43. Пичугин Ю. А., Малафеев О. А., Рединских Н. Д. Вероятностные критерии коррумпированности // Институты и механизмы инновационного развития: мировой опыт и российская практика. — 2014. — С. 312–313.
44. Покорная О. Ю., Покорная И. Ю., Прядкин Д. В. Математическое моделирование оптимальных стратегий в условиях конфликта // Молодой ученый. — 2011. — № 4. Т.1. — С. 16–19.
45. Солдатова Г. Т. Приложения математического моделирования // Молодой ученый. — 2009. — № 11. — С. 16–18.
46. Старева И. А., Еременко В. Р. Математическое моделирование коррупционных систем и процессов (обзор) // Молодой ученый. — 2015. — № 11. — С. 113–120.
47. Malafeyev O. A., Kolokoltsov V. N. Understanding game theory // New Jersey — 2010.
