Блочно-операторная матрица — это матрица, элементы которой являются линейными операторами в банаховом или гильбертовом пространствах [1]. Одним из специальных классов блочно-операторных матриц являются Гамильтонианы системы с несохраняющимся числом квантовых частиц на целочисленной решетке. Их количество может быть неограниченным, как в случае моделей спин-бозонов [2,3] или ограниченным, как в случае урезанных моделей спин-бозонов [4,5]. Отметим, что такие системы обычно возникают в задачах физики твердого тела [6], квантовой теории поля [7], статистической физики [8], магнитогидродинамики [9] и квантовой механики [10].
Через 
обозначим 
-мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе 
рассматривается как абелева группа в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в 
по модулю 
. Например, если 
и
,
то
, 
.
Пусть 
— одномерное комплексное пространство и 
— гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Обозначим через 
прямую сумму пространств 
и 
т. е. 
В гильбертовом пространстве рассматривается следующая блочно-операторная матрица
где операторы 
, 
, 
определяются по формулам
, 
, 
, 
Здесь 
- фиксированное вещественное число, 
и 
— вещественнозначные непрерывные функции на , а 
— «параметр взаимодействия». Кроме того, есть неотрицательная функция, т. е. 
для всех 
.
В этих предположениях на параметры оператор 
, действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным. При этом 
сопряженный оператор к 
и
, 
.
Оператор называется оператором уничтожения, а называется оператором рождения [7]. Оператор уничтожения снижает количество частиц в заданном состоянии на единицу, а оператор рождения увеличивает число частиц в данном состоянии на единицу, и является сопряженным к оператору уничтожения. Такие операторы имеют широкое применение в квантовой механике, в частности, в изучении квантовых гармонических осцилляторов и систем многих частиц.
На протяжении всей работы под обозначениями 
и 
понимаются спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора, соответственно.
Пусть оператор 
действует в как
.
Оператор возмущения 
оператора является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что
.
где числа 
и 
определяются следующим образом
, 
.
Из последних фактов следует, что
.
Определим регулярную в 
функцию
.
Функция 
называется определителем Фредгольма, ассоциированным с оператором .
Установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции .
Лемма 1. Число 
является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство. Пусть число — есть собственное значение оператора и пусть 
- соответствующая собственная вектор-функция. Тогда эта вектор-функция удовлетворяет уравнению 
или системе уравнений
(1)
Так как 
из второго уравнения системы (1) для 
имеем
. (2)
Подставляя выражение (2) для в первое уравнение системы (1) заключаем, что система уравнений (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда .
Лемма 1 доказана.
Из леммы 1 вытекает, что
.
С целью исследования собственных значений оператора предположим, что
и положим
.
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 1. При всех 
оператор имеет не менее одного и не более двух собственных значений. Более того, если 
, то оператор имеет единственное простое собственное значение и оно лежит левее 
, а при 
оператор имеет по одному собственных значения, лежащих левее и правее 
соответственно.
Замечание 1. В теореме 1, собственное значение 
оператора которое существует при всех обычно называется основным состоянием и в этом случае компоненты соответствующего собственного вектора-функции выглядят так:
.
Доказательство теоремы 1. Так как функция является строго убывающей на полуосях 
и 
, то отсюда и из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега следует, что существуют пределы (конечное или бесконечное)
, 
.
При этом по определению
, 
.
Очевидно, что функция строго убывает от 
до 
на промежутке 
и от 
до 
на промежутке 
. Следовательно, оператор имеет собственное значение 
тогда и только тогда когда 
и имеет собственное значение 
тогда и только тогда когда 
. Поэтому из соотношения
следует, что при всех значениях параметра оператор имеет хотя бы одно собственное значение, ниже . По определению числа 
и равенства
следует, что
1) если , то оператор не имеет собственных значений, лежащих правее 
;
2) если 
, то оператор имеет единственное простое собственное значение, лежащее правее .
Нетрудно убедиться, что если число 
является собственным значением оператора , то вектор-функция 
с компонентами
удовлетворяет уравнению 
и 
. Теорема 1 доказана.
Замечание 2. Из доказательства теоремы 1 видно, что если интеграл
расходится, то для любого оператор имеет одно собственное значение, лежащее правее .
Отметим, что теорема 1 играет важную роль при определении числа отрезков, а также их расположений, определяющих существенный спектр решетчатой модели светового излучения с неподвижным атомом и не более чем двумя фотонами. От этого часто зависит существование конечного и бесконечного числа собственных значений соответствующих модельных операторов.
Литература:
1. C.Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Imperial College Press, 2008.
2. H.Spohn. Ground states of the spin-boson Hamiltonian. Comm. Math. Phys., 123 (1989), 277–304.
3. M.Huebner, H.Spohn. Spectral properties of the spin-boson Hamiltonian. Ann. Inst. Henri Poincare, 62:3 (1995), 289–323.
4. Ю. В. Жуков, Р. А. Минлос. Спектр и рассеяние в модели «спин-бозон» с не более чем тремя фотонами. Теор. и матем. физика, 103:1 (1995), 63–81.
5. R. A. Minlos, H.Spohn. The three-body problem in radioactive decay: the case of one atom and at most two photons. Topics in Statistical and Theoretical Physics, American Mathematical Society Translations--Series 2, 177 (1996), 159–193.
6. A. I. Mogilner. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schroedinger operators: problems and results. Advances in Sov. Math. 5 (1991), 139–194.
7. К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.
8. V. A. Malishev, R. A. Minlos. Linear infinite-particle operators. Translations of Mathematical Monographs. 143, AMS, Providence, RI, 1995.
9. A. E. Lifschitz. Magnetohydrodynamic and spectral theory. Vol. 4 of Developments in Electromagnetic Theory and Applications. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1989.
10. B.Thaller. The Dirac equation. Texts and Monographs in Physics. Springer, Berlin, 1992.
