Пороговые явления для двухчастичного дискретного оператора Шредингера изучены в работах [1–3], a для семейства модели Фридрихса с одномерным возмущением, которые ассоциированы с системой двух частиц на решетке изучены в работах [4,5]. Как известно, некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств модели Фридрихса [6–8]. Поэтому изучение пороговых явлений для модели Фридрихса играет важную роль в современной математической физике.
В настоящей работе рассматривается модель Фридрихса 
, 
, в случае функции специального вида 
, являющейся параметром этого оператора. Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора 
. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы, число 
являлось собственным значением оператора , в зависимости от точки минимума функции . При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .
Пусть - трехмерный тор, т. е. куб 
— с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в 
по модулю 
, где 
и 
- множество вещественных и целых чисел, соответственно.
Пусть 
— гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .
Рассмотрим модель Фридрихса , , действующий в как 
, где операторы 
и 
определяются по правилам:
.
Здесь 
-вещественнозначная четная дважды непрерывно дифференцируемая функция на , а функция определена по формулам
.
Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Очевидно, что при таких предположениях оператор ограничен и самосопряжён в .
Обозначим через 
, 
и 
, соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Оператор возмущения 
оператора является самосопряженным одномерным оператором. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [9] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что 
. Из последних фактов следует, что 
.
Определим регулярную в 
функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )
.
Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции 
.
Лемма 1. Оператор имеет собственное значение 
тогда и только тогда, когда 
.
Из леммы 1 вытекает, что 
, где
.
Рассмотрим следующие точки из : 
.
Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках 
. Функция является непрерывной на , поэтому существует конечный интеграл
.
Полагая
получим, что 
тогда и только тогда, когда 
.
Следующая теорема о необходимых и достаточных условиях для того чтобы, число являлось собственным значением оператора .
Теорема 1. Оператор имеет нулевое собственное значение тогда и только тогда, когда и 
.
Доказательство. Необходимость. Пусть оператор имеет нулевое собственное значение и 
— соответствующая собственная функция. Тогда 
удовлетворяет уравнению 
, т. е.
. (1)
Из (1) вытекает, что имеет вид
(2)
где
(3)
Подставляя выражение (2) для в (3) получим, что , т. е. . Теперь докажем, что тогда и только тогда, когда 
, 
. Действительно, если при некотором 
верно , то из четности дважды непрерывна дифференцируемой функции следует, что существуют числа 
и 
, такие, что
, (4)
где 
.
Кроме того из определения функции для некоторых 
и 
получим, что
, (5)
. (6)
Имеет место равенство
. (7)
Учитывая неравенства (3)-(6) имеем, что 
–ая () слагаемая в правой части (7) конечна тогда и только тогда, когда . В случае , 
имеем
.
Таким образом тогда и только тогда, когда , .
Достаточность. Пусть и . Тогда легко можно проверить, что функция , определенный по формуле (2), удовлетворяет уравнению 
. Выше доказали, что если , то . Теоремы 1 доказано.
В ходе доказательства теоремы 1 показали, что если оператор имеет нулевое собственное значение, то функция , определенная по формуле (2), удовлетворяет уравнению и .
Отметим, что теорема 1 играет важную роль [10] при изучении конечности или бесконечности дискретного спектра соответствующего трехчастичного модельного оператора в зависимости от точки минимума функции .
Литература:
1. Albeverio S., Lakaev S. N., Makarov K. A., Muminov Z. I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians in lattice. Comm. Math. Phys. 262 (2006), P. 91–115.
2. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Henri Poincare. 5 (2004), P. 743–772.
3. Абдуллаев Ж. И., Лакаев С. Н. Асимптотика дискретного спектра разностного трехчастичного оператора Шредингера на решетке. Теор. и мат. физ., 136:2 (2003), С. 231–245.
4. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbation. J. Math. Anal. Appl. 330 (2007), P. 1152–1168.
5. Albeverio S., Lakaev S. N., Djumanova R. Kh. The Essential and Discrete Spectrum of a Model Operator Associated to a System of Three Identical Quantum Particles. Rep. Math. Phys. 63:3 (2009), P. 359–380.
6. Фаддеев Л. Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды Мат. Инс-та АН СССР, 73 (1964), С. 292–313.
7. Минлос Р. А., Синай Я. Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. Теор. и матем. физ. 2:2 (1979), С. 230–243.
8. Дынкин Е. М., Набако С. Н., Яковлев С. И. Граница конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебра и анализ. 3:2 (1991), С. 77–90.
9. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4, Анализ операторов. — М., Мир, 1982.
10. Расулов Т. Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теор. и матем. физ. 163:1 (2010), С. 34–44.
