Как известно, некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств модели Фридрихса [1–3]. Пороговые резонансы для семейства модели Фридрихса с одномерным возмущением, которые ассоциированы с системой двух частиц на решетке изучены в работах [4,5], a для двухчастичного дискретного оператора Шредингера изучены в работах [6–8]. Поэтому изучение пороговых резонансов для модели Фридрихса играет важную роль в современной математической физике.
В настоящей работе рассматривается модель Фридрихса 
, 
, в случае функции специального вида 
, являющейся параметром этого оператора. Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора 
. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы, оператор имел резонанс с нулевой энергией в зависимости от точки минимума функции . При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора .
Пусть - трехмерный тор, т. е. куб 
— с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в 
по модулю 
, где 
и 
- множество вещественных и целых чисел, соответственно.
Пусть 
— гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .
Рассмотрим модель Фридрихса , , действующий в как 
, где операторы 
и 
определяются по правилам:
.
Здесь 
-вещественнозначная четная дважды непрерывно дифференцируемая функция на , а функция определена по формулам
.
Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Очевидно, что при таких предположениях оператор ограничен и самосопряжён в .
Обозначим через 
, 
и 
, соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Оператор возмущения 
оператора является самосопряженным одномерным оператором. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [9] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что 
. Из последних фактов следует, что 
.
Определим регулярную в 
функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )
.
Теперь установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции 
.
Лемма 1. Оператор имеет собственное значение 
тогда и только тогда, когда 
.
Из леммы 1 вытекает, что 
, где
.
Рассмотрим точки 
из , для которых
,
причем 
при 
. Ясно, что число таких точек равно 27.
Легко проверяется, что функция имеет невырожденный минимум в точках 
, 
. Функция является непрерывной на , поэтому существует конечный интеграл
.
Полагая
получим, что 
тогда и только тогда, когда 
.
Пусть 
(соот. 
) — банахово пространство непрерывных (соот. интегрируемых) функций, определенных на .
Определение 1. Говорят, что оператор имеет резонанс с нулевой энергией, если число 
является собственным значением интегрального оператора
и по крайней мере одна (с точностью до константы) соответствующая собственная функция 
удовлетворяет условию 
при некотором 
.
Следующая теорема о необходимых и достаточных условиях для того чтобы, оператор имел резонанс с нулевой энергией.
Теорема 1. Оператор имеет резонанс с нулевой энергией тогда и только тогда, когда 
и 
при некотором .
Доказательство. Необходимость. Пусть оператор имеет резонанс с нулевой энергией. Тогда по определению 1 уравнение
(1)
имеет нетривиальное решение 
, удовлетворяющее условию при некотором . Видно, что это решение равно (с точностью до константы) функции и следовательно, 
, т. е. .
Достаточность. Пусть и при некотором . Тогда функция 
является решением уравнения (1), и следовательно, по определению 1 оператор имеет резонанс с нулевой энергией. Теорема 1 доказано.
Теперь докажем, что если оператор имеет резонанс с нулевой энергией, то функция 
, определенная по формуле
(2)
удовлетворяет уравнению 
и 
.
Действительно, если при некотором верно , то из непрерывности функции следует, что существуют числа 
и 
такие, что
, (3)
где
.
Кроме того из определения функции для некоторых 
и получим, что
, (4)
. (5)
Имеет место равенство
.
Если при некотором верно , то используя неравенства (3)-(5) получим, что
,
.
Таким образом если при некотором верно , то . Это и означает, что в определении 1 требование наличия собственного значения оператора 
соответствует существованию решения уравнения , а из условия верно следует, что решение этого уравнения не принадлежит пространству 
.
Из доказательства теоремы 1 видно, что если оператор имеет резонанс с нулевой энергией, тогда решение уравнения 
равно (с точностью до константы) функции .
Отметим, что теорема 1 играет важную роль [10] при изучении конечности или бесконечности дискретного спектра соответствующего трехчастичного модельного оператора в зависимости от точки минимума функции .
Литература:
1. Фаддеев Л. Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды Мат. Инс-та АН СССР, 73 (1964), С. 292–313.
2. Минлос Р. А., Синай Я. Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. Теор. и матем. физ. 2:2 (1979), С. 230–243.
3. Дынкин Е. М., Набако С. Н., Яковлев С. И. Граница конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебра и анализ. 3:2 (1991), С. 77–90.
4. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbations. J. Math. Anal. Appl. 330 (2007), P. 1152–1168.
5. Albeverio S., Lakaev S. N., Djumanova R. Kh. The Essential and Discrete Spectrum of a Model Operator Associated to a System of Three Identical Quantum Particles. Rep. Math. Phys. 63:3 (2009), P. 359–380.
6. Albeverio S., Lakaev S. N., Makarov K. A., Muminov Z. I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians in lattice. Comm. Math. Phys. 262 (2006), P. 91–115.
7. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Henri Poincare. 5 (2004), P. 743–772.
8. Абдуллаев Ж. И., Лакаев С. Н. Асимптотика дискретного спектра разностного трехчастичного оператора Шредингера на решетке. Теор. и мат. физ., 136:2 (2003), С. 231–245.
9. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4, Анализ операторов. — М., Мир, 1982.
10. Расулов Т. Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Теор. и матем. физ. 163:1 (2010), С. 34–44.
